初二学生解几何应用题策略类型的研究.pdf

3 2 0 理科学P s y c h o l o g i c a l S c ie n c e 2 0 0 7 3 0 2 3 2 0 3 2 4 初二学生解几何应用题策略类型的研究 张锦 坤 连榕 福建 师范大学教育科学与技术学院 福 州 3 5 0 0 0 7 天津师范大学心理与行为研究院 天津 3 0 0 0 7 4 摘要运用作品分 析法对 6 0份初二优秀生 中等生 差生的第一学期数学期中考试卷进行分析 发现初二不同学 习水 平学生 解数学应用题 时表现 出不 同的解题策略类型 优秀生的解题策略 属于 俯瞰型 中等生 的解 题策略属 于 经验 型 差生 的解 题 策 略属于 盲试型 关键词 优秀生中等 生差生策略类型 1 前言 作为问题解决研究的子课题 数学应用题研究 一 直为心理学家所关注 当前关于数学应用题解题 研究主要集中于探讨解题过程 中的问题表征和解题 策略的选取等方面 综观近年来数学应用题的相关 研究 我们发现现有研究呈下列特点 1 多采用专家 一 新手的研究范式 较注重优 差生 的比较研究u J 国外对学习困难学生解应用题 的研究颇多 3 但有 研究者指出 中等生在学生群体中数量是最为庞大 的 除去 2 0 左右的优差生 剩下的就是总体数量惊 人的中等生 2 采用的研究方法主要有 12 1 语报告 法 J 问卷调查法等 J 在研究手段上有人使用计算 机 引 眼动仪 加 等先进设备使研究更精确 3 基 本上是 自上而下的研究 即研究者事先做好假设 然 后 加 以验证 基于应用题研究 的上述特点 我们 采取 自下而 上的研究方式 运用作品分析法分析初二优秀生 中 等生 差生 的期 中考试卷 中解答有难度应用题 的情 况 探讨各层次学生解应 用题 策略的类 型 本研究 一 方面作为后续研究的基 础 另一方面也期望能为 现有 的应用题研究理论做补充 同时也为应用题教 学实践中的教师提供帮助 2 方法 2 1 研 究材 料 采用分层抽样法 从某市抽取一所 中学 收集 了 初二第一学期数学试卷 其 中包含两道 中等偏上难 度的几何应用题 初二上学期数学主要涉及几何方 面的内容 同时根据一定标准将该校初二学生划 分为优秀 中等和差三级 相应地将试卷也分为三个 层次 分别从中随机抽取 2 0份试卷 分为三组 甲组 优秀生 乙组 中等生 丙组 差生 划分层次的 标准主要依据 学生在最 近两次数 学考试 的平 均成 通讯作者 张锦坤 男 E ma j l j i n k u n z h a n g 1 2 6 C O m 绩 8 0分以上者为优秀生 6 0至 8 0分者为 中等生 6 0分以下者为差生 同时结合任课教师的评价 学 生平均年龄 1 3岁零 7个月 均为智力正常者 2 2 研究方法 采用作品分析法分析不同层次学生解答应用题 的卷面情况 从各层次学生的解题情况 中分析所使 用的解题策略 为避免分析前 因学生解题水平的事 先划分 试卷 中教师的批 阅及其答题分数等 因素对 作品分析造成先验性影响 将抽取 的试卷扫描成图 片后用画图软件将卷 中与原答题情况无关的痕迹清 除 然后重新打印 将试卷原件与新打印试卷对应 编号 然后将新打印试卷打乱 作品分析时采用新打 印试卷 分析结 束后再对照原件编号按三个层次分 成甲 乙 丙三组 再综合 比较三个层次学生的解题 策 略 为保证分析过程 中的客观性 对 每份试卷都遵 循从 对已知条件与问题间关系的理解 从已知条 件到未知关系的中间转换 和 对中间转换与问题的 整合 三个层面来分析 比较解题过程 3 分析与讨 论 3 1 