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文档简介
四、应用题 1设生产某种产品个单位时的成本函数为:(万元),求:(1)当时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当产量为多少时,平均成本最小? 1解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:, 所以, , (2)令 ,得(舍去)因为 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当20时,平均成本最小. 2某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为(为需求量,为价格)试求:(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?2解 (1)成本函数= 60+2000 因为 ,即, 所以 收入函数=()= (2)因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0,即40- 0.2= 0,得= 200,它是在其定义域内的唯一驻点 所以,= 200是利润函数的最大值点,即当产量为200吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元又已知需求函数,其中为价格,为产量,这种产品在市场上是畅销的,试求:(1)价格为多少时利润最大?(2)最大利润是多少?3解 (1)C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000,且令 =2400 8p = 0得p =300,该问题确实存在最大值. 所以,当价格为p =300元时,利润最大. (2)最大利润 (元)4某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2(元),单位销售价格为p = 14-0.01q(元/件),试求:(1)产量为多少时可使利润达到最大?(2)最大利润是多少? 4解 (1)由已知利润函数则,令,解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大, (2)最大利润为 (元 5某厂每天生产某种产品件的成本函数为(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少? 5. 解 因为 = () = 令=0,即=0,得=140,= -140(舍去).=140是在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 (元/件) 6已知某厂生产件产品的成本为(万元)问:要使平均成本最少,应生产多少件产品? 6解 (1) 因为 = = 令=0,即,得=50,=-50(舍去), =50是在其定义域内的唯一驻点 所以,=50是的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品7设生产某种产品个单位时的成本函数为:(万元),求:(1)当时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当产量为多少时,平均成本最小?解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:, 所以, , (2)令 ,得(舍去) 因为是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当20时,平均成本最小. 8某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2(元),单位销售价格为p = 14-0.01q(元/件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少.解 由已知利润函数 则,令,解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大, 且最大利润为 (元) 9某厂每天生产某种产品件的成本函数为(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少? 解 因为 = () = 令=0,即=0,得=140,= -140(舍去).=140是在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 (元/件) 10某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为(为需求量,为价格)试求: (1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?解 (1)成本函数= 60+2000 因为 ,即, 所以 收入函数=()= (2)因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0,即40- 0.2= 0,得= 200,它是在其定义域内的唯一驻点 所以,= 200是利润函数的最大值点,即当产量为200吨时利润最大1投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低. 1解 当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为 = 100(万元) 又 = = 令 , 解得. x = 6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本(x)=2(元/件),固定成本为0,边际收益(x)=12-0.02x,问产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化? 2解 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0,得x = 500 x = 500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值. 所以,当产量为500件时,利润最大. 当产量由500件增加至550件时,利润改变量为 =500 - 525 = - 25 (元)即利润将减少25元. 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台),边际收入为(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化? 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10(百台)又x = 10是L(x)的唯一驻点,该问题确实存在最大值,故x = 10是L(x)的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大. 又 4已知某产品的边际成本为(万元/百台),x为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本. 4解:因为总成本函数为 = 当x = 0时,C(0) = 18,得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 , 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时,平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为 (万元),其中x为产量,单位:百吨销售x百吨时的边际收入为(万元/百吨),求: (1) 利润最大时的产量;(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化? 5解:(1) 因为边际成本为 ,边际利润 = 14 2x 令,得x = 7 由该题实际意义可知,x = 7为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 (万元)即利润将减少1万元. 6投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为 = 100(万元) 又 = = 令 , 解得. x = 6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.7已知某产品的边际成本为(万元/百台),x为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本. 解:因为总成本函数为 = 当x = 0时,C(0) = 18,得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 , 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时,平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 8生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台),边际收入为(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?解:已知(x)=8x(万元/百台),(x)=100-2x,则令,解出唯一驻点 由该题实际意义可知,x = 10为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为10百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产2百台,利润的改变量为(万元)即利润将减少20万元. 9设生产某产品的总成本函数为 (万元),其中x为产量,单位:百吨销售x百吨时的边际收入为(万元/百吨),求: (1) 利润最大时的产量;(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化? 解:(1) 因为边际成本为 ,边际利润 = 14 2x 令,得x = 7 由该题实际意义可知,x = 7为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点. 因此,当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 (万元)即利润将减少1万元. 四、证明题1试证:设A,B,AB均为n阶对称矩阵,则AB =BA1证 因为AT = A,BT = B,(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2试证:设是n阶矩阵,若= 0,则2证 因为 = = 所以 3已知矩阵 ,且,试证是可逆矩阵,并求. 3. 证 因为,且,即,得,所以是可逆矩阵,且. 4. 设阶矩阵满足,证明是对称矩阵.4. 证 因为 =所以是对称矩阵.5设A,B均为n阶对称矩阵,则ABBA
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