2015年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题及答案.doc

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 20151（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为 A B C D无法确定 3设函数的图象为，下面结论中正确的是A函数的最小正周期是B图象关于点对称C图象可由函数的图象向右平移个单位得到D函数在区间上是增函数4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A B C D5.表示不重合的两个平面，表示不重合的两条直线若，则“”是“且”的 A充分且不必要条件 B必要且不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6在中，则的最大值是 A B C D7点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是A. B. 3 C. D.28.设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，则集合中元素的个数最多是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上9角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 10双曲线（）的离心率是 ；渐近线方程是 11.设不等式组表示平面区域为,在区域内随机取一点,则点落在圆内的概率为 .12有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间13在锐角的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答） 14已知函数下列命题：函数既有最大值又有最小值；函数的图象是轴对称图形；函数在区间上共有7个零点；函数在区间上单调递增其中真命题是 （填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在2080岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在20,40)岁的人为“青年人”，40,60)为“中年人”， 60,80为“老年人”.（）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望16（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面， ，点是的中点，点在边上移动（）若为中点，求证：/平面；（）求证：；DPCBFAE203040506080700.010.030.02年龄（）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.17（本小题满分13分）若有穷数列，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”例如，和都是“对称数列”（）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列求的所有项和；（）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列求的前项和，.18（本小题满分13分）设函数（）当时,求函数的单调区间；（）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围19（本小题满分14分）已知椭圆过点，离心率为过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点（）求椭圆的标准方程；（）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由20（本小题满分13分）已知函数，,且（）当，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值；（）求证：方程有两个不相等的实数根；（）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案（理工类） 20151一、选择题（满分40分）题号12345678答案DCBACDAC二、填空题（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）题号91011121314答案;11;11120三、解答题（满分80分）15.（本小题满分13分）解：（）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：（岁）.4分（）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为.所以从该城市2080年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为.依题意，X的可能取值为.,所以，随机变量X的分布列如下表：因此，随机变量X的数学期望.13分16. （本小题满分14分）（）证明：在中，因为点是中点，点是中点，所以/又因为平面，平面，所以/平面.4分（）证明：因为底面是正方形，所以又因为侧面底面，平面平面=， 且平面，所以平面由于平面，所以由已知，点是的中点，所以又因为，所以平面.因为平面，所以.9分DCBFAEPxFyzF（）点为边上靠近点的三等分点因为，所以由（）可知，平面.又/,所以平面，即， .所以，两两垂直分别以，为轴，轴，轴,建立空间直角坐标系（如图）.不妨设，则，.于是，.设平面的一个法向量为，由 得 取，则，得 由于，,所以平面.即平面的一个法向量为根据题意，解得由于，所以.即点为边上靠近点的三等分点.14分17.（本小题满分13分）（）依题意，.则，.则 .6分（）依题意，因为是50项的“对称数列”，所以， 所以当时，；当时，.综上， .13分18. （本小题满分13分）（）解：当时，由得，解得或；由得，解得所以函数的单调增区间为,，单调减区间为.5分 （）因为，又因为函数的图象总在的图象的上方，所以，即在恒成立又因为，所以，所以又，所以设，则 即可又由，注意到，解得；由，注意到，解得所以在区间单调递增，在区间单调递减所以的最小值为或因为，作差可知，所以所以的取值范围是 .13分 19（本小题满分14分）解：（）由已知得,解得.所以椭圆的标准方程为.4分（）直线过定点.说明如下：由（）可知椭圆右顶点由题意可知，直线和直线的斜率存在且不为设直线的方程为由得 成立，所以所以所以于是，点因为直线和直线的斜率乘积为，故可设直线的方程为同理，易得所以点所以,当时,即时,.直线的方程为.整理得.显然直线过定点（点关于原点对称）当,即时，直线显然过定点综上所述，直线过定点 .14分 20（本小题满分13分）（）当，时，.当时，即.依题意，若方程恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：（1）若是一元二次方程的一个实数根，则时，方程可化为，恰存在两个相等的实数根(另一根