随机信号分析与处理习题解答-罗鹏飞.pdf

第 1 章 随机变量基础 第 1 章 随机变量基础 1 1 设有两个随机变量 X 和 Y 证明 xf yxf xyf X XY yf yxf yxf Y YX 提示 首先证明 xFxxF dxdyyxf xxXxyF XX yxx x 然后对 y 求导得 xxf xyxf xFxxF dxyxf xxXxyf XXX xx x xxXxY 最后求 x 0 的极限 解答 解答 1221 21 21 2 1 xFxF dxdyyxf xXxP xXxyYP xXxyF XX yx x 上式对y求导 得 12 21 2 1 21 xFxF dxyxf xXxyf XX x x xXxY 在上式中 假定xx 1 xxx 2 x 无穷小量 则 xxf xyxf xFxxF dxyxf xxXxyf XXX xx x xxXxY 因此 lim 0 xf yxf xxXxyfxyf X xxXxY x XY 同理可得 yf yxf yxf Y YX 于是有 xfxyfyfyxfyxf XXYYYX 1 2 设随机变量 X 服从二项式分布 其概率分布律为 mnmm n ppCmXP 1 0 1 2 mn 10 则 0 Y fy 若1y 这时对于任意的y 有无穷多个x值与 之对应 即 2 arcsin2 n xyn 0 1 2 n 21 arcsin2 n xyn 0 1 2 n 2 1 1 y dy dx J n n 所以 当1y 时有 11 221 2 11 2 1 2 1 1 1 arcsin2 arcsin2 1 1 1 Ynn n n n n fygxgx y gyngyn y gx y 即 Y 的概率密度为 1 2 1 1 1 0 n n Y gxy fyy else 1 4 设有随机变量 1 X和 2 X 求 12 YX X 和 12 ZXX 的概率密度 解答 解答 1 21X XY 设 11 XY 212 XXY 对应的反函数关系为 122 11 yyx yx 11 2 12 2 2 1 2 2 1 1 1 21 21 1 1 01 yyyy y x y x y x y x yy xx J 1 121 2 1 21 2 21 1121 yyyf y Jxxfyyf XXXXYY 1121 2 1 1212 1 1212 dyyyyf y dyyyfyf XXYYY 即两个随机变量之积的概率密度为 duuyuf u yf XXY 1 2 1 2 211 XXY 设 11 XY 212 XXY 对应的反函数关系为 212 11 yyx yx 2 2 1 2 212 2 2 1 2 2 1 1 1 21 21 1 01 y y yyy y x y x y x y x yy xx J 211 2 2 2 1 21 2 21 1121 yyyf y y Jxxfyyf XXXXYY 1211 2 2 2 1 1212 1212 dyyyyf y y dyyyfyf XXYYY 在上式中令 21 y yu 则 duuuyfuyf XXY 2 2 2 12 即两个随机变量之商的概率密度为 duuyufuyf XXY 2 1 1 5 设 Yg X 其中 01 0 xxxA g x else 假定随机变量X的概率分布函数已知 求Y的概率分布函数 函数 g x的图像如下 解法一 解法一 根据概率分布函数的定义计算 当0y 时 0101 1 Y FyP YyP XxP XxP XxP Xx 01 1 F xF x 当yA 时 0110 YXX FyP YyP xXxFxFx 或xc 的时候才有可能 01 0 1 P YP xXx 对于 g x取 A 的情况 只有cxc 的时候才有可能 01 P YAP xXx 所以 Y 的概率密度函数为 0101 1010 0 1 1 Y XXXX fyP YyP YAyA P xXxyP xXxyA FxFxyFxFxyA 对 Y fy求积分可以得到Y的概率分布函数 Y Fy 注意其中的 10 1 XX FxFx 和 10 XX FxFx 是常数 1010 1 YXXXX FyFxFxU yFxFxU yA 归纳归纳 对于函数 Yg X 如果在区间 01 x x上为常数 A 即 01 Yg XA xx x 那么 Y 的概率密度函数为在yA 处不连续 跃变高度为 10 XX FxFx 1 6 设函数 g x为 0 xcxc g xcxc xcxc 其中0c 为常数 假定随机变量 X 的概率分布函数已知 求 Yg X 的概率分布函数 解法一 解法一 函数 g x的图像如下 分析此题仍然可以从 g x取值的可能情况来讨论 当 0yg x 时 y 和 x 是一一对应的 也就是说 x 取什么值 y 的取值是可以唯一 确定的 故 YX FyP YyP XcyFyc 同理 当 0yg x 时 y 和 x 仍然是一一对应的 故 YX FyP YyP XcyFyc 当 0yg x 时 y 和 x 之间是一对多的关系 也就是说 y 取 0 的时候 x 此时有区 间 c c 之间任何一个值的可能 故 0 0 YX FP YP XcFc 所以 Yg X 的概率分布函数为 0 0 X Y X Fycy Fy Fycy 这种一一对应的关系就是指在 g x概率密度曲线上 Y 取 y 的概率 P Yy 和 x 