三组试卷在解题的正确性上的不同 分析了抽取的 6 0份试卷 发现在两道题的正确 性上 三组试卷之间存 在较 大差异 甲组试卷在第 一 题中解题 完全正确 的有 1 4份 部分 正确 的有 6 份 完全错误和放弃的在甲组试卷 中未发现 在第二 题 中正确的为 1 5份 部分正确 的为 5份 完全错误 和放弃的为 0份 乙组试卷在第一题 中正确 的有 2 份 部分正确的有 9份 完全错误和放弃的份数分别 为 4份和 5份 在第二题 中正确 的有 3份 部分正确 的有 1 1份 完全错误的有 4份 放弃的有 2份 丙组 在第一题和第二题上 正确 的均为 0份 在 第一题上 部分正确的有 1 份 完全错误 的有 1 5份 放弃的有 4 维普资讯 张锦坤等 初二学 生解几何应用题 策略类 的研究 3 2 1 份 在第二题上部分正确 的为 0份 完全错误 的和放 弃的分别为 1 7份和 3份 具体见表 1 甲组试卷在 解 题 正确性 上 明显好 于 乙组 和丙 组 乙组 好 于 丙组 丙 组 几 乎无 法 正 确 解 答 问题 绝 大 多数 人 在 两 道应 用题上都完全答错或干脆放弃 表 1 三组试卷在两道应用题 上的正确 性比较 3 2 三组试卷反映出不同层次学生的所采用的解 题策略 试卷 中的两道几何应用题均为中等偏上难度 的 题 根据已知条件无法直接得 出结果 要求学生能经 过一个中间阶段的转化 如在求两条直线关系一题 中 题 目问 的是两 只蚂蚁 爬过 的路 线 A E与 B F有 何 关系 并要求说明理 由 它要求学生能够将所要推论 的应用性问题转化为数学 问题 如何用数学语言来 描述长度关系和位置关系 且这一步骤在其开始解 题之前就应有所认识 从给定条件到 目标需经过一 个中间部分的转化过程 即由正方形 A B C D和 B E C F 得 出 X A B E X A C F 从 而 推 出 F B C B A E 及 A E B F 求得 A E与 B F的长度关系 接 着再 应 根 据 F B C B AE A E B B F C及 A B C B C D 为直 角等条件 推 出 AG B为直角 从而得 出 A E 上B F 即 A E与 B F的位置关系 通过对所有试卷的作品分析 我们发现三组试 卷 中 优秀生 中等生 差生在两道几何应用题 的解 试卷 题过程 解题步骤上所使用的策略是不同的 在正确 性上也明显不同 但同时我们却发现在同组 中出现 了基本相同的解题策略 这说明不同层次的学生在 解题策略上存在不 同的策略类 型 且 可能由于解题 的策略类 型 的不 同导致 不 同层次 的学 生在 解 题 正确 性 上 的显 著差 异 3 2 1 甲组 的解题 策 略类 型 俯瞰 型 对甲组的 2 0份试卷 分析表 明优秀生在整个答 题过程中目的性明确 对题 目要求 已知条件以及所 学过的知识之 间的综合把握较为熟练 通过 对已 知条件与问题 间关系的理解 从 已知条件到未知 关系 的 中间转 换 和 对 中 间转 换 与 问 题 的 整合 三 个层面的分析发现 甲组学生往往是先明确题 目的 问题 然后确定如何运用所学 的数学知识来说 明这 一 问题 在需要根据已有的条件做推导才能得出中 间条件并最终解决 问题时 他们似乎 能一下子 看 清 整个解题过程 然后再逐步验证 试卷B I 警 图 1 甲组两份试卷解答几 型应用题的卷 面情况 矗 图 中 画 圈 部 分 为 学 生 在 教 师 讲 评 后 所 作 的 修 改 其 余 符 号 为 评 卷 老 师 所 记 如 及 打 分 下 同 图 1的试卷 A B表 明 