数形结合在各模块中的应用.doc

数形结合思想在各模块中的应用武陟城关高中 张志红所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，数学结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在高考中占有非常重要的地位。数形结合思想的应用包括以下两个方面：（1）“以形助数”把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；（2）“以数解形”把直观图形数量化，使形更加精确。一、数形结合思想在集合中的应用、 在集合中（1）当集合的元素为有限个时，一般选用Venn图，把集合中的元素直观的表示出来，观察Venn图时，要联想到集合的运算，这需要具备一定的读图能力。（2）当集合的元素是一个区间时，通常在数轴上表示出有关集合，借助于图形，直观地看出集合运算的结果或有关问题的解。例1 （2011安徽高考）集合U=1，2，3，4，5，6，S=1，4，5 T=2，3，4，则S(CUT)等于 （ ）A.1,4,5,6 B.1,5 C.4 D.1,2,3,4,5例2 （2011山东高考）设集合M=x|x2+x-6bc0,则 的大小关系是解析 作出函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图，xcaob而 的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知三、数形结合思想在方程与不等式中的应用：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 例4 若关于x的不等式 的解集仅有一个元素，求的值。解：如图：在同一坐标系内，作出与的图象。题设条件等价于抛物线在直线与之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线上，故方程组 仅有一组解。 即 例5：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：f(x+1)=f(x-1);当x-1,1时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（ ）(A)5 (B)7 (C)9 (D)10解析：（1）选C由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x) =lgx，则x（0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。四、数形结合思想在三角函数中的应用：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 yx0C DAB 例6、已知那么下列命题正确的是（ ）A、若、是第一象限角，则B、若、是第二象限角，则C、若、是第三象限角，则D、若、是第四象限角，则分析 考察选项A，作单位圆，如图，OA、OB分别为角、的终边，OC为的余弦线，OD为的余弦线，则有知A错，依次判断知选D。例7、已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)，求证：.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上. 错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二. 技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cos,sin）与点B（cos,sin）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即 .五、数形结合思想在线性规划问题中的应用：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 （1） 线性规划问题中体现了数形结合思想，其一般步骤是首先确定约束条件的可行域，如三角形、四边形等；其次赋予目标函数与直线系的截距（纵截距与横截距）的几何意义，最后通过观察截距的取值范围，确定目标函数的取值范围或最值。（2）在一些实际问题中，如果遇到整数的条件，则要在可行域的范围内，逐步平移目标函数进行验证。例8、（山东卷，理12改编）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）ABCD分析：先画出不等式表示的平面区域，再画出对数函数的图象，借助图形解答。解： 区域是一个三角形区域，三个顶点的坐标是，结合图形检验可知当时，符合题目要求。评注：解决不等式表示的平面区域和函数问题都要用数形结合，做到一目了然。六、数形结合思想在解决数列问题中的应用：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。例9、设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，求a4的最大值. 解 设等差数列的首项为a1，公差为d, 则S4=4a1+6d10，即2a1+3d5, S5=5a1+10d15，即a1+2d3.又a4=a1+3d, 因此求a4的最值可转化为在线性约束条件 限制之下的线性目标函数的最值问题， 作出可行域,如图 可知当a4=a1+3d，经过点A（1，1）时有最大值4.七、数形结合思想在解决解析几何问题中的应用：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 例10.（海南卷，理11）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）ABCD分析: 点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时, 点P到点的距离与点P到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点P到抛物线的焦点的距离转为到准线的距离求出.解: 点在抛物线的内部,要使点P到点的FPQ距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点的距离与点P到抛物线准线距离之和取得最小,即时最小.则故选A. 例11、已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求PF1+PA的最大值和最小值.解：由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如图：由PAPF2AF2=知PAPF2.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即PAPF2的最大、最小值分别为，.于是PF1+PA的最大值是6+,最小值是6.总结：1数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效2此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决八、数形结合思想在解决立体几何问题中的应用：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。 例12：如图1,在直角梯形中, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.() 求证:平面；() 求二面角的余弦值.解析:（）在图1中,可得,从而,故.取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面. ，又,.平面. （）建立空间直角坐标系如图所示,则,. 设为面的法向量,则即,解得.令,可得.又为面的一个法向量，.二面角的余弦值为.总结：1应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算2立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口总之数形结合思想在各个模块及高考中占有非常重要的地位，其“数”