2015年全国高中数学联赛湖南赛区预赛.pdf

2 0 1 6年第 2期 2 9 2 0 1 5 年全国高中数学联赛湖南赛区预赛 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 6 0 2 0 0 2 9 0 5 一 选择题 每小题 5分 共 3 O分 1 将某选手 的九个得分去 掉一个 最高 分 去掉一个最低分 七个剩余分数的平均分 为 9 1 现场做的九个分数的茎叶图有一个数 据模糊 无法辨认 在图 1中以 表示 则七个剩余分数的方差为 A 1 1 6 B 36 8 I 7 7 I 9 4 0 1 0 9 1 I l C 3 6 D 半 图 l 2 半径为 R的球 的内部装有 四个半径均为 r 的小球 则 r 可 能的最大值为 A R B R 2 4 3 3 6 1 c R D R l 4 3 2 5 3 已知数列 a b 对任意 n Z 均有 a b 当 n 时 数列 a b 的极限分别为 B 则 A A B B A B C A B D A与 B的大小关系不确定 4 对所有满足 1 r t m 5的 m n 极 坐标方程 P 条数为 1 1 一 C c o s 表示的不 同双曲线 A 6 B 9 C 1 2 D 1 5 5 使关于 的不等式 有解的实数 k 的最大值为 A 一 B c 6 3 D 6 6 设 M a I a 一 Y x y E Z 则对 任意的整数 n 形如 4 n 4 十1 4 n 2 4 n 3 的数中 不是集合 中的元素为 A 4 n B 4 n 1 C 4 n 2 D 4 n 3 二 填空题 每小题 8 分 共 4 8分 7 已知三边为连续 自然数的三角形的最 大角是最小角的两倍 则该三角形的周长为 8 对任一实数序列 A a 口 定义 z I A a 2 一a 1 a 3 一 a 2 其第 n 项为 a 一 a 假定序列 A 的所 有的项均为 1 且 a a 0 则 a 的值为 9 满 足 使 1 i 为 纯 虚 数 的 最小正整数 n 一 1 O 将 1 2 9这 九 个数字填在如 图 2的九个 空格中 要求每一行从左到 右 每一列从上到下分别依 次增大 当3 4固定在图中 的位置时 填写空格的方法 数为一 图 2 1 1 记集合 T 0 1 6 等 a2 a3 a4 l 2 3 4 将集合 M 中的元素按从大到小顺序排 列 则第 2 0 1 5 个数为 3 0 l I等 数 学 1 2 设直线系 M X e O S Y一 2 s i n 0 1 0 0 2 丁 c 对于下列四个命题 直线系 中所有直线均经过一定点 存在定点 P不在直线系 M 中的任一 条直线上 对于任意整数 n n 3 存在正 凡边 形 其所有边均在直线系 中的直线上 直线系 中的直线所能 围成 的三角 形面积均相等 其中 真命题 的序号为 写 出所有 真 命题的序号 三 解答题 共 7 2分 1 3 1 6分 如图3 已知 A B为 R t A B C 的斜边 为其 内 心 若 I A B 的 外 接 圆 半 径 为 R t A B C 的 内切圆半径为 r 证 明 C 图 3 R 2 2 r l d 1 6分 如图4 A B为椭圆 Y 1 U b o 与双曲 线 一 y 1 的 公共顶点 正 U P Q分别为双 曲线 和椭 圆上不 同于 A B的 动点 且满足 X A Q B Q R I I 1 J 牙 图 4 证明 1 0 P Q三点在同一直线上 2 若直线 P A Q B Q的斜率分别 为 k l k 2 k 3 k 4 则 k l k 2 k 3 k 4 为定值 1 5 2 O分 已知数列 0 b 满足 1 n l 0 l b 1 z b 对于正整数 n 定义函数 C t n X b 证明 若 0 b 为整数 且 有两个 整数零点 则必有无穷多个 有两个整 数零点 1 6 2 0分 已知 0 0 函数 i n 一n 一1 g e 1 经过原点分别作 曲线 Y 厂 y g 的切线 Z Z 若两切线 的斜 率互为倒 数 证 明 0 时 h 1 恒成立 试求实数 的取值范围 参 考 答 案 1 B F 1 条件 知这组数据为 8 7 8 7 9 4 9 O 91 9 0 9 9 9 91 其最高分为 9 9 最低 分 为 8 7 剩余数 据 为 8 7 9 4 9 O 9 l 9 0 9 0 9 1 贝 0 9 l 4 从而 所求方差为 8 7 9 1 9 4 9 1 9 O一 9 1 9 1 9 1 9 0 9 1 9 4 9 1 9 l 一 9 1 3 6 了 2 B 由条件 知 四个小球球心构成正三棱锥 的四个顶点 大球球心为该棱锥的中心 由正三棱锥的 内接 球半径可用体积法 2 0 1 6年第 2期 3 1 求得 r 知 肚 r r j r 3 B 若取 n 6 则 口 而 l i ra a l i m b 0 故 A B不一定 成立 但可保证 A B 4 A 当 m 时 P 南表 示 抛 物 线 当 m n时 令 e C 1 注意到 C C C C C C C c 故离心率 e 1的取值共有 1 0 4 6个 不同的值 5 D 令 Y 一 3 石一 3 戈 6 贝 0 Y 2 一 3 6 一 6 013 存在正 n 边形使其 内切圆 为oc 故命题 正确 直线 系 M 中边能组成两个大小不 同的 A B C和 A E F 故命题 错误 综上 命题中正确的序号为 三 1 3 在 l A B中 A I B 1 8 0 一 C A B C B A 1 3 5 由正弦定理得 B 在 R t A B C中 设 B A C 0 0 0 o 孔 一 o 贝 1 而 1 一 e在 1 上 单 调 递 减 1 e 一 故 0 0 矛盾 t e 综上 口1 2 一 1 0 于是 在 区间 0 上递 增 h N h x 1 恒成立 符合题意 i i 当 a 2时 由 E 0 且 一