20120213导数在研究函数中的应用.ppt

导数在研究函数中的应用 单调性的定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是减函数 对于函数y f x 在某个区间上单调递增或单调递减的性质 叫做f x 在这个区间上的单调性 这个区间叫做f x 的单调区间 比如 判断函数的单调性 图象法 减 增 如图 判断函数单调性有哪些方法 如图表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v t 的图象 如图表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h t 4 9t2 6 5t 10 的图象 观察 1 求t 2秒时的瞬时速度 2 请问运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 有什么规律 运动员从起跳到最高点 离水面的高度h随时间t的增加而增加 即h t 是增函数 相应地 v t h t 9 8t 6 5 从最高点到入水 运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少 即h t 是减函数 相应地 观察下列函数的图象 讨论其单调性与其导函数的正负关系 注意 应正确理解 某个区间 的含义 它必是定义域内的某个区间 如果在某个区间内恒有 则f x 为常数函数 导函数f x 的与原函数f x 的增减性有关 正负 导函数f x 的单调性与原函数f x 的单调性 无关 1 f x x3 3x 解 3x2 3 3 x2 1 0 例2 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 从而函数f x x3 3x在x R上单调递增 2 f x x2 2x 3 解 2x 2 2 x 1 当 0 即x 1时 函数单调递增 当 0 即x 1时 函数单调递减 例2 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 3 f x sinx x x 0 p 解 cosx 1 0 例3 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 从而函数f x sinx x在x 0 单调递减 4 f x 2x3 3x2 24x 1 解 6x2 6x 24 6 x2 x 4 例4 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 当 0 即时 函数单调递增 当 0 即时 函数单调递减 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可能的是 A B C D C 例3 1 例3 2 根据导数确定函数单调性的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数f x 3 解不等式f x 0 得函数单调增区间 解不等式f x 0 得函数单调减区间 例4如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 如图 函数在或内的图象 陡峭 在或内的图象平缓 练习讨论二次函数的单调区间 由 得 即函数的递增区间是 相应地 函数的递减区间是 由 得 即函数的递增区间是 相应地 函数的递减区间是 练习求证 函数在内是减函数 由 解得 所以函数的递减区间是 即函数在内是减函数 一 求参数的取值范围 解 由已知得 因为函数在 0 1 上单调递增 例2 求证 方程只有一个根 解 1 函数的定义域是R 令 解得 令 解得 因此 f x 的递增区间是 递减区间是 例3确定下列函数的单调区间 解函数定义域是 1 由即得x1 由解得 1 x 1 故f x 的递减区间是 1 1 2 f x x ln 1 x 1 又函数的定义域是 1 故f x 的递增区间是 1 解 若a 0 对一切实数恒成立 此时f x 只有一个单调区间 矛盾 若a 0 此时f x 也只有一个单调区间 矛盾 单调递增区间 单调递减区间 和 例4设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 若a 0 故a 0 其单调区间是 y x 的单调减区间是 1 0 和 0 1 令 0 解得x 1或x 1 y x 的单调增区间是 1 和 1 令 0 解得 1 x 0或0 x 1 例5 例题选 求参数范围 例1若函数在区间 1 4 上是减函数 在区间 6 上是增函数 求实数a的取值范围 例2函数 1 若在实数集R上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a使在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 所以要证明不等式时 可以利用函数的单调性进行证明 把特殊点找出来使函数的值为0 证明不等式 要证明f x g x x a b 可以等价转换为证明f x g x 0 如果 f x g x 0 说明函数f x g x 在 a b 上是增函数 如果f a g a 0 由增函数的定义可知 当x a b 时 f x g x 0 即f x g x 例1当x 0时 证明不等式 1 2x e2x 令f x e2x 1 2x f x 2e2x 2 2 e2x 1 x 0 e2x e0 1 即f x 0 f x e2x 1 2x在 0 上是增函数 2 e2x 1 0 f 0 e0 1 0 0 即e2x 1 2x 0 1 2x e2x 当x 0时 f x f 0 0 应用 