2012届高考数学一轮复习第二章 函数、导数及其应用.ppt

1 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 解析 函数f x x 3 ex的导数为f x x 3 ex 1 ex x 3 ex x 2 ex 由函数导数与函数单调性的关系得 当f x 0时 函数f x 单调递增 此时由不等式f x x 2 ex 0解得 x 2 答案 2 2 2011 淮安模拟 已知t为常数 函数f x x3 3x t 1 在区间 2 1 上的最大值为2 则实数t 答案 1 3 函数f x x3 ax 2在区间 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 解析 f x 3x2 a 3 a 0 即a 3 答案 3 4 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为M m 则M m 解析 由题意得f x 3x2 12 令f x 0得x 2 且f 3 17 f 2 24 f 2 8 f 3 1 所以M 24 m 8 M m 32 答案 32 5 函数f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有极小值 则a的取值范围是 解析 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 f x 3x2 6ax 3 a 2 f x 既有极大值又有极小值 f x 0有两个不相等的实数根 36a2 36 a 2 0 即a2 a 2 0 a 2或a 1 答案 a 2或a 1 1 函数的单调性与导数在 a b 内可导函数f x f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 f x 0 f x 为 f x 0 f x 为 增函数 减函数 2 函数的极值与导数 1 函数的极小值若函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则a点叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 都小 f x 0 f x 0 2 函数的极大值若函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则b点叫做函数的极大值点 f b 叫做函数的极大值 和统称为极值 都大 f x 0 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值与导数求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤为 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中的一个是最大值 的一个是最小值 极值 最大 最小 已知函数f x x3 1 a x2 a a 2 x b a b R 1 若函数f x 的图象过原点 且在原点处的切线斜率是 3 求a b的值 2 若函数f x 在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 解 1 由函数f x 的图象过原点 得b 0 又f x 3x2 2 1 a x a a 2 f x 在原点处的切线斜率是 3 则 a a 2 3 所以a 3或a 1 2010 重庆高考 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 保持例题条件不变 求g x 的极大值和极小值 文 2010 安徽高考 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 自主解答 1 由f x ex 2x 2a x R知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知当a ln2 1时 g x 最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 理 2010 湖南高考 已知函数f x x2 bx c b c R 对任意的x R 恒有f x f x 1 证明 当x 0时 f x x c 2 2 若对满足题设条件的任意b c 不等式f c f b M c2 b2 恒成立 求M的最小值 1 写出年利润W 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大 注 年利润 年销售收入 年总成本 某造船公司年造船量是20艘 已知造船x艘的产值函数为R x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为C x 460 x 5000 单位 万元 又在经济学中 函数f x 的边际函数Mf x 定义为Mf x f x 1 f x 1 求利润函数P x 及边际利润函数MP x 提示 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 3 求边际利润函数MP x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么 解 1 P x R x C x 10 x3 45x2 3240 x 5000 x N 且1 x 20 MP x P x 1 P x 30 x2 60 x 3275 x N 且1 x 19 2 P x 30 x2 90 x 3240 30 x 12 x 9 x 0 P x 0时 x 12 当00 当x 12时 P x 0 x 12时 P x 有最大值 即年造船量安排12艘时 可使公司造船的年利润最大 3 MP x 30 x2 60 x 3275 30 x 1 2 3305 所以 当x 1时 MP x 单调递减 所以单调减区间为 1 19 且x N MP x 是减函数的实际意义是 随着产量的增加 每艘船的利润与前一艘船的利润比较 利润在减少 利用导数研究函数的单调性 极值和最值问题是高考的必考内容 既有填空题也有解答题 利用导数研究函数的综合问题是高考的一种重要考向 多以解答题考查 1 导数与函数的单调性 1 导数法证明函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 求f x 确认f x 在 a b 内的符号 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 2 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 转化为不等式恒成立求解 2 可导函数的极值 1 可导函数的极值点必须是导数为0的点 但导数为0的点不一定是极值点 即f x0 0是可导函数f x 在x x0处取得极值的必要不充分条件 例如函数y x3在x 0处有y x 0 0 但x 0不是极值点 此外 函数不可导的点也可能是函数的极值点 2 极值是一个局部概念 极值的大小关系是不确定的 即极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 3 由定义可知 若函数f x 在区间 a b 内有极值 那么f x 在区间 a b 内绝不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 3 函数的最值函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少 但最值只有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值可能成为最值 最值只要不在端点取得必定是极值 4 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各变量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数的区间端点对应的函数值和极值 确定最值 4 回到实际问题 作出解答 1 文 2011 盐城模拟 函数y x 2cosx在 0 上的单调递减区间为 答案 5 答案 9万件 6 文 已知函数f x x3 ax2 bx c a b c R 1