微积分1试卷(10年)浙江大学.pdf

微积分 I 期末试卷 2010 2011 学年秋冬学期 浙江大学 2010 2011 学年秋冬学期 微积分 I 课程期末考试试卷 浙江大学 2010 2011 学年秋冬学期 微积分 I 课程期末考试试卷 1 至至 9 题及题及 14 题每题题每题 6 分 分 10 至至 13 题每题题每题 10 分分 1 求曲线xyxxy cos ln 上点0 x处的切线方程 2 设求 y 对 x 的 10 阶导数 1ln xxy 10 xy 3 求 11 sin 1ln lim 32 0 x xx x 4 求 cossinlim 2 1 2 0 x x xx 5 设时1 x 1 lim xn xn n e ex xf 讨论的连续性 xf 6 求 d sin cos 2 x x xx 7 求 d1 2 1 1 22 xxxx 8 设常数 a满足 10 a讨论级数 1 1 1 n n n na 的收敛性 是条件收敛 绝对收敛 还 是发散 应说明理由 9 试将函数 2 1 x xf 展开成的幂级数 并写出其成立范围 2 x 第 1 页 共 5 页 微积分 I 期末试卷 2010 2011 学年秋冬学期 10 设 b 为常数且积分x xx xbx d1 2 1 1 2 收敛 求 b的值及该积分的值 11 设 1 求 d sin 0 ttxS x S及 nS n 为正整数 2 求 lim x xS x 12 设 1 求 2 求的和 2 1 d 1 1 0 1 nxxxa n n n a 1 1 n n n an 13 设在 xf 上存在二阶导数 0 0 0 xff证明 1 至多有两 个零点 至少有一个零点 2 若的确有两个零点 则此两零点必反号 注 的零 点就是方程的根 xf f xf x 0 xf 14 设常数 0 积分x x x Id 1 cos 2 0 1 与 d 1 sin 2 0 2 x x x I 试比较与的大小 是 还是 1 I 2 I 21 I 121 IIII 2 I 或者要由 而定 应说明推理过程 第 2 页 共 5 页 微积分 I 期末试卷 2010 2011 学年秋冬学期 参考解答 1 1ln 0eyyx 时 对方程关于 x 求导 1 sin 1 yxyyx xy y 代入 得 0eyx 1 0 ey 则切线方程为 1 xeey 2 解 1 1 1 1 1 1ln 1 2 xx yx x x y 1 11 1 2 1 23 3 xx y 1 8 1 9 1 8 1 1 9 1 9109 8 10 10 10 xxxx y 解 2 1ln xvxu 10 2 1 1 1 1 1 n x n u n n n 110 9 10 10 10 uxuvuy 9 8 10 9 1 8 1 10 1 9 1 xx x 910 1 810 1 9 xx x 10 1 8 10 x x 1 8 1 9 910 xx 3 解 1 2 0 32 0 3 1 sin 1ln lim 11 sin 1ln lim x xx x xx xx x x x x 2 cos 1 1 lim3 0 1 cos 1 1 lim 2 3 0 xx xx x 2 3 sin 1 coslim 2 31cos 1 lim 2 3 00 xxx x xx xx 解 2 原式 2 3 3 2 2 0 3 1 6 2 lim x xo x xxo x x x 2 3 2 lim3 2 2 0 x xo x x 2 4 解 1 2 1 2 0 cossinlim x x xx 2 2 0 cosln sin lim x xx ex 罗必达法则 ee x xx e xxx xx e x x 2 1 1 0 2 0 2 sin2sin lim cos sin2 sin2sin lim 解 2 原式 2 2 0 1cos sin1ln lim x xx ex 2 2 0 1cossin lim x xx ex ee x x x x ex 2 1 122 2 0 cos1 sin lim 5 0 1 0 2 1 01 x x xx xf 0 0 0 ff xf 在0 x处间断 在其它点处连续 第 3 页 共 5 页 微积分 I 期末试卷 2010 2011 学年秋冬学期 6 x x xx d sin cos 2 sin 1 d x x x xx x d sin 1 sin xx x x dcsc sin Cxx x x cotcsc ln sin 7 xxxxd1 2 1 1 22 xxxxxxd1 4 4 1 1 222 xxxd110 1 0 22 ttttxdcossin10sin 2 0 22 tttd sinsin 10 2 0 42 8 5 4 3 1 22 1 10 8 1 1 1 n nna u n n 故级数 发散 1 n n u 又 1 1 1 1 1 1 na a nna aa u n nnn n nnn n 收敛 1 1 n n n n n nn a na a 1 1 1 1 1 n n nn na a 绝对收敛 111 1 1 1 n n nn n n n n na a n u收敛 则原级数条件收敛 另解 级数为交错级数 令 1 xaxf x ln1 aaxaxf xx 1 ln 1 lim lim x x xx a ax axf 当 x 充分大时 0 x f故单调递增 nanf n 1 na v n n 1 1 单调递减 且 0 1 1 lim nan n 1 1 n n u 1 n n n v收敛 则原级数条件收敛 9 1 x xf 2 2 1 1 2 1 22 11 x xx 2 2 1 2 1 0 n n n n x 2 2 x 2 2 1 2 1 1 1 n n n n x n xf 即 40 2 2 1 1 1 0 22 xx n x n n n n 10 x xx xbx d1 2 1 1 2 x xx xb d 2 1 2 1 x xxx b d 2 1 2 2 1 x x b d 2 2 1 当时发散 当2 b2 b时为零 而 11 d 2 11 2 1 d 2 1 x xx x xx 3ln 2 1 2 ln 2 1 1 x x 则b 且原积分2 3ln 2 1 d1 2 12 1 2 x xx xx 11 1 而是周期为 2dsind sin 00 ttttS sin t 的周期函数 故 2d sin d sin d sin 0 1 1 0 nttnttttnS n k k k n 2 当 1 nxn时 1 nSxSnS 第 4 页 共 5 页 微积分 I 期末试卷 2010 2011 学年秋冬学期 1 x nS x xS x nS 即 1 2 1 2 n n x xS n n 而 2 1 2 lim 2 1 2 lim n n n n nn 令 x则由夹逼准则 2 lim x xS x 12 1 xxxa n n d 1 1 0 1 d 1 1 0 1 1 ttttx n ttt nn d 1 0 1 1 1 1 11 nnnn 或 n n xx n a 1 d 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 d 1 1 1 nn n x nn xx nn xx 1 1 nn 2 1 1 n n n an 1 1 1 1 1 01 n n n n nn 由 11 1 1 1ln 0 1 xx n x n n n 则 12ln 1 1 n n n an 13 1 0 xfxf 严格单调递增 x f 至多有一个零点在递减 在上递增 因而至多有两个零点 设 0 x xf 0 x xf 0 x 0 0 f 由泰勒公式 0 0 0 0 2 1 0 0 2 之间在xxxffxfxffxf 取 0 0 0 0 0 0 0 xfxfcf f f c有则在 xf 0 内有一个零点 同理 若 0 0 f 取 0 0 0 0 0 0 0 xfxfcf f f c有则在 内有一个零点 xf 0 若 因由连续函数保号性 0 0 f 0 0 f 0 0 0 bfafba使 xf 0 且 对 a b 类似点 由上讨论可知 在 0b f a f 0 x a和 内各有一个零点 则至少有一个零点 0 b xf 2 由 1 已证 在或 xf 0 0 内有一个零点 若确有两个零点 则分别在 0 和内 因而必反号 0 14 x x xx IId 1 sincos 2 0 21 x x xx x x xx d 1 sincos d 1 si