高等数学教学中计算机模拟技术的实现和应用.pdf

收稿日期 2011 10 13 基金项目 海南省教育厅高校科研资助项目 Hjsk2011 23 海南大学教育教学科研资助项目 hdjy1005 作者简介 王浩华 1981 男 湖北天门人 海南大学信息科学技术学院讲师 硕士 第 30 卷 第 2 期海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版Vol 30 No 2 2012 年 6 月 NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITYJun 2012 文章编号 1004 1729 2012 02 0114 05 高等数学教学中计算机模拟技术的实现和应用 王浩华 1 叶 丹 2 1 海南大学 信息科学技术学院 海南 海口 570228 2 浠水县第一中学 湖北 黄冈 438200 摘要 介绍了计算机模拟技术在高等数学教学中应用的基本原理和方法 并给出了其算法的改进 提高了 计算结果的精度 同时 结合高等数学中的一些实例 借助 Matlab 软件使之得以实现 在计算机模拟技术的演 示下 使学生加深对高等数学概念 思想的理解 进而培养学生的数学思维能力 关键词 计算机模拟 Monte Carlo 算法 高等数学 教学 中图分类号 TP 39文献标志码 A 随着现代科学的发展 高等数学已经成为自然科学发展的理论基石 如何在高等数学教学过程中 向 学生深层次地展示高等数学所蕴含的基本思想 已成为众多教学工作者研究的热点 利用计算机模拟技 术来诠释高等数学中的基本思想也成为一项新兴的课题 笔者结合高等数学中一些常见的问题 借助计 算机模拟技术 不仅解决了高等数学中的一类问题 而且通过计算机的演示 还能加深学生对高等数学概 念 思想的理解 1Monte Carlo 的数学根源及其改进 1 1Monte Carlo 算法求积分的一般规则计算机随机模拟技术又称为 Monte Carlo 算法 其基本思想 如下 设欲求积分 I Df p dp 其中 D 表示积分区域 取 D 上任一联合概率密度函数 p 令 F p f p p p 0 0 p 0 设 p1 p2 pn为 D 上的随机样本 密度函数为 p 设 I Df p dp E F p 则有 I F n 1 n n i 1 F pi 即算术平均值就是积分的近似值 一般地 设 D 的体积 二维则为面积 为 VD 则概率密度函数 p 1 VD p D 0 其他 这时 F p VD f p 因而得 I F n 1 n n i 1 F pi VD n n i 1 f pi VD f p 1 称式 1 为求积分的 Monte Carlo 算法 当 n 时 由中心极限定理有 P lim n F n I 1 当 X 的概率分布为 x a x b 则 E f X b af x x dx 特别地 当 X 为 0 1 上的均匀分布时 x 1 1 0f x dx E f X 1 n n k 1 f xk 2 当计算在任意区间 a b 上积分时 要先作代换 将 x a b a u 化为 0 1 上的积分 1 0f x dx b a 1 0f a b a u du b a n n k 1 f a b a uk 3 其中 uk k 1 2 n 为 0 1 上的随机数 1 2提高Monte Carlo算法计算积分的精度Monte Carlo 算法具有众多优点 1 收敛速度不依赖外界 指标 2 与积分区域 D 的选取无关 3 程序结构简单 易于实现 因此 Monte Carlo 算法成为处理高维积 分和复杂积分强有力的近似计算工具 Monte Carlo 算法也存在缺点 1 随机数的均匀性直接影响其结果 2 收敛速度慢 3 误差是概率误 差 不是真正的误差 因此 为了提高近似计算的精度 可将 Monte Carlo 算法与数值算法相结合 以提高结果的精度 例 1 4 求定积分 2 0 4 x 槡 2dx 解由式 3 a 0 b 2 取 n 10 000 考虑到 Monte Carlo 算法随机模拟的特点 分别模拟5 次 Matlab 编程可得计算结果 如表 1 所示 表 1 Monte Carlo 算法随机模拟结果 模拟次数12345精确值 模拟结果3 123 73 137 33 136 13 127 93 134 3 用 Monte Carlo算法结合数值积分算法 即Newton Cotes公式 仍取n 10 000 仍模拟5 次 结果如表 2 所示 表 2Monte Carlo 算法结合数值积分算法随机模拟结果 4 模拟次数12345精确值 模拟结果3 141 593 141 593 141 593 141 593 141 59 由上述结果可知 直接用 Monte Carlo 算法求解定积分 即使取 n 10 000 但计算结果只有2 位有效 数字 而利用 Monte Carlo 算法结合数值积分算法 相同的模拟次数 有效数字却可达到6 位 可见 结合数 值算法大大提高 Monte Carlo 算法的精度 2改进后 Monte Carlo 算法的应用与实现 2 1Monte Carlo算法求一元方程的根求一元方程 f x 0 的根有很多算法 如迭代法 牛顿切线法 等 但这些数值算法的收敛性依赖于初始值 x0的选取 如何寻找合适的初始值 x0 在很大程度上决定算法 的有效性 利用 Monte Carlo 算法求方程的根则克服了算法对初始值 x0的依赖性 要解方程 f x 0 x a b 其中函数 f x 为连续函数 为指定精度 令 Xd a Xu b k 1 F0 1 F0 进行以下步骤 步骤1令 k k 1 在 Xd Xu 内产生 n 个随机数 x i i 1 2 n 计算并比较出这 n 个随机数 511第 2 期王浩华等 高等数学教学中计算机模拟技术的实现和应用 的函数绝对值的最小值 f xnk min 1 i n f xi 令 F0 k min F0 k 1 f xnk 步骤 2若 F0 k 成立 则终止计算 令 f x xnk即为方程的根 若 F0 k 且 F0 k F0 k 1 则令 k k 1 并转至步骤 1 若 F0 k F0 k F0 k 1 则令 fx xnk 转至步骤 3 步骤 3令 d d0 k Xd fx d Xu fx d 转至步骤 1 注 1 F0是人为给定的一个很大的正数 d0 b a 且 d0 0 2 取 d d0 k 是为了减小收索区间 以加快收敛速度 3 区间 Xd Xu a b 由此产生迭代序列 F0 1 F0 2 F0 k 最终使 F0 k 成立 得出函数 f x 0 x a b 达到精度要求的根 fr 例2求方程f x exp x3 tan x 800 