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第三章习题课 中值定理及导数的应用 一基本要求1 理解罗尔定理 拉格朗日中值定理 会用他们证明一些等式或不等式 2 了解柯西中值定理及泰勒中值定理的条件和结论 会求简单函数的泰勒公式及麦克劳林公式 3 熟练掌握洛必达法则 并利用它求未定式的极限 4 理解函数单调性与导数正负号的关系 会判断函数的单调性 5 掌握极值的概念和求法 掌握最大 小 值的求法 6 了解函数图形的凹凸性与拐点的概念 并会判断曲线的凹凸性与拐点 7 了解微分作图法 二要点提示1 洛必达法则若在自变量某一变化过程中 或 1 为 或 型未定式 2 可导 且 3 存在或 则 运用洛必达法则求未定式极限时应该注意下述两点 1 先检查法则的条件是否具备 特别要注意极限是否未定式 是否存在或 2 配合使用其它求极限的方法 例如 化简 分子 分母 有理化 先求出非零因式的极限 等价无穷小替代等 以使运算简便 注 对于及 型未定式 可通过变形转化为 或 型 再运用洛必达法则 2 判定函数单调性的方法若 则在上单调增加 若 则在上单调减少 3 判定曲线凹凸的方法若 则在上的图形是凹的 若 则在上的图形是凸的 4 极值可能极值点为 驻点和不可导点 判定极值的方法 1 第一种充分条件 设为可能极值点 考察两侧导数是否改变符号 2 第二种充分条件 若 则当时 在处取得极大值 当时 在处取得极小值 注 当时 方法失效 5 拐点连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 可能的拐点为 使和不存在时曲线上相应的点 判定 是拐点的方法 考察左右两侧二阶导数是否改变符号 三问题与思考问题1 下面例题方法对吗 1 2 不存在 答 均为错误 1 不是未定式 事实上 2 应为 说明 洛必达法则不是万能的 问题2 如果在取得极值 是否必有 答 不一定 因为函数还可以在导数不存在的点取得极值 问题3 如果可导函数当时 有 则当 有 该结论正确吗 答 不对 因为当时 只能说明当时是单调增加的 不能保证 例如 当时 但当时 问题4 利用导数证明不等式的常用方法有哪些 1 利用拉格郎日的中值定理 例 2 利用函数的单调性 例 当时 3 利用泰勒公式 同 2 4 利用函数的最大最小值 5 利用函数图形的凹凸性 四典型题目1 求极限 1 2
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