的概 率密度曲线上 X 取 y c 的概率一样 P Xyc 也就是当0y 时 P YyP Xyc 故 0 YX fyfycy 同理也有0y 时 P YyP Xyc 故 0 YX fyfycy 当0y 时 纵坐标 c c 之间的点都有可能 即 g x取点 0 的概率跟 x 取一段的概 率相等 此时 0 P YPcXc 0 Yxx fF cFc 跃变高度 对 Yg X 的概率密度函数 Y fy求积分得到它的概率分布函数为 0 0 X Y X Fycy Fy Fycy 1 7 设函数 g x为 0 0 xcx g x xcx 为常数 假定随机变量 X 的概率分布函数已知 求 Yg X 的概率分布函数 解法一 解法一 此题的解法和前面的 1 5 和 1 6 题基本相同 函数图像也和习题 1 6 的基本基本一 样 当yc 时 X P YyP XcyFyc 当yc 时 X P YyP XcyFyc 当cyc 时 0 0 X P YyP XF 所以 Yg X 的概率分布函数为 0 X YX X Fycyc FyFcyc ycFyc 同理也有yc 时 P YyP Xyc 故 YX fyfycyc 当cyc 时 x 取点 0 的概率跟 g x取一段 c c 的概率相等 此时 0 PcYcP X 0 Yx fYF 同样地 Yg X 的概率分布函数为 0 X YX X Fycyc FyFcyc ycFyc 其他 求 E Y X 解答 解答 从 X Y 联合概率密度可以求出 x 的概率密度为 11 22 xy X x fxf x y dye dye 按照条件概率密度的定义 yx Y X X f x y fy xe fx 所以 1 yx Y X xx E Y Xy fy x dyyedyx 1 9 已知随机变量 X 在 0 a上服从均匀分布 随机变量 Y 在 X a上服从均匀分布 试求 1 E Y Xx 0 xa 2 E Y 解答 解答 在此需要注意的是 X 和 x 的区别 大写的 X 表示的是随机变量 小写的 x 表示的是 随机变量 X 的可能取值 所以 E Y Xx 表示的是随机变量 X 取值为 x 时随机变量 Y 的 数学期望 当然只有随机变量才会有概率分布 数学期望 方差等统计描述 类似 x fx 6 P x 和 E x等都是没有意义的符号 1 由条件知 1 0 0 Y X xya fy xax 其他 因此对任意的0 xa 有 2 aa Y X xx yax E Y Xxy fy x dydy ax 2 3 24 aX E YE E Y XEa 1 10 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 2 axby f x y ab 0 1x y 计算 1 1 4 E X Y 2 1 2 E Y X 解答 解答 1 1 0 2 2 Y axbyaby fyf x y dxdx abab 2 2 X Y Y f x yaxby fx y fyaby 1 4 12 4 422 X Y y axbyaxb fx y abyab 1 0 1483 426 2 X Y axbab E X Yx fx y dxxdx abab 2 1 0 2 2 X axbyaxb fxf x y dydy abab 2 2 Y X X f x yaxby fy x fxaxb 1 2 12 2 22 Y X x axbyaby fy x axbab 1 0 1234 26 Y X abyab E Y Xy fy x dyydy abab 计算有误 计算有误 1 11 某设备的有效期 按年计算 的分布函数为 5 0 0 0 1 xX x Fx x e 求 1 该设备有效期的均值 2 该设备有效期的方差 提示 对于非负的随机变量 X 有 0 1 X E XFx dx 解法一 解法一 对分布函数求导可以得到有效期的概率密度函数 5 00 1 0 5 x X x fx ex 1 有效期的均值 5 0 1 5 5 x X E Xx fx dxxedx 2 222 5 0 1 50 5 x X E Xxfx dxx edx 有效期的方差 222 50525D XE XEX 解法二 解法二 根据题目提示 对于非负的随机变量 X 有 0 1 X E XFx dx 1 有效期的均值 5 00 1 5 x X E XFx dxedx 2 方差还是按照 222 50525D XE XEX 现在证明题目的提示 即对于非负的随机变量 X 有 0 1 X E XFx dx 假设右边的积分公式为 0 1 c X Fx dx 则有 000 1 1 ccc XX Fx dxdxFx dx 0 0 c c XX cFxxxdFx 0 c XX cFccxfx dx 当c 时 000 1 lim 1 lim cc XXXX cc Fx dxFx dxcFccxfx dx 带入 1 X F 所以 000 1 lim c XXX c Fx dxxfx dxxfx dxE X 1 12 设随机变量的 X 的n阶矩为 n n mE X 证明它与特征函数之间具有如下关系 n n n X n mj d d 0 证明 证明 j Xj X XX E efxedx 1 n X j x fxj xdx n 且有 nn Xn fxx dxE xm 所以 1 1 n n X jm j