答题者对题 目中的条件 和位置关系的已有的数学知识 在本题 中要确定二 包括隐含条件 及条件对解题 的意义有较清晰的理 者的长度关系相对容易 但是除 了长度关系之外还 解 对 问题的中间阶段的把握 已达到相 当 自如的程 有位置关系需确定 这无法从全等的结果直接得出 度 对这类试卷的分析结果进行综 合归纳后 概括 而需要再结合几何图形 通过判断角 的关系来得出 如下 答题者很明确题 目要求 即两条线 的关系主要 位置关系 在答题时 他们首先确定 A E与 B F的长 是长度和位置关系 然后他们开始搜索能证明长度 度关系 并确定是相等还是成一定 比例 由于已经 维普资讯 3 2 2 心理科学 学过 证 明三角 形 全 等 或相 似 的原 理 知 识 而题 目中 的条件 正方形 AB C D和 B E C F 只要稍加转 化就 可以应用边角边定理 得出 x A B EC X A C F 全等三 角形的各对应边相等 各对应角相等 但对应角相 等还不能直接判断两条直线是垂直关系 需进一步 转化 即 F B C AB A E A E B B F C A B E 中 B AE A E B 9 0 从 而 A E B F B C 9 0 A E与 B F垂 直 从中间阶段转化至最后 的解决问题阶段 反映 了优秀生对条件与问题之间关系的深刻理解 试卷 A的答题者 在开始答题之前就对两条直线 的关系 做出了正确的判断 这表明他们探索 问题 条件 中 间阶段和已学知识之间的关系的过程已达到高度 自 动化水平 通过作品分析 我们认 为优秀生在解答 几何应用题时所应用 的是一种较高水平解题策略 可将其图示为 把 握 逐步 接近解 决 问题 由上 述 分析 可知 优 秀 生 在审题完后 首先是考虑所要解决的问题与所 学数 学知识 的关系 确定用何种数学知识来描述问题 然 后观察从题 目的已知条件或隐含条件能得 出哪些有 利于解题的另外一些条件 对于不能一步解决的问 题 找到它的中间过渡点 对于简单的问题则可直接 在条件和问题 之间 应用 已学知识直接 解决 如 图 2 由于优秀生在解题时能在 条件 中间阶段 问题 已学 知识 之 间较 自如 地 流进 流 出 似 乎能 居高临下地把握各部分 的关系 因此我们将这种解 题策略形象地称为 俯瞰型 策略 其主要特点就是 对条件和问题的清晰把握 具体表现为 1 有效地将 问题用数学语言来描述 能深刻理解问题 2 能将条 件和问题之间的关系与 已有知识灵活结合 并不断 地创造中间条件 可能需要多个 逐 渐接近问题解 决 3 对与解题有关的各要素 如已知条件 问题 已 图 3 乙组两份试卷解答几何型应用题 的卷面情况 首先 从答题的正确性上来看 中等生只解决了其中 的一部分问题 这说 明他们也能根据题 目的条件与 问题 目标相联 系 并积极地 寻找与 已学知识 的结合 点 如 图 3试卷 D 中 答题者 明确应证明 x A B E C X B F C方能确定 A E与 B F是相等关 系 于是开始寻 找求证两个全 等三角 J 的条件 并发现 已有 的条件 稍加转化即可符合边角边定理 试卷 C中 虽然答 题结果还不能算部分正确 但答题者其 实也看到了 必须利用已有条件来证明两个 三角形全等 但可能 由于对全等三角形 的证 明过程掌握不熟练 或对边 角边原理未完全掌握 导致在证明过程 中出现 问题 对此 我们认为 中等生的解题策 略中也存在类似于 优秀生的 问题 条件 间的探 索策略 但在对 问 题和条件 间关系 的理解程度上不如优秀生 同时 从总体来看 因该类 试卷部 分正确或错误 的形式有 一 定趋势 