概率论的起源及其在经济管理中的应用.docx

第一章 绪论概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累。今日的概率论已经被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝多叶茂，硕果累累。正如世界知名概率学家、华裔数学家钟开莱于1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。”概率论发展的每一步都凝结着数学家们的心血，正是一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论伟大的今天。本文先从概率论的起源谈起，讲述从17世纪到今天世界各国数学家对概率论发展所做出的贡献。然后向大家介绍概率论与数理统计在经济管理方面的简单应用。第一章 概率论的发展1.1概率论的创立具有概率性质的最初问题源于人类生活的各个领域，后逐渐具体化为概率论的概念和方法。保险公司收集的数据成为概率论初期所利用的原始材料。统计资料促进了概率论基本概念的形成。17世纪荷兰、西班牙、法国、英国、德国出现了各种参考手册，上面记载着教区居民结婚、参加洗礼、举行葬礼的登记数，后来还增加记录了出生、死亡人口的性别及死亡原因等数据。基于这些统计资料出现了一些概念，比如在某一阶段死亡的可能性，能活到某一年龄的机会等等。因此，在各个历史时期里，一同程度地进行着收集、分析统计数据的活动，直到资本主义的出现，系统而足够广泛的统计研究才开始。那时贸易和货币交易，尤其是和保险有关的业务正迅速发展，而且各种新机构相继建立。所以，统计是推动概率论早期发展的一个基本因素。数学观测理论刺激了概率论的发展。文艺复兴时期自然科学迅猛发展，观测和实验的重要性也日益增加。处理观测结果的方法，特别是估计观测中出现的误差，成为数学家研究的课题。哲学思想影响了概率论的早期发展。偶然性和必然性之间的相互关系，规律和因果关系等问题都是古代研究的对象，长期以来在哲学家的研究议题是重要对象。只有概率的估计出现在人类活动的各个领域，且数学技术达到一定先进程度时，概率论方能出现。17世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡（16231662）提出了一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局，则得到全部赌本100法郎。但当甲赢了二局、乙赢了一局时，因故要终止赌博。现请问这100法郎如何分才算公平？这也就是著名的“点数问题”。该问题引起了不少人的兴趣。首先大家都认识到：平均分对甲不公平；全部归甲对乙不公平；合理的分法是按一定的比例，甲多分些，乙少分些。所以问题的焦点在于：按怎样的比例来分。帕斯卡和费马的通信中讨论了“点数问题”，并获得了成功。1654年帕斯卡提出了如下的分法：设想再赌下去，则甲最终所得X为一个随机变量，其可能取值为0或100.再赌二局必可结束，其结果不外乎是一下四种情况之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 其中“甲乙”表示第一局甲胜第二局乙胜。因为赌技相同，所以在这四种情况中有三种可使甲获100法郎，只有一种情况（乙乙）下甲获得0法郎。所以甲获得100法郎的可能性为3/4，获得0法郎的可能性为1/4.经上分析，帕斯卡认为，甲应得0*1/4+100*3/4=75法郎；同理，乙分25法郎。帕斯卡和费马（P.Fermat，16011665）用数学演绎法和排列组合理论圆满的解决了“点数问题”。但由于他们关于这个问题的通信直至1679年才完全公布于世，而惠更斯（Christian Huygens,1629-1695）于1657出版了论赌博中的计算。该书是第一部概率论著作，它先从关于公平赌博值得一条公理出发，推导出有关数学期望的三条基本定理，利用这些定理和递推公式，解决了点子2问题及其他一些博弈问题，最后提出了5个问题留给读者解答，并仅给出了其中三个的答案。