m n 上式两边对 求n阶导数后令0 可得 n n n X n mj d d 0 1 13 设 X 是一随机变量 F x 是其分布函数 且是严格单调的 求以下随机变量的特征函 数 1 YaF xb 0a b 是常数 2 ln ZF X 并求 k E Z k 为自然数 解 解 1 设 X 的概率密度函数为 f x j YjaF Xbj bj aF X Y E eE eeE e j bj aF xj bj aF x eef x dxeedF x 且 1F 0F 故有 1 0 1 j a u F x j bj aF xj bj auj b Y e eedF xeedue j a 2 ln j ZjF Xj Z E eE eE Fx 1 0 1 1 jjj Fxf x dxFx dF xudu j 根据 1 12 题的结论知 0 k kkk Z k k d j mj E Z d 对 Z 两边关于 求 k 阶导数得 1 1 1 2 1 1 1 kkkkkk z kjjkjj 然后再令0 得 0 1 kkk z kj 故 1 kk E Zk 与书上答案不一样与书上答案不一样 1 14 设随机变量 X 的特征函数为 2 1 1 X 试求 X 的概率密度 解答 解答 由定义可知特征函数 X 是概率密度函数 f x的傅立叶变换 则已知特征函数 X 的情况下 求概率密度 f x只需要将 X 进行傅立叶反变换即可 即 1 2 j x X f xed 解法一 解法一 22 111cos 2121 i x x f xedd 求导后 2 1sin 21 x fxd 故 2 sin 2 1 x fxd 由于 sinsinsinxx ddxd x 得 22 sinsin 2 2 1sin sin 1 1 x fxdfxd x xdd 两边再对x求导得 2 cos 2 2 1 x fxdf x 求解微分方程 fxf x 考虑 f x为偶函数可得 12 xx f xC eC e 因为 f x为概率密度 当x 时 0f x 又 1f x dx 所以 1 0C 2 1 2 C 故 X 的概率密度为 1 2 x f xe 注 sin d 是著名的狄利克雷积分结果 具体的求解过程可参考 复变函数 西安交通大学出版社 p168 例 4 解法二 解法二 可利用复变函数的留数定理做 由于 f x是偶函数 考虑0 x 根据留数定理可知 22 111 2Re 2 112 i xi zxx z i edis eiee zi 故 2 1111 2122 i xxx f xedee 0 x 3 1 0 2 P XY 4 1 0 2 P XY 令 x y 所以 22 2 200 12 0 0 exp 2 1 21 r P XYd d r r 2 2 2200 111 exp 22 211 ar d d rr 再令 2 1 ar u r v 2 22 0 1 111 0 0 exp 222 rv r P XYuv dvdu 2 2 0arcsin 11 exp 22 r RR d dR 这步许可还不是很清楚这步许可还不是很清楚 11arcsin1 arcsin 224242 r r 根据积分公式的对称性可知 1 0 0 0 0 42 P XYP XY 2 具体过程与 1 类似 此时有 0 0 0 0 P XYf x y dxdy 222 1 0 111 exp 222 rv r uv dvdu arcsin 2 0 2 11 exp 22 r RR d dR 11arcsin1 arcsin 224242 r r 同理也有 1 0 0 0 0 42 P XYP XY 1 0 0 0 0 0 2 P XYP XYP XY 也可以 1 0 1 0 2 P XYP XY 1 18 设有 N 个相互独立的正态随机变量 12 n XXX 它们都有零均值和单位方差 令 22 1 n i i X 通常称 2 为具有 n 个自由度的 2 变量 它的分布称为 2 分布 证明 2 分布为 2 2 1 22 2 2 1 exp 2 2 2 n n f n 其中 i为伽马函数 如果 1 2 i X in 不是单位方差 而是 2 那么 2 分布为 2 2 1 22 2 2 2 2 1 exp 2 2 2 n n f n 提示 利用特征函数进行证明 证明 证明 证方差是 2 的情况 单位方差只需令 2 1 即可 由于随机变量 i X服从正态分布 即 2 2 1 exp 22 i i Xi x fx 令 2 i YX 则 1122 ii YXiXi fyJfxJfx 其中 1 i xy 2i xy 1 1 i dx J dy 2 2 i dx J dy 带入这些关系有 2 1 exp 22 Y y fy y 0y 则 Y fy对应的特征函数为 20 1 2 jy YY efy dy j 由于 1 2 i X in 是相互独立的随机变量 独立随机变量之和的特征函数等于各个随机 变量特征函数的乘积 故有 22 21 2 1 2 i nn n X i j 需要检查需要检查 对上式进行傅立叶反变换可得 2 2 1 22 2 2 2 2 1 exp 2 2 2 n n f n 1 19 设有 N 个相互独立的正态随机变量 12 n XXX 它们都有零均值和单位方差 令 2 2 1 1 n i i QaX 通常称 Q 为具有 n 个自由度的非中心 