面积在数学证明中的应用.doc

面积在数学证明中的应用杨 才（西北师范大学 数学与应用数学 , 甘肃 兰州 730070）摘 要:面积在生活中有如此多的用途,那么面积在数学证明中有没有什么作用？其实,早在千百年前,我国古代数学家刘徽、赵爽等人就已经运用面积证明数学中的难题.刘徽在求圆面积时,运用了圆面积的无限分割方法和极限思想,在求圆周率时,刘徽运用割圆术推导出刘徽不等式,其求得的结果远比阿基米德的精密.赵爽利用面积割补法证明了勾股定理,现在,中学生在证明题中也经常用到面积法,可见,面积在数学证明中的作用是无可厚非的.关键词:面积 ；证明 ；数学在生活中的应用一 刘徽的割圆术 在解决求圆周长、圆面积、球体积等类问题的时候,经常要用到圆周率.圆周率可以表示成无限不循环小数3.1415926535 近代数学已经证明,圆周率是一个不能用有限次加减乘除和开各次方等代数运算算出来的数,就是所谓“超越数”.中国在两汉之前,一般采用的圆周率是“周三径义”,也就是=3.很明显,这个数值非常粗糙,用它进行计算会造成很大的误差.随着生产和科学的发展,“周三径义” 就越来越不能满足精确计算的要求.因此,人们开始探索比较精确的圆周率.例如,据公元一世纪初制造的律嘉量斜（一种圆柱形标准量器）推算,它所取得圆周率是3.1547.公元二世纪初,东汉天文学家张衡在灵宪中取3.1466,又在球体积公式中取3.1622.三国时期吴人王蕃（28266）在浑仪论说中取3.1556.上述这些圆周率近似值,比起古率“周三径一”,精确度有所提高,其中圆周率值还是世界上最早的记录.但是这些数值大多是经验结果,还缺乏坚实的理论基础,因此,研究计算圆周率的科学方法仍然是十分重要的工作.古希腊的科学家、数学家阿基米德（Archfiends,前287前212）和我国魏晋时期的杰出数学家刘徽都研究过圆面积计算公式和圆周率.刘徽在为古代数学名著九章算术作注的时候,正确地指出,“周三径一”不是圆周率值,实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值.用古法计算圆面积的结果,不是圆面积,而是园内接正十二边形面积.经过深入研究,刘徽发现园内接正多边形边数无限逼近圆周长,从而创立割圆术,为计算圆周率和圆面积建立起相当严密的理论和完善的算法.我们先来看看他们各自所得的结论,再来分析他们所采用的方法.阿基米德在圆的度量中,提出了三个问题:1 圆面积计算公式S= Lr,其中L为圆周长,r为圆半径；2 圆与其外切正方形面积之比为11:14；3 圆周率:33刘徽在九章算术方田章圆田术注中,得出三个结论:1 圆面积计算公式S= Lr （与阿基米德德命题完全一样）2 圆与其外切正方形面积之比为3927:5000；3 圆周率:K,且P-K=X,可得s,使P-sP-K,从而sK;另一方面,圆内接正多边形周长小于L,圆心到各边距离也小于r,故sK,矛盾.假设PK,且K-P=,可得S,使S-PK-P,从而SK,矛盾.由、可知P=K.刘徽推导圆面积计算公式,从圆内接正六边形开始,如图1.2,他认为,以圆内接正六边形边长乘以半径,再3倍,得到圆内接正12边形面积；以圆内接正12边形边长乘以半径,再6倍,得到圆24边形面积按照这样成倍增加的分割下去,若分割的次数越多,被分割的圆弧和所对应的正多边形的边就越短.若使边数成倍的增加下去,则圆内接正多边形的面积与圆面积的差越小.按照上述方法,若分割次数无限增加时,则正多边形势必与圆重合.如此,正多边形面积就与圆面积相等,而“无所失矣”.也就是说,当分割次数无限增加时,园内接正多边形面积的极限就是圆面积.若用近代符号表示就是:当n时,| |.或| |=0 即 oDABC图1.2 图1.3如图1.3,在圆内接正多边形任一边AB之外,尚有余径CD；正多边形一边AB与余径CD所组成的矩形有一部分图形落于圆外；也即正多边形面积与这些矩形面积之和大于圆面积.当边数无限增倍时,院内接正多边形的边纠逐渐减小,即“斛之细者”.“斛之细者”势必与圆重合.此时,正多边形的边心矩与圆半径相等而无差别,则形外无忧所谓余径了.在正多边形之外无有余径,则其图形不可能落于圆外；其面积也不可能大于圆面积.根据前面可知,圆内接正十二边形面积为: 圆内接正二十四变形面积为: 依次类推,则得圆内接正边形面积为: 其中是圆内接正边形的一边,r是圆半径.圆内接正边形的一边与圆半径r的乘积（）,就是以为对角线的正n边形面积之二倍,而（）等于正n边形的面积.以圆内接正多边形的一边乘圆半径,即得:,.按圆内接正多边形的边进行分割,使其边数成倍的增加,因而得到圆内接正多边形面积为:, , , .当边数成倍增加时,易知,分别是圆内接正6、12、24、边形周长之半.当时,则有 其中c为圆周,故得: 这就是刘徽推导“半周半径相乘得积步”公式的过程.