故从某种意义上讲，惠更斯的论赌博中的计算标志着概率论的诞生。1.1 从古典概率论到分析概率论概率论发展初期讨论的赌博问题属于古典概型，即随机试验只有有限个基本事件，且每个基本事件的概率相等。若随机试验重复实现，如掷一枚骰子n次，那么出现m次6点的概率是多少？其计算方法是设某事件E在一次试验中出现的概率为p ，则不出现的概率为1-p，则n次试验中出现m次事件E的概率为，其中，当n趋于无穷大时，概率的计算是相当麻烦的，且如果不知道事件在一次试验中概率，就无法用所述公式计算n次试验中事件出现的概率。这就需要找一种新的方法。任何人都能观察到在大量重复同一试验时，某事件出现的频率会越来越稳定于某数值，这就是大数定理的理想所在。真正使概率论成为一门独立数学分支的奠基人是雅克布. 伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）。在猜度术（1713）中，他给出了“伯努利大数定理”：在伯努利概型中，对任意给定的，当时，有.即随着试验次数的增加，某事件出现的频率会集中在该事件的概率附近。由于当时的数学技术还不够先进，伯努利仅是应用代数分析方法给出其不精确的证明。伯努利大树定理从理论上刻画了大量经验观测忠呈现的稳定性，其意义在于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性。作为大数定理的最早形式，大数定理在概率论发展史上占有重要地位。猜度术标志着概率概念漫长形成过程的终结与概率论的开始，该书鼓舞了一些学者转向这门诱人的学科。德-莫弗（A.De Moivre,1667-1754）、拉普拉斯（P.S.Laplace，17491827）、泊松 （Poisson, Simeon-Denis，17811840）、高斯（C.F.Gauss,1777-1855）等对概率论做出了进一步的奠基性贡献。德-莫弗在1718年把抽签的计算修改扩充为机会论，其中首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，讨论了“赌徒输光”、“点数问题”等掷骰子问题。而且还考虑到有三个游戏者参加的情况，尤其是导出的关于n！的渐进公式：。并以此证明了概率为1/2时的二项分布收敛于正态分布的德莫弗-拉普拉斯定理。1809年，高斯从误差函数角度，再次发现了正态分布，以致19世纪的数理统计学成为正态分布的统治时代。这一时期提出了许多经典问题和重要概率思想，但未系统化，概率论只是一些有趣而特殊的问题的堆砌，其数学技术主要以代数分析方法、组合方法为主，以无穷级数、无穷连分数和差分方程等来求解相应概率问题。牛顿（Isaac Newton, 1642- 1727）和莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，16461716），创立微积分以来，18世纪的数学家对这一领域进行了深入的研究并取得了辉煌的成就。随着数学分析的蓬勃发展，微分方程、特征函数、母函数和积分等分析工具逐步成为研究概率论的数学技术，其标志性著作是拉普拉斯于1812年出版的分析概率论。该书明确给出了概率的古典定义；独立事件的加法、乘法法则；推广了伯努利在大数定理方面的工作；导出了二项分布渐进于正态分布的中心极限定理（后称德莫弗-拉普拉斯定理）。开创了概率论发展的新阶段，实现了概率论研究由组合技巧向分析方法的过渡。泊松从法庭审判问题来研究概率论。在1837年的论文关于刑事案件和民事案件审判概率的研究中，他继续研究拉普拉斯曾考虑过的问题，并提出了描述随机变量的泊松分布。泊松认识到了大数定理的重要性。他认为，大数定理的本质在于大量随机变量的算术平均值与他们的期望近似相等。由于拉普拉斯和泊松在数学技术尚不完备的条件下滥用概率论于社会现象，导致概率论在法国受到来自数学家和哲学家极大的批评，使概率论走到了灭亡的边缘。在危机时刻对概率论伸出援助之手是彼得堡数学学派，其主要奠基者切比雪夫在极限理论方面做出了重要贡献，使概率论进入了崭新的阶段。