第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.ppt

1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 会利用导数解决某些实际问题 理要点 一 函数的单调性与导数1 函数f x 在某个区间 a b 内的单调性与其导数的正负有如下关系 1 若 则f x 在这个区间内单调递增 2 若 则f x 在这个区间内单调递减 3 若 则f x 在这个区间内是常数 f x 0 f x 0 f x 0 2 利用导数判断函数单调性的一般步骤 1 求 2 在定义域内解不等式 3 根据结果确定f x 的单调区间 f x f x 0或f x 0 二 函数的极值与导数1 函数的极小值函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在x a附近其它点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 f x 0 f x 0 2 函数的极大值函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近的其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 f x 0 f x 0 三 函数的最值1 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值和最小值 连续不断 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 极值 端点处的函数值f a f b 究疑点 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 导数为0的点一定是极值点吗 提示 不一定 如f x x3 f 0 0 但f x 3x2 0 则f x x3在 上是增函数 故x 0不是f x x3的极值点 3 函数的极值和函数的最值有什么联系和区别 提示 极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 题组自测 答案 B 3 已知a R 函数f x x2 ax ex x R e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 函数f x 是否为R上的单调函数 若是 求出a的取值范围 若不是 请说明理由 2 若函数f x 在R上单调递减 则f x 0对x R都成立 即 x2 a 2 x a ex 0对x R都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0对x R都成立 a 2 2 4a 0 即a2 4 0 这是不可能的 故函数f x 不可能在R上单调递减 若函数f x 在R上单调递增 则f x 0对x R都成立 即 x2 a 2 x a ex 0对x R都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0对x R都成立 而 a 2 2 4a a2 4 0 故函数f x 不可能在R上单调递增 综上可知函数f x 不可能是R上的单调函数 在题3条件下 试讨论函数f x 的单调区间 解 1 当a 0时 f x x2ex f x x2 2x ex 令f x 0 得 20 即当x 2 或x 0 时 函数f x 单调递减 2 当a 0时 f x x2 a 2 x a ex 令g x x2 a 2 x a a 2 2 4a a2 4 0 g x 有两个零点 归纳领悟 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它们在定义域内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 题组自测 1 设f x x ax2 bx c a 0 在x 1和x 1处均有极值 则下列点中一定在x轴上的是 A a b B a c C b c D a b c 答案 A 2 2010 安徽高考 设函数f x sinx cosx x 1 0 x 2 求函数f x 的单调区间与极值 3 已知函数f x x3 mx2 nx 2的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 1 求m n的值及函数y f x 的单调区间 2 若a 0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 由f x 0得x 2或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 2 由f x 0得0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可得 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 归纳领悟 求可导函数f x 极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果在根的左侧附近f x 0 右侧附近f x 0 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 题组自测 1 函数f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值是 最小值是 解析 f x 6x2 6x 12 令f x 0 即6x2 6x 12 0 则x 1或x 2 又x 0 3 故x 1应舍去 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如表 f x max 5 f x min 15 答案 5 15 2 已知f x ax3 2ax2 b a 0 是否存在正实数a b使得f x 在区间 2 1 上的最大值是5 最小值是 11 若存在 求出a b的值及相应函数f x 若不存在 请说明理由 因此f 0 必为最大值 f 0 5 得b 5 f 2 16a 5 f 1 a 5 f 1 f 2 f 2 16a 5 11 a 1 f x x3 2x2 5 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 归纳领悟 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 答案 C 2 面积为S的一矩形中 其周长最小时的边长是 归纳领悟 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到原实际问题中作答 一 把脉考情从近两年的高考试题来看 对导数的考查表现在以下几个方面 1 导数的简单应用 包括求函数的极值 求函数的单调区间 证明函数的增减性等 出现率较高 2 应用问题 利用导数来解决一些实际问题 3 综合考查 将导数