导数的运算及简单应用.docx

多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2020-3-412.1 导数的概念与运算一、复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线。复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，淡化某些公式、法则的理论推导.课本给出了几个简单函数的导数公式，要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视。但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.二、要点精讲1导数的概念函数如果自变量在处有定义，当自变量在有增量时，则函数相应地有增量，比值叫做函数在到之间的平均变化率，即=。 如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导，并把这个极限叫做f（x）在点处的导数，记作或。即=。说明：（1）函数f（x）在点处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点处不可导，或说无导数。（2）是自变量在处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数在点处的导数的步骤：（一差二比三极限）（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数=。2. 导函数如果函数在开区间内的每点都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数中开区间内的导函数，简称导数，也可记作，及即=函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即3. 导数的意义几何意义函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率。也就是说，曲线在点处的切线的斜率是。物理意义：若物体运动方程是，在点处导数的意义是处的瞬时速度.设是速度函数，则表示物体在时刻的加速度。4几种常见函数的导数 （C为常数） 5两个函数的和、差、积的求导法则法则1： ( 法则2： （为常数）法则3： =。6. 复合函数求导步骤：分解求导回代。 法则： 三、课前热身1、设函数在处可导，则等于A. B. C. D. 2、某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是A. B. C. D. 3、下列函数求导数：；其中正确的有A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个4、曲线在点处切线的倾斜角是A. B. C. D. 5、对任意x，有（x）=4x3，f（1）=1，则此函数为A. f（x）=x42 B. f（x）=x4+2 C. f（x）=x3 D. f（x）=x4解析：筛选法.6、已知，则 ， ，曲线点处的切线方程为 .7、若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_.解：y=2x1，y|x=2=5. 又P（2，6+c），=5. c=4.8、曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .9、曲线上的点处的切线平行于直线，则切点的坐标是 .10、已知抛物线与直线相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为 求A、B两点的坐标； 求直线与的夹角的正切值.11、求下列各函数的导数； ； 四、典例精析考点一：导数的概念问题1、设函数可导，则等于A. B. C. D. 2. 若函数f（x）=2x21的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1+y），则等于 A.4 B.4xC.4+2x D.4+2x2解析：y=2（1+x）211=2x2+4x，=4+2x.3. 如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为A.6 B.18 C.54 D.81解析：s=6t2，s|t=3=54.4、求函数在处的导数.5. 设函数在处可导，且，求；已知，求6. 设是定义在上的函数，对任何都有，若， 证明：对任意，都有考点二：导数的四则运算及复合函数的导数7. 求下列各函数的导数； ； ； ； ； 8.设函数f（x）=（xa）（xb）（xc）（a、b、c是两两不等的常数），则+=_.解析：f（x）=x3（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）xabc，（x）=3x22（a+b+c）x+ab+bc+ca.又（a）=（ab）（ac）， 同理（b）=（ba）（bc）， （c）=（ca）（cb）. 代入原式中得值为0.9.（09辽宁文）若函数在处取极值，则 f(x) f(1)0 a3考点三：求曲线的切线方程10. 设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为A.0， B.0，C.0，|D.0，|过P（x0，f（x0）的切线的倾斜角的取值范围是0，P到曲线y=f（x）对称轴x=的距离d=x0（）=x0+.又（x0）=2ax0+b0，1， x0，.d=x0+0，.11. 曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为A.y=3x4 B.y=3x+2C.y=4x+3 D.y=4x5点（1，1）在曲线上，y=3x26x， 切线斜率为31261=3. y+1=3（x1）.12. 已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是_.P（2，4）在y=x3+上， 又y=x2，斜率k=22=4. 所求直线方程为y4=4（x2），4xy4=0.13. 过点P（1，2）且与曲线y=3x24x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是_.y=6x4，切线斜率为614=2. 所求直线方程为y2=2（x+1），即2xy+4=0.14.（09全国卷理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点，则,又.故答案选B 15.（09江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为ABCD由已知，而，所以故选A16.（09全国卷理）曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 解：,故切线方程为,即 17.（09福建理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。18.（09宁夏海南文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。，斜率k3，所以，y13x，即19.（2010全国2文）若曲线在点处的切线方程是，则（A） (B) (C) (D) 解：，在切线上， 20. 已知曲线，直线，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标。剖析：切点（x0，y0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：直线过原点，则k=（x01）. 由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x033x02+2x0，=x023x0+2. 又y=3x26x+2，在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=(x0)=3x026x0+2. x023x0+2=3x026x0+2.整理得2x023x0=0. 解得x0=（x00）. 这时，y0=，k=.因此，直线l的方程为y=x，切点坐标是（，）.评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.21. 证明：过抛物线y=a（xx1）（xx2）（a0，x10 B. （x0）0 C. （x0）=0D. （x0）不存在由题知（x0）=3.3.函数f（x）=ax3+3x2+2，若（1）=4，则a的值等于_.解： （x）=3ax2+6x，从而使3a6=4，a=.4.（09安徽理）设b,函数的图像可能是 解：，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C5. 曲线y=2x2+1在P（1，3）处的切线方程是_.解：点P（1，3）在曲线上，k=（1）=4，y3=4（x+1），4x+y+1=0.6. 已知曲线y=x21与y=3x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0.解：在x=x0处曲线y=x21的切线斜率为2x0，曲线y=3x3的切线斜率为3x02.2x0（3x02）=1，x0=.7. 点P在曲线y=x3x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.解：tan=3x21， tan1，+）.当tan0，+）时，0，）； 当tan1，0）时，）.0，），）.8. 曲线y=x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）kAB=2， y=2（x4）. 所求割线AB所在直线方程为2x+y8=0.（2）=2x+4，2x+4=2，得x=3，y=32+34=3.C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y9=0.9. 若直线y=3x+1是曲线y=x3a的一条切线，求实数a的值.解：设切点为P（x0，y0），对y=x3a求导数是=3x2，3x02=3.x0=1.（1）当x=1时， P（x0，y0）在y=3x+1上， y=31+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3a上， 4=13a.a=3.（2）当x=1时， P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3（1）+1=2，即P（1，2）.又P（1，2）也在y=x3a上， 2=（1）3a.a=1.综上可知，实数a的值为3或1.10. 确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.解：=2x+b，k=y|x=2=4+b=2， b=2.又当x=2时，y=22+（2）2+c=c， 代入y=2x，得c=4.11. 曲线y=x3+3x2+6x10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：=3x2+6x+6=3（x+1）2+3， x=1时，切线最小斜率为3，此时，y=（1）3+3（1）2+6（1）10=14.切线方程为y+14=3（x+1），即3xy11=0.12. 曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=2x21相