2 变量 其中 a 为常数 证明 Q 的概率密度为 2 4 1 2 1 22 n Qn qq fqexpIq 0q 式中 2 2 na 称为非中心参量 n Ii为第一类 n 阶修正贝赛尔函数 证明 设 22 iiai YaXX 故 aii XaX 的概率密度为 2 12 2 2 1 exp 2 2 ai ai Xai xa fx 所以 i Y的概率密度为 1122 iaiai YiXaiXai fyJfxJfx 22 122 2 2 1 exp exp 22 2 2 i yaya y 2 22 2 1 exp 2 2 i i i ayya ch y 其中 2 xx ee ch x 则 i Yi fy对应的特征函数为 222 22 2 1 2 expexp 21 2 1 2 i Y aa j j 令 1 n i i QY 则 Q 的特征函数为 1 ii n n QYY i 即 222 22 2 2 1 2 expexp 21 2 1 2 Q n nana j j 对 Q 进行傅立叶反变换可得 Q 的概率密度函数 2 4 222 1 2 1 22 n Qn qqq fqexpI 0q 归一化变量 令 2 Q Q 则有 2 4 1 2 1 22 n Qn qq fqexpIq 0q 计算机作业 计算机作业 1 20 利用MATLAB提供的disttool命令熟悉常用概率密度和概率分布函数 改变分布的参数 观察曲线的变化 1 21 设随机变量 X N 2 0 5 2 编写计算 P 2 11 X P normcdf 2 22 2 0 5 normcdf 2 11 2 0 5 P 0 0830 1 22 编写画出 N 1 1 4 的概率密度和概率分布函数图形的 MATLAB 程序 并给出绘图的结 果 解答 解答 x 3 0 01 4 y normpdf x 1 1 2 subplot 2 1 1 plot x y title 概率密度函数 y normcdf x 1 1 2 subplot 2 1 2 plot x y title 分布函数 1 23 用 MATLAB 画出二维正态概率密度和二维正态概率分布的图形 1 24 已知二维随机变量 X Y 的联合概率密度为 exp 2 0 0 0 Axyxy f x y 其他 利用 MATLAB 的符号运算功能 求 1 待定系数 A 2 P X 2 Y 1 3 边缘分布 fX x 和 fY y 解答 解答 Matlab 程序如下 x 3 0 01 4 y normpdf x 1 1 2 subplot 2 1 1 plot x y title 概率密度函数 y normcdf x 1 1 2 subplot 2 1 2 plot x y title 分布函数 1 25 画出习题 1 18 中不同自由度的 2 变量的概率密度曲线 1 26 对于习题 1 19 的非中心 2 变量 Q 对不同的自由度和非中心参量 分别画出四组概率 密度曲线 1 n 2 n 2 4 2 n 2 n 8 16 3 n 4 n 2 8 3 n 4 n 4 16 第 2 章习题解答 第 2 章习题解答 2 1 设有正弦波随机过程 cosX tVt 其中0 时 1 cos0cos 0 X txt fx t else 当cos0t 时 1 coscos0 0 X ttx fx t else 当cos0t 时 cos0X tVt 表明随机变量 X t只能取 0 X fx tx 当0 i t 时 101 0 X x fx t else 当 4 i t 时 202 2 0 X x fx t else 当 3 4 i t 时 22 20 0 X x fx t else 当 i t 时 110 0 X x fx t else 3 当 2 i t 时 cos0 2 X tV 此时 X fx tx 2 2 用一枚硬币掷一次试验定义一个随机过程 cos 2 t X t t 出现正面 出现反面 设 出现正面 和 出现反面 的概率均为 1 2 1 确定 X t的一维分布函数 1 2 x Fx 1 xFx 2 确定 X t的二维分布函数 12 1 2 1 x Fx x 3 画出上述分布函数的图形 解 1 1 1 10 2 1 0 0 2 1 x x x xFX 0 1 1 1 12 2 1 2 X x Fxx x 2 2 1 1 21 1 1 10 2 1 1 0 0 0 1 2 1 21 2121 2121 21 xx xxxx xxxx xxFX 2 3 设某信号源 每 T 秒产生一个幅度为 A 的方波脉冲 其脉冲宽度X为均匀分布于 0 T 中的随机变量 这样构成一个随机过程 Y t 0 t 其中一个样本函数示于图 2 26 设不同间隔中的脉冲是统计独立的 求 Y t 的概率密度 Y fy x3 T2T3T A x1 x2 t x4 ety 图2 26 样本函数示意图 x3 T2T3T A x1 x2 t x4 ety 图2 26 样本函数示意图 解 T t T t X T t dx T dxxftxPAtYP 11 1 111 1 1 T t AtYPtYP 1 11 1 0 所以 1 11 Ay T t y T t yfY Tt 0 推广到其它间隔 1 Ay T tnT y T Tnt yfY 2 4 设随机过程 X tbNt 已知 b 为常量 N 