高等数学考研辅导练习7-8 一元微积分学应用、无穷级数.doc

高等数学考研辅导练习6 一元微积分学应用1 设，下列命题正确的是 。A 是极大值，是极小值；B 是极小值，是极大值；C 是极大值，是极大值； D 是极小值，是极小值。2 曲线弧上那一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。3 设由参数方程确定，则曲线为凸的的取值范围为： 。4 证明当时，实系数方程只有唯一的实根。5 试着用单调性和中值定理两种方法证明当时，。6 证明当时，有。7 证明，这里。8 证明，这里。9 设在上连续，且严格单调，证明。10设在上连续，且，证明。11设在上连续，且单调减少，。证明对任意的有。12 设在上连续，且单调不增。证明对任意的有。13设在上连续，在内存在且可积，试证。14 设，证明。15 设在上单增，且，证明。16 设在上非负可积，且，试证。17 设恒正，且，则当时，有（ ）：A ； B ；C ； D 。18 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形。（1） 求的面积；（2） 求绕直线旋转一周得旋转体的体积。19设是由抛物线和直线围成的平面区域；是由抛物线和直线围成的平面区域，其中。（1） 求绕轴旋转一周得旋转体的体积；绕轴旋转一周得旋转体的体积。过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形。（2） 为何值时，取得最大值，并求出最大值。20 求旋轮线一拱绕轴旋转一周得旋转体的表面积。21 求心形线的全长。22 在平面上连续曲线过点，其上任意一点处的切线斜率与直线的斜率之差为，这里的常数。 （1） 求的方程；（2） 当与直线所围成的平面图形的面积为时，确定的值。23 位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积为 。24 双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）：A ； B ；C ； D 。25 由曲线围成的平面图形的面积 。26 曲线与轴所围图形的面积可表示为（ ）：A ； B ；C ； D 。27 求曲线在区间内的一条切线，使其与及所围图形的面积最小。练习8 无穷级数1 判断下列级数的敛散性，并说明理由。（1） ；（2） ； （3） 。2 若收敛，（1） 证明下列级数皆收敛：；（2） 问：当时，是否一定收敛？说明理由。3 已知单减，且，证明收敛。4 求下列函数项级数的收敛域：（1） ； （2） 。5 写出的展开式，注明收敛域，并求的级数表示。6 求下列幂级数的和函数（1） ； （2） ； （3）。7 求下列函数的幂级数展开式。（1） ； （2）； （3） 。8 求在处的泰勒展开式，并求的值。9 求幂级数的收敛半径和收敛域。10 将函数展开成的幂级数，并求级数的和。11 若收敛，则（ ）。A收敛； B. 收敛； C. 收敛； D. 收敛。12设，若发散， 收敛，则下列正确的是 。A 收敛，发散； B. 发散，收敛； C. 收敛； D. 收敛。13 （1）验证函数满足微分方程。 （2）利用（1）的结果，求幂级数的和函数。14 设幂级数的收敛半径分别为和，则幂级数的收敛半径为 。 。15 设，试证（1）存在； （2） 级数收敛。16 设常数，且级数收敛，则级数是（ ）。（A） 发散； （B） 条件收敛； （C） 绝对收敛； （D） 收敛性与有关。17级数（ ）。（A） 发散； （B） 条件收敛； （C） 绝对收敛； （D） 收敛性与有关。18 已知级数，则级数 。19 设常数，则级数（ ）。（A） 发散； （B） 条件收敛； （C） 绝对收敛； （D） 收敛性与有关。20 设，则 。21 设，其中，则 。22 设，则以为周期的傅立叶级数在点处收敛于 。23 设函数，而，其中，则 。24 设幂级数在处收敛，则此级数在处（ ）。（A） 条件收敛； （