他在概率论中最重要的两类主题：大数定理、中心极限定理上取得了相当大的进展。在切比雪夫的基础上，马尔可夫（A.A.Markov,1856-1992）第一次给出了中心极限定理的严格证明。然而由于定理条件过于苛刻，其证明比较复杂。李雅普诺夫（A.M.Lyapunov,1857-1918）另辟新径改用特征函数法再次证明了中心极限定理，此举既降低了定理的条件又给出了概率论的一个常用工具。这再次表面先进的数学技术对概率论的发展是何等重要。以切比雪夫、马儿可夫、李雅普诺夫等为代表的彼得堡数学学派变革了一系列概率论研究方法，开拓了概率论的现代化领域，使俄罗斯逐步成为世界概率论研究的中心。这种领先地位一直保持到20世纪中叶乃至现在。1.3 现代概率论的发展 由于19世纪的分析没有严格化，以其为研究工具的概率论的严格化就成了空中楼阁。虽后来分析的基础严密化了，但测度论尚未发明。因此，20世纪前的概率论明显缺乏数学的严格化和严密性。诸如“贝特朗悖论”以及概率论在物理、生物等领域的应用都需要对概率论的概念、原理做出解释。正是这些问题促使人们思考概率论的基础问题及概率论所依赖的数学技术问题。1900年，希尔伯特（D.Hibert,1862-1943）在巴黎国际数学家大会上所作的报告中的第六个问题就是呼吁把概率论公理化。很快该问题就成为当时数学乃至整个自然科学界亟待解决的问题之一。最早对概率论严格化进行尝试的是俄罗斯数学家伯恩斯坦（C.H.Bernstein,1880-1968）和奥地利数学家米泽斯（R.vonMise,1883-1953）。1917年伯恩斯坦发表了踢为“论概率论的公理化基础”的论文，随后的几年里他仍致力于研究概率论公理化。1927年其概率论第一版问世，伯恩斯坦在书中给出了一个详细的概率论公理体系。米泽斯的主要工作是概率论的频率定义和统计定义的公理化。在概率，统计和真理（1928）一书中，他建立了频率的极限理论，强调概率概念只有在大量现象存在时才有意义。虽然频率定义在直观上易于理解，易为实际工作者和物理学家所接受，便于在实际工作中应用，但像某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，米泽斯了轮是无法定义的。因此，没有先进数学技术的概率论公理理论都不尽如人意。测度论的诞生给概率论的公理化带来了勃勃生机。从1920年开始，概率论的研究类型在很大程度上油集合论和函数论的思想所决定。通过对概率论基本概念随机事件和概率的本质分析，发现随机事件的运算于集合的元算完全类似，概率与测度具有相同的性质，这就建立了构建概率论逻辑基础的正确道路。 1933年，柯尔莫戈洛夫以德文出版的概率论基础是概率论的一个里程碑。他建立了在测度基础上的概率论的公理化体系，奠定了近代概率论的基础。书中建立起了集合测度与事件概率的类比，积分与数学期望的类比，函数正交性与随机变量独立性的类比等等。这种广泛的类比终于赋予概率论以演绎数学的特征。柯尔莫戈洛夫以五条公理为基础，建立了概率场，构建出整个概率论理论体系。使概率论从半物理性质的科学变成了严格的数学分支，和其他所有数学分支一样建立在同样的逻辑基础之上。当然，概率论公理化体系的构造并没有解决所有原则问题。关于随机性本质这个基本问题仍未解决。随机性与确定性的界限何在，是否存在？柯尔莫戈洛夫为此付出了许多努力，试图从复杂性，信息和其他概念等方面来解决这个问题。他提出研究确定性现象的复杂性和偶然性现象的统计确定性的宏伟目标，其基本思想是：有序王国和偶然性王国之间事实上并没有一条真正边界，数学世界原则上市一个不可分割的整体。 概率论从17世纪创立开始，经历了1654-1812年的代数分析和组合为主的分析方法到1812-1932年的以数学分析为主，1933年后，以集合论和测度论为主，概率论呈多元化发趋势。现今概率论作为科学探索的特色方法，推理的显著功效已引起相关理论研究和应用研究的爆炸式增长。在保险学、风险投资和管理决策等方面都得到了重要应用。