0在 0 2 的实根 假定只要满足 f x 10 5 则认为 x 为根 解对任意给定的初始值 如 0 0 3 1 1 1 1 4 等 用熟知的牛顿法在定义区间 0 2 内找不到 根 若用改进的 Monte Carlo 算法 则不需要给定初始值 下为用改进的 Monte Carlo 算法求方程的根的 Matlab 程序 n 10000 xu pi 2 xd 0 k 1 fx 1 1000 d0 1e 4 while fx k 1e 5 k k 1 x unifrnd xd xu n 1 y exp x 3 tan x 800 fx k fx k 1 for i 1 n if abs y i fx k fx k abs y i x fx k end end if fx k fx k 1 k k 1 continue end fr x d d0 k xu fr d xd fr d end 表 3 Matlab 程序结果 k12345678fr fx k 1 00041 95112 103 0 004 377 75 74e 5 1 707 9e 5 1 27e 52 695e 61 569 5 由表 3 可知 序列 fx k 单调递减 fr 1 569 5 时 函数值为 f fr fx 8 2 695e 6 1e 5 因此方程的近似根为 fr 1 569 5 2 2Monte Carlo 算法计算国土面积已知欧洲某国家的地图 为了算出它的国土面积 首先对地图作 如下测量 以由西向东方向为x轴 由南向北方向为y轴 并将从最西边界点到最东边界点在 x轴上的区间 适当地分为若干段 在每个分点的 y 方向测出南边界点和北边界点的 y 坐标 y1和 y2 由此得表 4 的数据 由地图比例尺可知18 mm 相当于40 km 试由测量数据计算该国国土面积 与它的精确值41 288 km2 比较 611海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版2012 年 表 4某国国土地图边界测量值 7 mm xy1y2xy1y2 7 0 10 5 13 0 17 5 34 0 40 5 44 5 48 0 56 0 61 0 68 5 76 5 80 5 91 0 44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 96 0 101 0 104 0 106 5 111 5 118 0 123 5 136 5 142 0 146 0 150 0 157 0 158 0 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68 Y ymax ymin x y xmaxXO 图1随机投点拟合图 xmin 可利用 Monte Corlo 算法计算曲线所围面积 问题 求解思路如下 通过计算机编程 在图 1 中产生随机点 于矩形区域内 产生的点数设为 N 如果点产生在曲线 所围区域内 则计数器 m 加 1 最后根据公式 Area m N S矩形 当 N 时 越接近真实值 假设从最西边界点到最东边界点 变量 x a b 这两点把边界分为上下 2 条边界曲线 根据测量数据 利用 Matlab 软件对上下边界进行3 次多项式插值 设上 边界函数为 f2 x 下边界函数为 f1 x 在矩形区域内 产生随机点 x y 如果f1 x y f2 x 则表示点落 在区域内 否则落在区域外 此程序取 N 10 000 在长方形区域内产生10 000 个随机点 运行2 次得到10 个面积如表5 取平均 值 42 148 km2作为面积值 与真实值误差 2 08 表 5Monte Carlo 算法计算面积所得数据 次数 面积 km2 A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 第 1 次42 09941 91342 14242 63641 89941 35542 71541 79941 83442 250 第 2 次41 67742 57941 94243 10142 47941 99942 19242 47941 52742 343 Monte Carlo 算法源程序 clear all x 7 0 10 5 13 0 17 5 34 0 40 5 44 5 48 0 56 0 61 0 68 5 76 5 80 5 91 0 96 0 101 0 104 0 106 5 111 5 118 0 123 5 136 5 142 0 146 0 150 0 157 0 158 0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68 L max x min x H max y2 min y1 for k 1 10 711第 2 期王浩华等 高等数学教学中计算机模拟技术的实现和应用 n 10000 m 0 for i 1 n u i unifrnd min x max x v i unifrnd min y1 max y2 f1 interp1 x y1 u i cubic f2 interp1 x y2 u i cubic if v i f1 v i f2 m m 1 end end S L H m n 18 2 1600 end 参考文献 1 李志林 欧宜贵 计算机模拟建模 J 工程数学学报 2005 22 8 81 84 2 刘旭华 浅谈蒙特卡罗发在概率统计教学中的应用 J 大学数学 2010 26 2 200 202 3 柴中林 引俊成 蒙特卡罗方法计算定积分的进一步讨论 J 应用数学与计算数学学报 2008 22 1 125 128 4 陈佩宁 刘宁 用 MATLAB 求数值积分的方法 J 石家庄职业技术学院学报 2008 20 6 58 60 5 姚金斌 李志林 欧宜贵 数学建模思想融入微分方程应用中的一个教学案例 J 工程数学学报 2007 24 Supp 1 13 17 6 李志林 欧宜贵 信息技术与数学建模课程教学融合的探索 J 高等理科教育 2006 5 126 128 7 姜启源 刑文训 谢金星 等 大学数学实验 M 北京 清华大学出版社 2005 Application of Computer Simulation Technology in Teaching Higher Mathematics WANG Hao hua1 YE Dan2 1 College of Information Sciencie Technology Hainan University Haikou 570228 China 2 The first middle school of city Xis