浅谈中学数学中的最值问题 - 论文.doc

阜阳师范学院2009届本科毕业论文 15浅谈中学数学中最值的求解学生：张建坤指导老师：阜阳师范学院数学与计算科学系摘 要：本文对中学数学阶段里的最值的求解进行一些回顾、分析。解题思想方法主要有：利用三角函数的性质求最值、转化为二次函数求最值、用换元法求最值、利用数形结合法求最值等。关键词：最值问题；求解；解题方法Discuss the value of the solution in Primary MathematicsStudent ：Zhu FangfangInstructor：Xuan MinghuiDepartment of Mathematics and Computational Science,Huainan Normal UniversityAbstract: This paper conducted a review and analysis on the methods to obtain the max and min of a function. The methods are : employing trigonometric function, transferring the function to be solved to quadratic function, substituting, and employing the combination of number and form, etc.Key words: the max and min of a function; solutions; Solution approach前言最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。近年来，高考试题越来越注重对思维能力的考查。其中，最值问题便是一种典型的考查能力的题型。最值问题起源于函数，贯穿于高中数学的各个知识模块中，对最值问题的求解一直以来都是高中数学的重点，难点。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。本文就中学数学阶段里的最值的求解进行一些回顾、分析。解题思想方法主要有：利用三角函数的性质求最值、转化为二次函数求最值、用换元法求最值、利用数形结合法求最值等。1 利用三角函数的性质求最值1.1：利用三角函数的有界性例1、函数的最大值为_；变式、函数的最大值为_；小结：对于“一次类型”可利用正弦函数和余弦函数的有界性求三角函数的最值。1.2：利用配方法例2. 求函数的最值。解：将函数化为，配方得当当变式1、求函数的最小值；变式2、求函数的最大值；变式3、有实数解，求的取值范围；小结：型的函数，用角的变换“化二为一”，则问题转化为闭区间上的二次函数的值域问题。1.3 化为一个角的三角函数例3： 如何求函数的最大值和最小值？解：当，当，变式1、函数的最大值为_；变式2、函数，求的最大值_；小结：y=asinx+bcosx型函数的特点是含有正余弦函数。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种形式的三角函数。 应用公式：asinx+bcosx=sin(x+),（a,b0,其中tan=）拓展引申：例4 求函数的最大值和最小值。分析：表达式含sinxcosx和sinxcosx，应考虑到其内在关系，考虑用换元法解：设，则，且。由于，故当t=1时，；当时，。小结：这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。是纽带，三者之间知其一，可求其二。若表达式中出现sinxcosx，sinxcosx函数，属与型函数；应考虑到其内在关系,利用换元来求函数最值.1.4：利用数形结合例5. 求函数的最值。解：原函数可变形为这可看作点的直线的斜率，而A是单位圆上的动点。由下图可知，过作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，变式 求函数的最值。1.5. 利用换元法例6. 求函数的最值。解：令，则由于，故变式：求函数的最值。2 转化为二次函数求最值二次函数的一般式：，即自变量x的最高次数为2。当题目要求函数的最值时，先观察自变量的最高次数，如果是2，那无外乎就是考虑用图象法还是用代数法。不管是用图象法还是代数法，首先都得把一般式：转换成顶点式：，既而求出最值。对于，如果x没有给出束条件时，则就有：若，则当时，取得最小值，即；若，则当时，取得最大值，即。但有时候，题目会约束自变量x的条件，不易求直接求出函数值y的取值范围。常见的题型如下：例1 当x为何值时，下列函数有最大值或最小值。（1）（2）解法一（代数法）：（1） 当时，取得最小值，即。（2） 当时，取得最大值，即。解法二（图象法）： （1）如图可知，当时，。（2） 如图所示，当时，。