第二章 概率论对经济投资方面的应用2.1原理与基本概念从理论研究角度看，借助概率论方法研究经济问题至少有三个优势：其一是前提假定用概率论语言描述得一清二楚，概率论强调事物处于不可能事件和必然事件之间，即事物出现的概率在(0，1)之间，这符合经济现象的现实经济学强调经济现象要用数学来描述，由于概率论引进概率的概念，使得数学描述成为概率论描述的一个特例，因此概率论能够穷尽各种可能，能够更加清楚地描述经济现象；其二是逻辑推理严密精确，可以防止漏洞和谬误通过内生化经济现象出现的概率，同时依据概牢论的严密逻辑，推导经济运行的各种轨迹再结合现有的经济理论，查看概率论的逻辑是否符合经济的行为规律，使得概率论与经济学达到共同解释问题的目的；其三是可以应用已有的概率论模型或概率论定理推导新的结果，得到仅凭直觉无法或不易得出的结论，传统的经济学假定经济现象或者经济行为在确定性的条件下发生，因此运用现有的经济理论能够清楚阐述经济现象的本质，概率论的引进使得经济学能够研究在不确定性条件下的行为，扩大了经济学的视野，得出的结论也更加具有概括性。运用概率论方法讨论经济问题，学术争议便可以建立在这样的基础上：或不同意对方前提假设；或找出对方论证错误；或是发现修改原模型假设会得出不同的结论。因此，运用概率论方法做经济学的理论研究可以减少尤用争论，并且让后人较容易在已有的研究工作上继续开拓，也使得在深层次上发现似乎不相关的结构之间的关联变成可能。总而言之，概率论在经济学中的应用使得经济学成为一门更加规范的科学、更加符合经济行为规则的科学，这和马克思所说相吻合：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。概率论在经济学中的应用使得经济学更加完善。下面先介绍下概率分布、期望、方差等基本概念，再举例说明它们在经济投资中的简单应用。2.1.1 概率分布概率是指随机事件发生的可能性大小的数量指标，事件A的概率记为P(A)。它是介于0与1之间的一个数，并且所有随机事件发生可能性的概率之和必须等于1。对离散随机变量而言，常用以下定义的分布列来表示其分布。设是一个离散随机变量，如果的所有可能取值是则称取得概率为的概率分布列或简称为分布列，记为。另外分布列也可用如下列表方式来表示：X P2.1.2 期望值“期望”在我们日常生活中常指有根据的希望，而在概率论中，数学期望源于上一章中所讲的赌徒分赌本问题。其数学定义是：设离散随机变量X的分布列为：如果 则称 为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。在这里，表示第种结果出现的预期收益；表示第中结果出现的概率；表示所有可能结果的数量。2.1.3 方差与标准差若随机变量的数学期望存在，则称偏差平方的数学期望为随机变量的方差，记为称方差的正平方根为随机变量的标准差，记为或。方差与标准差的功能相似，它们都是用来描述随机变量取值的集中与发散程度的两个特征数。方差与标准差越小，随机变量的取值越集中；方差与标准差越大，随机变量的取值越分散。2.2 简单运用举例某人有一笔资金，可投入两个项目：房地产和商业，其收益都与市场状态有关。若把未来市场化为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2,、0.7、0.1。通过调查，该投资者认为投资于房产的收益X（万元）和投资于商业的收益Y（万元）的分布列分别为X 113-3P0.20.70.1Y64-1P0.20.70.1作为投资者我们可以先考察数学期望：E(X)=110.2+30.7+（-3）0.1=4.0（万元），E(Y)=60.2+40.7+(-1) 0.1=3.9（万元）。从平均收益看，投资房产收益大，可比投资商业多收益0.1万元。下面我们再来计算它们各自的方差，。相应的它们的标准差分别为： =3.92，=1.81。因为标准差越大，则收益的波动越大，从而风险也越大。所以从标准差看，投资房产的风险比投资商业的风险大一倍多。若收益与风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资商业为好，虽然平均收益少0.1万元，而风险要小一半以上。