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一道中考题的多种解法和变形赏析 鲁进林 (江苏省海安县曲塘镇章郭初中 226661 )对数学问题进行“一题多解”，“一题多变”不仅能使我们掌握相应的几种解题技巧，还可以帮助我们全方位地观察问题，多角度多层次地深入理解数学知识，提高数学解题的能力，使我们的思维灵活，解题思路开阔，应变能力增强本文从无锡市2010年中考数学第26题的分析, 结合教学实践谈谈笔者的体会原题(1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明图1证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747转载请注明！（下面请你完成余下的证明过程）图2（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）一、对学生进行“一题多解”训练能帮助学生掌握解题方法所谓一题多解，就是同一个问题，因思考的角度不同，可以得到多种不同的解法进行一题多解训练可以使学生得到灵活多变的解题方法寻求多种不同的解法，有利于提高学生综合运用数学知识的能力、全面分析同题的能力及发散思维能力寻找最简捷的解题途径还可以增强学习数学的兴趣数学教学活动中，我们应有意识地进行一题多解训练，培养学生一题多解的习惯，帮助学生掌握灵活多变的解题方法提高解题能力【分析】要想证明线段相等，往往想到利用全等三角形，而线段AE、EF所在的三角形不全等，故想到重新构造三角形全等可以构造与已知三角形全等的三角形，还可以利用翻折或旋转来构造全等三角形【解法1】按给出的思路解答，作辅助线(如图1)，在边AB上截取AE=MC，连ME证明过程略【解法2】如图3，连结AC，并延长到F，使CNCF，N连结NM可证MCFMCN(SAS)，FM，EFEM又FCAEPMCAEM图3AEME即AEEF F【解法3】如图4，延长AB到M，使BMAB，连结ME、MC可证ABEMEB(SAS)，ABBCBM，AEMEBCMBMC45M、C、F三点在一条直线上EMC45BME45BAE45FECFMEEF即AEEF图4【解法4】如图5，连结AC，过点E作EMBC交AC于点M，垂足为E可证AEMFEC(ASA)从而问题得证【解法5】如图6，延长AB到M，使BMBE，连结ME、MC可证ABECBM(SAS)AECM， BCMBAE图5BAEFEC，FECBCMEFCM又FCEMEC135，EMCF图6二、进行一题多变训练帮助学生拓展解题思路一题多变有利于扩大学生视野，深化知识，举一反三，触类旁通数学教学活动中我们还应通过一题多变的训练，引导学生从不同角度、不同方向去思考问题，培养思维的变通性、灵活性，拓展解题思路此题的第二、三问都属于“一题多变”第二问 将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”其证明方法与(1)中相似.第三问 将(1)中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”这道题改变的是题设中图形.赏析原题（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3这道题是改变点E的位置.解题方法与上题相似.赏析原题 （2009四川绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；（2）若mn时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由xOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF（3）若m = tn（t1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标【分析】通过构造全等三角形进行证明【解答】（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE EGO = 45，从而 AGE = 135由BF是外角平分线，得 EBF = 135， AGE =EBF AEF = 90， FEB +AEO = 90在RtAEO中， EAO +AEO = 90， EAO =FEB， AGEEBF，EF = AE（2）假设存在点E，使EF = AE设E（a，0）作FHx轴于H，如图由（1）知EAO =FEH，于是RtAOERtEHF FH = OE，EH = OA 点F的纵坐标为a，即 FH = a由BF是外角平分线，知FBH = 45， BH = FH = a又由C（m，n）有OB = m， BE = OBOE = ma，xOEBAyCFG EH = ma + a = m又EH = OA = n， m = n，这与已知mn相矛盾因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OHOE = h + ma由 AEF = 90，EAO =FEH，得 AOEEHF， EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，且，即，整理得 nh = ah + ama2， HxOEBAyCF把h =（t + 1）a 代入得 ，即 ma =（t + 1）（na）而 m = tn，因此 tna =（t + 1）（na）化简得 ta = n，解得 t1，