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文档简介

导数在研究函数中的应用要点精讲用导数的方法研究函数的单调性，主要根据导数的正负来判断函数的增减情况；函数在是点的导数为0是函数取到极值的必要不充分条件，还需考察两边导数的符号才能确定是否在这点取到极值；函数在闭区间上的最大(小)值通过比较极值和区间端点的函数值来求得 典型题解析【例1】设函数是定义在上的奇函数，当时，（a为实数） （1）当时，求的解析式； （2）若，试判断在（0，1上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a，使得当时，有最大值【解】（1）设，则 为奇函数， （2） 即在上是单调递增的（3）当时，在单调递增 解得：（不合题意） 当，则 如表可知x0最大值 , 存在，使函数在（0，1）上有最大值.【例2】求函数在0，2上的最大值和最小值【分析】本题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力 解题突破口：本题是典型的用导数法求最大值及最小值问题,基本思路为：1求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f(x)；（2）求方程f(x)=0的根；（3）检查f(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值2求闭区间上函数最值的方法：比较极值与区间端点处函数值的大小 【解】令 化简为 解得当单调增加；当单调减少所以为函数的极大值又因为所以为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大值【例3】(2004年湖南卷文史类) 如图，已知曲线C1：y=x3(x0)与曲线C2:y=2x3+3x(x0)交于O，A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于B，D.（）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);OtxyDBAC1C2B（）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.【解】（）由得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.即 （） 令 解得 当从而在区间上是增函数；当从而在区间上是减函数.所以当 时，有最大值为 【例4】已知求函数的单调区间【分析】 与a的取值有关，应正确应用分类讨论思想方法与解不等式的技能利用在 D内单调递增 在 D内单调递减解决此类问题【解】（I）当a=0时，若x0，则0,则0所以当a=0时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数（II）当 由所以，当a0时，函数f(x)在区间（，）内为增函数，在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当a0，解得0x,由2x+ax20，解得x所以当a0, 当（1,+）时,0, 所以S(t)的最大值为S(1)=规律总结解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数
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