第三章 概率统计在风险管理中的应用3.1风险与风险管理决策理论家把风险定义为损失的不确定性，这种不确定性又可分为客观的不确定性和主观的不确定性。客观的不确定性是实际结果和预期结果的差离，它可以使用统计学工具加以度量。主观的不确定性是个人对客观风险的评估，它同个人的知识、经验和心理状态有关，不同的人面临相同的客观风险会有不同的主观不确定性。长期以来，统计学家把风险定义为实际结果和预期结果的离差度。风险一般具有以下因素：（1）、事件；（2）、事件发生具有不确定性；（3）、风险的结果；（4）、风险产生的原因。风险管理是企业用于管理、监控、降低风险的一整套政策和方法。其目的是通过测量、分析、监控和处理企业面临的各种风险，实现企业承担的风险规模与结构的优化，以及风险与回报的平衡。风险管理师使企业在风险最低的前提下，追求收益最大化；或在收益一定的前提下，追求风险最小化。风险管理是一种机制，通过这种机制我们可以发现、评估主要的风险，然后制订、实施相应的对策，把风险控制在企业所能接受的范围内。从本质上讲，风险管理就是应用一般的管理原理去管理一个组织的资源和活动，并以合理的成本尽可能减少意外事故损失和它对组织的不利影响。3.2 风险估测中的应用风险估测就是对风险进行衡量，是风险管理中不可或缺的重要一环。衡量风险的重要性在于它能使风险管理人员判断各类风险发生的可能性及后果的严重性，并选择相应的控制风险的方法。概率统计在风险衡量中运用非常广泛，对损失风险的衡量就可以运用概率分布的知识加以实现。3.2.1最大似然估计法设总体分布的函数形式已知，但有一个或几个参数未知。在所有可能的值中选取一个值使样本观察结果出现概率最大，把这个选取的值作为的估计值，记做，并称之为未知参数的最大似然估计值。如果货物的损失金额服从正态分布，其中是随机变量的概率密度函数；是随机分布方差；是随机分布的数学期望。利用该公式就可以计算出所示的平均估计值和标准差估计值。例如：随机抽取某公司货物运输过程中200次货物损耗资料，得到其分组频数分布如表1.表一损失金额（元）次数0-2005200-4008400-60013600-80030800-100045100-1200371200-1400281400-1600221600-180071800-20005 样本的似然函数为：对求一阶导数且令一阶偏导数等于零得：计算得对求一阶导数且令一阶偏导数等于零得：计算得：代入数据可算得：=（1005+3008+50013+70030+90045+110037+130028+150022+17007+19005）/200=1005同理可算得：=151105 则=388货物损失的平均估计值是1005，标准差的估计值是388.3.2.2区间估测设总体的分布函数中的为位置参数，由样本确定的两个统计量和对于给定的概率。有成立。则随机区间叫做参数的对应于置信概率（）的置信区间。置信区间表达了区间估计的精确性。为显著性水平，表达了区间估计的不可靠概率，根据风险资料不同可采取不同的区间估测的方法。设样本来自正态总体。当n充分大时，其样本平均值也是一个服从正态分布的随机变量。令，则Z为服从标准正态分布的随机变量，若已知样本均值和样本误差可以估测总体均值所在的区间由极限定理，当n足够大时可以以样本标准差S即最大似然点估计值代替总体标准差。即。根据表一的数据，因此，该商场可估测货物平均损失金额，不同区间估计的可靠性不同：在即1005-27.7，1005+27.7之间的可靠性为68.26%；在即1005-227.7，1005+227.7之间的可靠性为95.44%；在即1005-327.7,1005+327.7之间的可靠性为99.74%。3.3 风险评价中的应用 企业面临多种风险，在一定条件下企业侧重于其中很关键的某一风险或某一部分风险管理。如果已知某一风险事故发生所导致损失的概率分布就能算出风险的期望值与方差及标准差期望值是平均受损额、方差与标准差都是显示风险损失的变动幅度。标准差越大风险越难把握，但是其平均受损额很大时一般的损失变动可以认为相对风险部打。