例2 当时，求下列函数最大值与最小值。（1）（2）解法一（代数法）：（1） ，。（2） ，。解法二（图象法）： （1）如图所示，当时，；当时，。 （2）如图所示，当时，；当时，。例3 当时，求函数的取值范围。分析看问题，此题又是求最值问题。经过运算，可是看到，自变量x的最高次是2。说明是二次函数求最值问题。直接把式子转换成顶点式。即有解法一（代数法）： 又 即当时，。解法二（图象法）：如图所示，当时，。例4 设等差数列的前n项和为，公差为，且、成等比数列。（1）求；（2）求的最大值。解：由已知，有 即 解得（1）（2）（关于n的二次函数）当或时，取得最大值，其最大值为。例5 已知方程有实根、。（1）求m的取值范围；（2）设，求的最大值和最小值。解：（1）方程有两个实根 即 （2） （关于m的二次函数）（代数法） （图象法）如图可知，当当时，；当时，； 例6 某商店从今年初起专门销售某种商品，这种商品在今年内的进货价为每件700元，目前（今年初）的销售价为1000元。为了促销和提高利润，该商店决定今后将这种商品适当降价出售。现假设今后（今年内）这种商品在该商店的销购状况是：当售价为每件1000元时，第天可售出10件，并且销售单价每降低10元，则每天的销量就增加一件。问：今后（今年内）该商店将这种商品的售价为每件多少元时，才能使每天的利润最大？注：利润=销售所得金额-进货资金数解：设该商店将这种商品的售价为每件（1000-10x）元时，则每天的可售出（10+x）件，利润为y，有 （关于x的二次函数）当，即每件售价为 元时，才能使每天的利润最大，其最大利润为4000元。 因此，当看到题目求有关最值问题时，先观察题目，看自变量的最高次数是否为2。若最高次数为2，把一般式化为顶点式，既而根据自变量的取值求出函数的最值。 3 利用换元法求最值问题换元法主要有代数换元和三角换元，用换元法时一定要注意中间变量的取值范围。3.1 代数换元法例1 设，求函数的最值解:令，则原函数可变为= 当且仅当时等号成立3.2 三角换元法例2 已知求的最大值解：设 由已知条件得 解得=当即（换元的目的，是把给定的复杂函数转化为简单函数，从而容易求其最值。）4 利用数形结合法求最值几何图形是研究函数性质的一个重要辅助工具， 它直观地反映了函数本身的特性， 使函数式形象化。 诸多的数学问题都隐含着“ 形” 的信息， 若能充分利用这个“ 形” 把复杂的数学问题变为简单的几何问题， 便可使问题简捷获解。有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效例1 求函数的最值解析：将函数式变形为，只需求函数的最值把看成两点，连线的斜率，(即为单位圆上的点)，则当直线为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小设过点的单位圆的切线方程为，即 则圆心到切线的距离为，解得：，从而函数最大值为；最小值为5 利用单调法求最值 5.1 利用若干次“”(或“”)求函数的最值例1 求函数在，内的最小值解析：当时，上式中的两个 “”中的等号同时成立，所以是 “精确的”不等式因而 另：此题还可用换元以及函数单调性来判断5 利用导数法求最值设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例1 求函数在上的最值解析：，得，所以函数最大值为36，最小值为注意：要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值，通常都用该方法，导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视例2 求函数的最值解析：函数的定义域为,；，又是上的连续函数故有在上递增，在上递减，故函数最大值为，最小值为小结：以上就是本文整理出的有关于求函数最值问题的几种基本解法。当然解代数最值问题的方法不止这些,例如:判别式法,单调性法,配方法，导数法等等。这里只是对求最值问题的方法作部分的归纳,具体的方法还有待大家去进一步的发现和总结。由于最值问题的解题方法的灵活多样性,所以教师在对最值问题的教学活动中,应重视思想方法的渗透,把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务。致谢在本人毕业论文完成之际，我要真诚的感谢我的指导老师轩明辉老师，感谢他在百忙之中帮我纠正论文的书写格式及内容;感谢他认真的指导与耐心的讲解。此外,我还要感谢我的同学从繁忙的事物中抽出时间帮我查找资料，检查论文,我郑重的向他们说声：“谢谢”。参考文献：1 庞佑庸. 求最值的几种方法J.达县师范高等专科学校学报, 2002,12: 12-14.2 王晓东. 求函数最值的几种方法J.内江科技, 2008,1: 20-23.3 戴保尔. 初等方法求解函数最值问题 J.科技资讯, 2008,20: 15-18.4 梁国强. 数形