为正态随机变量 其均值为 m 方差为 2 试求随机过程 X t 的一维概率密度及其均值和方差 解 易知 X t 也是正态随机变量 只需要知道 X t 的均值和方差就可以知道其概率密度 均值 X mE X tE bNtbtE Nbmt 方差 22222 X D X tD bNtt D Ntt 一维概率密度 22 22 11 expexp 22 22 x X X X xmxbmt fx t tt 2 5 考虑一个正弦振荡器 由于器件的热噪声和分布参数变化的影响 振荡器输出的正弦波 可看作一个随机过程 cos X tAt 其中 A 是相互独立的随机变量 且已知 0 2 0 2 11 0 250 350 0 2 1002 0 0 0 A a aA Afaff 其他其他 其他 求随机过程 X t 的一维概率密度 解 首先设 cos Y tat 其中 a 和 是常数 同上 由例 2 1 1 知道 Y t 的一维概率密度为 22 1 0 Y ya fyay 所以 zz R 0 R 2 8 设随机过程 X t 的均值为 X mt 协方差函数为 12 X Kt t t 为普通确知函数 试 求随机过程 Y tX tt 的均值和协方差函数 解 YX m tE X ttmtt 121122 11112222 12 YYY XX X Kt tE Y tm tY tm t EX ttmttX ttmtt Kt t 2 9 设有复随机过程 1 k N jt K k Z tA e 其中 1 2 k A kN 分别服从 2 0 k N 且相互 独立 1 2 k kN 是常数 试求该过程的均值和相关函数 解 1 1 0 k k N it Xk k N it k k mE Z tEA e E A e 和的期望等于期望的和 x 11 2 111 km mkk NN isis Km km NNN itisis t kmk kmk R s tE X s X tEA eA e E A Aeee 注意 2 0 k km km E A A km 2 10 给定随机过程 cossinX tAtBt 其中 为常量 A 和 B 是两个独立的正态 随机变量 而且 0E AE B 222 E AE B 试求随机过程 X t 的均值和自 相关函数 并判断它的平稳性 解 cossin cos sin0E X tE AtBtE AtE Bt 由于 A 和 B 是互相独立的 且E A E B 0 1212 1122 22 1212 2 12 cossin cossin coscos sinsin cos X Rt tE X t X t EAtBtAtBt E AttE Btt tt 所以 X t 是广义平稳随机过程 2 cos X R XX KR 又 sincos sincos sincos 303020201010321 tBtAtBtAtBtAEtttRX sincos sinsincossinsincoscoscos 302010 2 201020102010 2 BtAttBttABttABttAE sin sinsincossinsincoscoscos cos sinsincossinsincoscoscos 302010 3 2010 2 2010 2 2010 2 302010 2 2010 2 2010 2 2010 3 tttBttABttABttBAE tttABttBAttBAttAE sinsinsin coscoscos 302010 3 302010 3 tttBEtttAE 可见 该随机过程构不成三阶平稳 因此不符合严平稳过程的要求 2 11 给定随机过程X t 和常数a 试以X t 的自相关函数来表示随机过程Y t X t a X t 的自相关函数 解 2 YXXX RRRaRa 2 12 设随机过程 X tXYt tR 而随机矢量 T X Y的协方差阵为 2 1 2 2 试求随机过程 X t 的协方差函数 解 解 22 1212 1 212 X Kt tt ttt 2 13 设有一脉冲串 其脉宽为 1 脉冲可为正脉冲也可为负脉冲 幅值为 1 或 1 各脉冲 取 1 或 1 是相互独立的 脉冲的起始时间均匀分布于单位时间内 求此随机过程的相关 函数 此过程的一个样本函数见图 2 27 0 1 1 t x t 图2 27 样本函数示意图 0 1 1 t x t 图2 27 样本函数示意图 解 解 随机过程可以表示为 0000 1 1 k X tA u tktu tkttkt kt 其中 1 2 k A k 是相 互独立同分布的随机变量 0 1 0 1 1 0 5 0 0 kk t p Ap Au tt t 0000 1 1 X kl Rt sE X t X s E A A u tktu tktu sltu slt 当kl 时 0 X Rt s 当kl 时 有 2 0000 2 0000 0000 0000 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X k k Rt s E A u tktu tktu sktu skt E AE u tktu tktu sktu skt E u tktu tktu sktu skt kttktttkt tskt 00 11tksktskt 0 1 11 t k X s k Rt