2 函数的单调递增区间为 A BCD 3 若在区间 a b 内有 0 且f a 0 则在 a b 内有 Af x 0Bf x 0Cf x 0D不能确定 4 函数在区间和内单调递增 且在区间内单调递减 则a的值为 A 1B 2C 6D 12 函数的极值与导数 h 观察高台跳水运动图象 单调递增h t 0 单调递减h t 0 h a 0 t a o 对函数y f x 是否也有同样的性质 x y o x y o 0 0 0 0 点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 1 极值是某一点附近的小区间而言的 是函数的局部性质 不是整体的最值 2 函数的极值不一定唯一 在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值 3 极大值与极小值没有必然大小关系 极大值可能比极小值还小 4 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 5 函数的极值点一定在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 因为所以 例1求函数的极值 令解得或 当 即 或 当 即 当x变化时 f x 的变化情况如下表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 2时 f x 有极大值28 3 当x 2时 f x 有极小值 4 3 2 求导数 求函数f x 的极值的步骤如下 1 确定函数的定义域 3 求方程的根 4 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 f x0 0 x0是可导函数f x 的极值点 x0左右侧导数异号x0是函数f x 的极值点f x0 0 思考 若寻找可导函数极值点 可否只由f x 0求得即可 x 0是否为函数f x x3的极值点 f x0 0是函数在x0取得极值的什么条件 练习求函数的极值 3x2 27 3 x 3 x 3 解 y x3 27x 当x变化时 y y的变化情况如下表 解得x1 3 x2 3 令y 0 当x 3时 y有极大值 且y极大值 54 当x 3时 y有极小值 且y极小值 54 例3设 在x 1和x 1处有极值 且f 1 1 求a b c的值 并求出函数的极值 函数的最大 小 值与导数 如果f x0 是函数的最大值 那么f x0 不小于函数y f x 在相应区间上的所有函数值 我们知道 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质 而不是函数在整个定义域内的性质 也就是说 如果x0是函数y f x 的极大 小 值点 那么在点x0附近找不到比f x0 更大 小 的值 但是 在解决实际问题或研究函数的性质时 我们更关心函数在某个区间上 哪个值最大 哪个值最小 如果f x0 是函数的最小值 那么f x0 不大于函数y f x 在相应区间上的所有函数值 观察图中一个定义在闭区间 a b 上的函数f x 的图象 指出函数极小值 极大值 在区间 a b 上的函数y f x 的 最大值点是 最大值是 最小值点是 最小值是 一般地 在闭区间 a b 上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 那么函数y f x 在 a b 上必有最大值与最小值 最值存在定理 在某一区间上函数y f x 的图像是一条连续不断的曲线 才有函数y f x 在这个区间上有最值 给定函数的区间必须是闭区间 在开区间 a b 内图象连续的函数f x 不一定有最大值与最小值 如函数f x 1 x在 0 内连续 但没有最大值与最小值 最值 与 极值 的区别和联系 例1 求在的最大值与最小值 解 由例4可知 在 0 3 上 当x 2时 f x 有极小值 并且极小值为f 2 4 3 又由于f 0 4 f 3 1 因此 函数 在 0 3 的最大值是4 最小值是 4 3 在 0 3 上的图象得到直观验证 上述结论可以从函数 例题选 题型一 求单调区间 例1求下列函数的单调区间 1 y 2 y x 1 解 y 当x 3时 0 单调减区间是 3 3 3 与 3 2 解 y 单调增区间是 0 例2已知 求函数的单调区间 例3设 1 求函数f x 的单调递增 递减区间 2 当时 f x m恒成立 求实数m的取值范围 解 1 递增区间为 2 3 1 递减区间为 2 3 1 2 m 7 题型二 已知单调性 求参数的取值范围 例1函数在区间 2 和 0 内单调递增 且在区间 2 0 内单调递减 则p的取值集合为 题型三 证明不等式 例1 1 已知x 1 求证 x ln 1 x 2 已知x 0 求证 1 2x e2x 题型四 最值 例1 已知函数在 2 2 上有最小值 37 1 求实数a的值 2 求f x 在 2 2 上的最大值 例3设a 0为常数 求函数在区间 0 a 上的最大值和最小值 解 1 若0 a ln2在区间 0 a 上 当x a时 有最大值 当x 0时 有最小值0 2 当a ln2 在区间 0 a 上 当x ln2时 有最大值1 4 当x 0时 有最小值0 例4已知函数 1 当a 1 2 求函数f x 的最小值 2 若对于任意恒成立 试求实数a的取值范围 1 7 2 2 a 3 例5已知函数 1 若函数f x 在上是增函数 求实数a的取值范围 2 若x 1 3是f x 的极值点 求f x 在 1 a 上的最大值 3 在 2 的条件下 是否存在实数b 使得函数g x bx的图像与函数f x 的图像恰有3个交点 若存在 求出实数b的取值范围 取不存在 试说明理由 1 a 0 2 f