由于是两数相乘,刘徽便称之为“半周为丛,半径为广”.阿基米德的证明非常精彩,它具有古希腊数学中逻辑论证的典型特征,巧妙地归谬法颇具匠心.刘徽的推导十分明快,不仅用了极限思想,免去了外切正多边形面积的采用,而且给出沥圆面积计算程序,显示出中国传统数学以算为主,寓理于算得特征.基于以上特征,我们将会看到刘徽的结果比阿基米德精密的原故. 关于圆周率,阿基米德分两步推导.首先,证明,以圆外切正六6边形起算,如图3,用勾股定理、相似形定理证明.在圆外切正6边形中 （勾股定理） 在圆外切正12边形中,如图1.4,CBDAO图1.4由相似性定理有 ,则；同理类推,在圆外切正96边形中, 则.则其次,证明.以圆内接正6边形算起,如图5,也用勾股定理、相似性定理.在圆内接正6边形中, 则；在圆内接正12边形中,如图1.5CDBACDBA图1.5E由相似性定理,;以此类推至圆内接正96边形中 ,；则.阿基米德一步一步推导,对近似数值进行精巧的调整,最终得到.刘徽推导圆周率,取直径为2,也从圆内接正6边形算起,但只用勾股定理,且不用圆外切正多边形.AOBC图1.6如图1.6,反复运用以下关系: 并且建立每次增边后的内接正多边形边长的算式 其中r圆半径,内接正2n边形边长,内接正4n边形边长. 同时可以求出下次增边后的圆内接正多边形的面积 .其中内接正4n边形面积. 最后得出圆面积S与其内接正多边形面积的重要不等式 这个不等式被称为“刘徽不等式”.由此可得出. 在圆周率推导过程中,阿基米德只得出了圆周率的取值范围,且没有刘徽的结果精密.而刘徽所得丰富多了,其中最为重要的是“刘徽不等式”.有了这个不等式,我们可以把阿基米德的结果与刘徽的结果集中地表示在一个圆上,读者可以通过简单的几何证明,得出这样的结论:只要他们俩所用割圆术,所割正多边形边数相同,那么刘徽所得圆周率的取值范围,恒比阿基米德的精密. 在刘徽之后,南北朝时期杰出数学家祖冲之,把圆周率推算到更加精确的程度,取得了极其光辉的成就.据隋书律历志记载,祖冲之确定了圆周率的不足近似值3.1415926,过剩近似值是3.1415927,真值在这两个近似值之间,就是 3.14159263.1415927. 同时,祖冲之还确定了圆周率的两个分数形式的近似值:约率3.14,密率3.1415929. 祖冲之圆周率的不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,准确到小数点后七位,这在当时世界上非常先进,直到一千年以后,十五世纪阿拉伯数学家阿尔卡西(？1436)和十六世纪法国数学家韦达(15401603)才打破了祖冲之的记录.因此,有了刘徽不等式,祖冲之能计算出更精密的圆周率的取值范围,也是情理之中的了. 刘徽受墨经的影响认为“不可分量可积”,除无限分割外,刘徽还利用不可分量可积的思想处理问题.在他的观念里,线可以看成是由一系列点组成的,面可以看成是由一系列线组成的,体可以看成是由一系列面组成的.这样刘徽在处理无限问题而作积分时就有了思想依据.他在“割圆术”中通过对无限分割的独特理解,和夹逼准则的使用,认为极限状态下考虑与圆合体的正无穷多边形,它们是由以圆心为顶点,以每边为底的无穷多个小等腰三角形,此小等腰三角形是不可分量.此时,设圆周长为L,每个小等腰三角形的底边长为l,面积为A.刘徽以“不可分量可积”为前提容易得到所有等腰三角形的底边可积为圆的周长L: l=L.于是,=rl=Lr=2A=2A=2,“故以半周乘半径而为圆幂”: =Lr.刘徽费尽周折,殚精竭虑创立包含着朴素微积分的割圆术,目的只是为证明圆的面积公式,从而他说:此以周、径,为至然之数,非周三径一之率也.为此他同样使用割圆术中的数据,提出了求圆周率近似值的程序.于是得到下表: 利用, 得到:314314, 由=Lr,得Ln/r=628.故=3.14.二 勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对他的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统.1940年出版过一本名为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华衡芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.在数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常出名.而勾股定理的两种最为精彩的证明方法来源于中国. 画两个边长为（a+b）的正方形,如图2.1,其中a,b为直角边,c为斜边,这两个正方形全等,故面积相等. 