sdtsk 考虑到 s t 时 1 X Rt sts 故 1 1 0 X stst Rt s 其他 2 14 已知随机过程 cosX tt 其中 为均匀分布于 12 中的随机变量 试求 1 均值为 X mt 2 自相关函数 12 X Rt t 解 t t d t tXE 0 0 0 sin 2 cos 0 0 2 sin 2 sin 2 cos 2 1 2 cos 2 1 cos cos 2 1 cos cos 210 210 210 210 0 21 0 21 2121 21 2121 0 0 0 0 tt tt tt tt d tt d tt ttttE ttE tXtXEttRX 2 15 广义平稳随机过程 Y t 的自相关矩阵如下 试确定矩阵中用 表示的元素 21 30 4 21 20 8 0 41 21 1 0 92 Y R 解 由平稳性和相关矩阵得对称性可得 21 30 4 1 321 20 8 0 41 221 1 0 90 81 12 Y R 2 16 根据掷骰子试验 定义随机过程为 2 cos 6 K X tt 其中6 5 4 3 2 1 K 1 求 1 X 2 X的概率密度 2 X t是否为平稳随机过程 解 1 1111 1 11 6322 X fxxxxx 1 3 1 2 1 3 2 2 xxxfX 2 非平稳 2 17 随机过程 X t示于图 2 28 该过程仅由三个样本函数组成 而且每个样本函数均等 概率发生 试计算 1 2 E X 6 E X 2 6 X R 2 2 X Fx 6 X Fx及 12 2 6 X Fx x 分别画出它们的图形 62 6 图2 28 样本函数示意图 e3 e2 e1 tx t 5 4 3 2 1 0 62 6 图2 28 样本函数示意图 e3 e2 e1 tx t 5 4 3 2 1 0 解 1 101131 2 6 2 6 838 X E XE XR 2 0 2 1 23 3 2 2 35 3 1 5 X x x Fx x x 0 1 1 14 3 6 2 46 3 1 6 X x x Fx x x 3 12 12 12 12 12 12 12 1212 12 2 0 25 14 2 1 23 4 1 35 46 2 6 5 14 3 2 5 46 35 6 3 1 5 6 X xx xx xx xx xx Fx x xx xxxx xx 是在 0 2 中均匀分布的随机变量 且与A统计独立 为常量 试问 X t是否为平 稳随机过程 2 20 设 X t为一平稳随机过程 若对应于某一个0T X t的自相关函数 X R 满足 0 XX RTR 证明 X R 必为以 T 为周期的周期函数 2 21 若 两 个 随 机 过 程 X t Y t均 不 是 平 稳 随 机 过 程 且 cosX tA tt sinY tB tt 式中随机过程 A t B t是相互独立的零均值平稳随机过程 并有相同 的相关函数 证明 Z tX tY t 是广义平稳随机过程 2 22 设 tX和 tY是两个联合平稳的随机过程 证明 1 0 0 2 YXXY RRR 2 0 0 2 YXXY RRR 3 22 2 YXXY K 2 23 已知平稳随机过程的相关函数为 2 XX Re 和 2 1 XX R 1 试求其相关时间 0 解 1 0 1 2 0 1 2 2 24 设随机过程 cos X tAt 其中 A 和 是常量 是在 0 2 上均匀分布的 随机变量 试求该过程的时间自相关函数和集合自相关函数 二者是否相等 2 25 设随机过程 cos sinZ tX ttY tt 其中 为常量 X t Y t为平稳随 机过程 试求 1 tZ的自相关函数 12 Z Rt t 2 如果 X R Y R 0 XY R 求 12 Z Rt t 解 1 21212121 212121 cossin sincos sinsincoscos ttttRttttR ttRttRttR YXXY YXZ 2 cos XZ RR 2 26 两个统计独立的平稳随机过程 X t和 Y t 其均值都为 0 自相关函数分别为 X Re cos2 Y R 试求 1 tYtXtZ 的自相关函数 2 tYtXtW 的自相关函数 3 互相关函数 ZW R 解 1 2cos eRZ 2 ZW RR 3 2cos eRZW 2 27 设 X t是雷达发射信号 遇到目标后返回接收机的微弱信号为 1 X t 其中 1 1 是信号返回时间 由于接收到的信号总是伴随有噪声 N t 于是接收到的信号 为 1 Y tX tN t 1 如 tX和 tY是联合平稳过程 求互相关函数 XY R 2 在 1 的条件下 假如 tN为零均值 且与 tX统计独立 求 XY R 解 1 1 1 1 XY XXN RE X t Y t E X t aX tN t E aX t X tE X t N t aRR 2 1 1 XY X RE aX t X tE X t N t aR 2 28 证明相关函数具有非负定性 即对于任意 N 个复数 12 N 有 11 0 NN ijXij ij Rtt 式中的 号代表取复共轭 2 29 证明严格循环平稳的定理 1 2 30 证明广义循环平稳的定理 2 2 31 已知平稳随机过程 X t的功率谱密度为 2 42 32 X G 试求 tX的均方值 解 2 