真实反映风险大小的量是差异系数。表二 某超市雨天损失的概率分布表损失金额/万元1.52.83.63.94.1概率0.070.180.350.240.16 某超市高温天气损失的概率分布表损失金额/万元0.60.81.11.52.3概率0.150.20.350.250.05由雨天造成的损失分布表得：期望值方差=标准差=0.6827（万元）差异系数=0.6827/3.461=0.1973同理可得因高温天气损失概率分布数据得期望值=1.125（万元）标准差=0.4085（万元）差异系数=0.3631高温天气损失的差异系数大于雨天损失的差异系数，差异系数越大其风险也就越大，说明该超市因高温天气引起的损失风险大于雨天的损失风险。3.4风险决策中的应用3.4.1两种分布在风险管理决策中的应用风险管理决策时风险管理的一个重要环节，只有正确的决策才能以最小的成本得到最大的安全保障的总目标。由概率统计原理对风险系数进行分析可直接得出风险决策。常见的离散型随机变量的概率分布有两点分布、二项分布和泊松分布。两点分布只适用于一次随机试验的简单情况，在决策管理中很少适用。二项分布以伯努利概型为背景的一种重要分布，它是多个两点分布的叠加。伯努利概型研究的实际问题是多次独立重复试验的情况。在每次的独立重复试验中，随机事件发生的概率总是相同的。假设概率值为p，在n次独立重复试验中，随机事件发生的次数用随机变量x表示，则x服从参数为n，p的二项分布。在n次独立重复试验中，随机事件发生k次的概率为。在实际问题中，很多商品的销售量都是服从二项分布的。因为每件商品都只有售出和库存两种状态，而每件商品售出的概率在一段时间内是基本固定的。因此商品的进货量即为二项分布中的参数n。参数p的值可利用树立统计方法进行估计，估计公式为。其中为所考察的n件商品售出的频率。为所出售的商品的件数。在管理工作中最常用的分布式泊松分布，若随机变量x的所有可能取值为自然数，而取值为k的概率为k！。其中为常数。则x服从参数为的泊松分布。例如：某企业有同类型设备300台，各台工作是独立的，每台发生故障的概率均为0.01.为保障设备发生故障又不能及时维修的概率小于0.01，那么需要配备维修工人多少名（假设一台设备的故障可由一人处理）。 设需要配备维修工人为N人，同一时刻发生故障的设备为X台，由题意X满足。又知X服从二项分布。即。由泊松定理知X近似服从泊松分布，其中=np=3.所以； 得到0.99查泊松分布表得：=0.988095，=0.996197。因此N=8，故应配备8名维修工最合适。3.4.2风险管理决策的方法决策有一定的风险，所以称之为风险型决策。在进行风险决策时，面临不同的客观状态，根据不同的状态会有几种行动方案可供选择。人们不能选择客观状态，但可以选择不同的方案。对于如何选择一个最佳的行动方案，就是概率论与数理统计要解决的问题。一般有一下三种常用的风险决策方法。方法一：收益期望最大决策法收益期望最大决策法就是在各种行动方案中选择收益期望最大的方案作为最优方案。表三 某商场笔盒销售量的概率分布表需求量100200300400500600概率0.050.10.260.350.150.1当签字笔的进货量是300支时，如果市场需求为100支，则可以销售100支，每支笔卖6元，则可获利600元，还剩200支作为降价处理，每支笔卖3元，则共亏损600元。此时获利为零；市场需求为200支时，获利1200减去亏损的300得900；市场需求为300或大于300时，获利1800元。当进货量为300支时收益的期望值为：00.05+9000.10+18000.25+18000.35+18000.15+18000.10=1620（元）当进货量为400支时收益额期望值为：-3000.05+6000.10+18000.25+15000.35+24000.35+24000.15+24000.10=1860（元）同理得：进货量分别在100、200、500和600时的收益分别为600、1155、1785和1575元。所以当签字笔的进货量在400支时收益的期望值为1860元。从长