图2.1（左） 图2.1（右） 左图与图右各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形,分别以a,b为边,右图剩下以c为边的正方形.于是这个证明方法之所以精彩,不仅是他们所用到的定理少,而且只用到了面积的两个基本概念:（1）全等形的面积相等（2）一个图形分割成几部分,各部分面积之和等于原图形的面积用面积证明勾股定理的方法,也不止这一种,美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明也用到了面积.相传伽菲尔德对勾股定理的证明还有一段有趣的故事:1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神的谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使,伽菲尔德循声向两个小男孩走去,想搞清楚两个小男孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬的说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边长分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索的回答道:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说:“先生,你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味. 于是,伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题.经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.如图2.2, =又 = =比较以上二式,使得 这一证明由于用了三角形面积公式和梯形面积公式,从儿使证明相当简洁.三 中学数学证明题中面积法的运用 通过高中的学习我们知道,面积在中学数学证明中也有广泛的应用,在证明两段线段相等时可以利用两个图形的面积想等,也可以利用三角形的面积之比D等等下面看几种中学数学中利用面积法证明数学题的题型.例1 如图2.3,在ABC中,若过内心I和重心G的直线平行于BC,则AB+AC=2BC 分析 如图,设ABC的内切圆半径为r,只要能证AB+AC+BC=3BC,这又只要能证 即证亦即证就行了.显然,这又只要能证,故要证,只要能证 问题就解决了. 此题通过利用一个图形的面积等于各部分面积这和,巧妙地运用了三角形内切圆半径和各部分面积之间的关系,得出了结论. 例2 如图2.6,和与ABC的三边所在的三条直线都相切,E,F,G,H为切点,并且G,FH的延长线交于P点.求证:直线PA与BC垂直. 证明 如图,连结和A 由于AB=GAB=HAC=AH 所以,A三点共线. 又连结E和F,则有EBC, FBC. 因此,EF为直角梯形,于是,要证直线PA与BC垂直,只需延长PA交BC于D,证明 成立就行了.在PEF中,由正弦定理,有 所以因为CE,CG是的切线所以PEF=CGE=-PGA sinPEF=sinPGA同理sinPFE=sinPHA因而在PHA及PGA中,由正弦定理有 , 从而连结G和H,则RtAGRtAH则有故有以上得,从而PABC. 刘徽利用面积的极限原理求出比阿基米德更精密的圆周率,关于勾股定理的证明方法有五百余种,但最简洁最精彩的方法还是用面积法证明的,现在中学数学中有许多证明题也都用到了面积法.我们可以看到,从古到今,面积在数学证明中都起着非常重要的作用,而刘徽的割圆术无疑为把面积运用到数学证明中开了个好头,为面积法从古到今的发展,奠定了重要的思想基础.参考文献: 1 伽菲尔德. 新英格兰教育日志.18762 章建跃,喻汉林.高中数学.北京:人民教育出版社.20063 钱宝琮,张衡.灵宪中的圆周率科学史集刊.1958 The application of area in mathematical proof Yang Cai(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University，,Lanzhou, Gansu 730070)Abstract: Areas in life there are so many uses, then the area of proof in mathematics have no effect? In fact, as early as the thousands of years ago, ancient Chinese mathematician