1 0 21 2 x E XtR 2 32 已知平稳随机过程 X t的自相关函数为 4coscos3 X Re 试求功率谱密度 X G 解 解 根据维纳 辛钦定理 功率谱密度 X G 就是自相关函数 X R 的傅立叶变换 2 2 1 e 同时 000 1 cos 2 f ttFF 所以 22 122 4cos4 2 1 1 e 22 44 4cos 1 1 X Ge 2 33 设 X G 是一个随机过程的功率谱密度函数 证明 22 X d Gd 不可能是功率谱密 度函数 2 34 随机序列 X n 的相关函数为 1 m X Rmaa 试求其功率谱密度 解 1 1 2cos X aa G aaT 2 35 已知离散时间随机信号 1 cos p kkk k X nW nan 式中 W n是均值为零 方差为 2 W 的白噪声 k a为实常数 1 2 k kp 是在 上均匀分布的相互独立的随机变量 W n与正弦项不相关 试求 X n的功率谱密度 X G 2 36 如 图 2 29 所 示 的 系 统 中 若 X t为 平 稳 过 程 证 明 的 功 率 谱 密 度 为 2 1 cos YX GGT Y t 图2 29 系统示意图 延时T X t Y t 图2 29 系统示意图 延时T X t 证明证明 Y tX tX tT 且 X t 为平稳过程 X RE X t X t 故 Y t 也为平稳过程 且 2 Y XXXX XXX RE Y t Y t EX tX tTX tX tT E X t X tE X t X tTE X tT X tE X tT X tT RRTRTR RRTRT XX RG j T XXX RTRTGe j T XX RTGe 所以 2 2 1 cos j Tj T YXXXX GGGeGeGT 得证 另外一种解法 Y tX tX tTX tttT 其中 h tttT 11 cossin j T HeTjT 222 22 1 cos sin 1 2coscossin 2 1 cos YXX X X GGHGTT GTTT GT 2 37 已知平稳随机过程 X t的功率谱密度为 8 20 110 10 0 X G 他其 试求 tX的自相关函数 解 2 2 5sin 1 4 X R 2 38 设 X t和 Y t是两个统计独立的平稳随机过程 均值分别为常量 X m和 Y m 且 X t 的功率谱密度 为 X G 定义 Z tX tY t 试计算 XY G XZ G 解 YXXY mmG2 YXXXZ mmGG2 2 39 设随机过程 0 cos Y tX tt 其中 0为常量 tX为与 无关的平稳随机 过程 为均匀分布于 2 0 中的随机变量 试求 tY的自相关函数和功率谱密度 解 cos cos 00 ttXttXEtYtYERY 00000 sin sin cos cos cos ttttXtXE 00 2 0 cos 2 1 cos cos X RtEtXtXE deRdeRG j X j YY0 cos 2 1 4 1 cos cos 4 1 0000 XXXX GGdRdR 2 40 设随机过程 cos tatX 其中a为常量 和 为相互独立的随机变量 且 均匀分布于 2 0 中 的一维概率密度为偶函数 即 ff 求证 X t 的功率谱密度为 2 X Ga f 解 cos cos 2 ttaEtXtXERX cos sinsincoscos 2 tttEa coscos2 2 tEa cossincossincos2sinsincoscos 22222 ttttEa sin cos sin cos cos cos 22222 EtEEtEa cossincos cos 2 22 2 ttE a cos 2 2 E a 所以 deE a deRG jj XX cos 2 2 df a E a 22 22 faff a 2 2 2 得证 2 41 设 tX为广义平稳随机过程 其自相关函数 X R 如图 2 30 所示 试求该过程的功 率谱密度 并将其图形画出来 0T 2 T 2 X R 图2 30 相关函数示意图 1 0T 2 T 2 X R 图2 30 相关函数示意图 1 解 根据题图 可知 2 1 X R T 22 2244 cos1 2 TT jj X T Ree TTTT 2 222 144sin 4 cos1 1 cos 222 4 XX X RG TTTT G jTTT 2 42 设有零均值的正态随机过程 X t 令 11 tXX 22 tXX 33 tXX 和 44 tXX 证明 1234123413241423 E X X X XE X XE X XE X XE X XE X XE X X 提示 首先求出四维特征函数 44 11 11 expexp 22 T Xiijj ij K K 根据 特征函数与矩的关系求解 2 43 一正态随机过程的均值 2 X mt 协方差 1212 8cos X Kt ttt 写出当 12 0 1 2tt 时的二维概率密度 解 解 2 X111 K t t 8 2 X222 K t t 8 0 0 0 1 2 80 1 2 0 1 2 1 2 08 KK KK K 1 1 80 K 01 8 2 m 2 1 2 x x x T 11 x12 22 221 80 11 exp 2201 8282 xx fx x xx i 22 12 2 2 1 exp 1616 xx 2 44 设平稳正态随机过程 X t 的均值为零 自相关函数为 sin X R 求 t1 0 t2 1 2 t3 1 时的三维概率密度 解 正态随机过程三维概率密度为 1 1 2 2 11 exp 2 2 T X n f xxmKxm K 1 2 3 x x x x 0 0 1 2 0 1 0 X X X m m m m 协方差函数 121212 XXXXX Kt tRt tmt mtR 得协方差矩阵 2 10 22 1 2 01 K 代入中 得 123 22222 132122313 2 2 11 exp 4 4 8 2 8 2 2 8 XX ffx x x xxxx xx xx x x 2 45 反函数法 变换法是任意分布随机数产生的常用方法 其中反函数法利用随机变量的 分布函数求解其反函数获得任意分布随机数 变换法则利用随机变量的函数变换获得任意分 布随机数 下面证明反函数法定理 若随机变量 X 具有连续分布函数 X Fx 而 r 是 0 1 均匀分布的随机变量 则有 1 X XFr 这一定理告诉了产生服从分布 X Fx的随机数的方法 即先产生 0 1 均匀分布的随机数 然 后按上式做变换得到随机数 X 第 3 章 随机过程的线性变换第 3 章 随机过程的线性变换 3 1 设随机过程 X t是平稳的和可微的 存在导数 X t 证明对于给定的t 随机变量 X t和 X t 是正交的和不相关的 证 明 证 明 由 于 随 机 过 程 X t是 平 稳 的 故 X t的 均 值 为 常 数 所 以 0 dE X t E X t dt 又由于随机过程 X t是可微的 故 X R 的导数必存在 且由于自相关函数 X R 在 0 处取最大值 所以在0 处 X R 的导数为 0 即 0 0 X dR d 同时 X XX dR R d 故 0 0 0 X XX dR R d 由于 XX RE X t X t 故 0 0 XX RE X t X t 其中 0E X t X t 表明 X t和 X t 是正交的 又 XXXXXX KE X t X tmt mtR 所以 0 0 0 XXXX KR 这表明对于给定的t 随机变量 X t和 X t 是不相关的 归纳 对于随机变量 1 X t和 2 Y t 要证明它们是正交的 需要证明互相关函数 12 0 XY Rt t 要证明它们是不相关的 需要证明互协方差函数 12 0 XY Kt t 要证明它们是独立的 需要证明 1212 XYXY fx t y tfx tfy t 3 2 设有一具有二阶矩的随机变量序列 1 2 3 n n n 的相关函数为 1212 Rn nEnn 若有序列 1 2 3 n an 并定义 1 第四章习题解答 第四章习题解答 4 1 给定实数 x 和一个平稳随机过程 X t 定义理想门限系统的特性为 1 0 X tx Y t X tx 证明 1 X E Y tFx 2 YX RFx x 证明 1 由于 Y t只取 0 或 1 两个值 并且有 1 P Y tP X tx 0 P Y tP X tx 所以 Y t的均值为 1 1 0 0 E Y tP Y tP Y t 1 X P X txFx 2 Y t的相关函数为 1 1 1 Y RE Y t Y tP Y tY t X P X tx X txFx x 得证 此题表明 理想门限系统的输出的相关函数在数值上等于输入过程的二维概率密度 4 2 设对称限幅器的特性为 00 00 00 yX tx Y tX txX tx yX tx 1 已知输入过程 X t 的一维概率密度 求输出 Y t 的一维概率密度 2 当输入 X t 为零均值平稳正态随机过程时 自相关函数为 X R 求输出 Y t 的一维 概率密度 解答 1 由题意可知 000 P Y tyP X txFx 000 1 P Y tyP X txF x 0000 P Y tX tPxX txF xFx 所以 000000 1 YX fy tyy FxyyF xfy u xux 4 3 证明 Price 定理 提示 对于零均值平稳正态随机过程 它的二维特征函数为 222 121212 1 exp 2 XX R 将上式代入 4 2 8 式 然后对 RX 求导 利用傅里叶变换的性质 kk hxjH 即 可得证 证明 设有两个联合正态的随机变量 X 和 Y 其协方差为cov X YE XYE X E Y 设任意的一个函数 g x y 构造随机变量 g X Y E g X Yg x y f x y dxdy 与 有关 则 22 nnn nnnnn E g X Yg X Yg X Y Ef x y dxdy XYXY 设 X t 和 X t为联合正态分布的 其协方差为 cov X X tX tE X tX tE X tE X tR 对于零均值二维正态随机过程 222 121212 1 exp 2 XX R 12 1212 2 1 4 jxjy X f x yedd 12 1212 2 1 4 jxjy X E g X Yg x y f x yedddxdy 对 求 n 次导数 12 12 12 2 1 4 nn jxjy X nn E g X Y g x y f x yedddxdy 且 12 1212 1 n