我们推测 中等生在解题 时可能过 于依赖 已有的解题经验 通过与任课教师的访谈我们了解 到 在教授如何证明两个三角形全等 时 书中的内容 维普资讯 张锦坤等 V l 学生解 几何应用题策略类型的研究 3 2 3 及课后练习主要涉及两方 面 一是通过证 明三角形 全等得出各角 边相等 另一方面是通过所学的边 角 边 边边边 角边角等定理 证 明两三角形全等 而对 于通过 证 明角 的关 系进而 证 明线 的关 系 的练 习较 少 涉及 因此 中等生由于较为依赖过去 的解题经验 使得他们对新的问题或需要在过去所接触问题上进 一 步加工的问题缺乏 经验 从而致使其不会解题 或只能部分完成 问题 因此 面临这道无法直接解 决的几何应用题 时 答题者应用全等三角形 的性质 解决了两直线的长度关系 却无法在得出AA B E与 AC F各对应角相等的同时 通过角的转换 得出两 直线构成的角为直角 此外 在对 条件 问题 已有知识 中间 阶段 等 的相互关系综合把握上 中等生显得不如优 秀生熟练 自如 这也可能是 因为中等生在解题时过 于依靠过去 的解题经验 导致过于刻板 我们 在分 析乙组试卷的过程 中也发现有个别 中等生在解题 时 意识到了两直线除了有相等关系之外 还有垂直关 系 但由于证明 B GE是直角无法直接推导 而他 们无法在 条件 一中间阶段 一问题 间灵活转换 所 以当遇到中间阶段的阻碍而他们过去的解题经验又 不能提供支持时 他们对问题 的探索往往就停止 了 中等生解应用题 的策略可用图简示如下 图 4 中等生解麓 策略简 示图 试 卷 E 图 4中的虚线表示当所遇到的问题根据 以往的 解题 经验 就能解 决 时 被 试 能较 为迅 速 地 解题 且 一 般来 说 正 确 性 较 高 而 当碰 到需 经 历 一 中 间 阶段 的 问题时 中等生往往无法解决问题 或只能解决部分 问题 也就是说 中等生在解题时 更多时候是直接 地 依赖 于 已往经 验 所 以有 时难 免 缺 乏灵 活 性 缺 乏 对问题 的整体把握 我们将 中等生的这种解题策略 称为 经验型 的解题策略 具体特点表现为 1 解题 时能将 已有 的条件与问题相联系 并运用解题经验 相对机械地进行分析 往往不能完整地理解问题 2 过度地依赖于过去的解题经验 导致对新问题或较 难的问题的适应性较差 容易按部就班地解决 问题 3 对问题与条件问关系的综合把握不够灵活 3 2 3 丙 组 的解题 策略 类型 盲试 型 从丙组的 2 0份试卷来看 他们在这两道有一定 难度 的应用题上的解题步骤显得较为混乱 推理过 程缺乏依据并且缺乏意义 大多数答题者往往只是 从题 目的已知条件 中随意地推出一些结论 而这些 结论往往与题 目的问题关系不大 并且对 解决问题 没有帮助 如 图 5中的试卷 E 直接从 正方形这一 条件就得出 了 A E B F 试卷 F的答题者 的证 明方 向似乎是正确 的 但我们不难发现 他对这一推理过 程并 不 理解 只是 盲 目地 将 题 目的条件 堆 砌 在一 起 然后进行推导 在探索 条件 问题 之 间的关 系 时缺乏 目的指 向性 我们认为 差生组的策略水平是极低的 通过具 体地分析他们 的解题情况可 以发 现 第一 解题差生 在开始解答前 头脑 中不存在要将所求问题转化为 数学问题的概念 第二 差生在解这类需要转化条件 的问题时 无法利用 已学过的原理 本题为全等三角 形证 明公式 例如在本题中 差生组中的大多数学 试 卷 F 图 5 丙组两份试卷解答几何型应 用题的卷面情况 生都未应用证 明全等三角形的公式 即使个别在答 题过程 中出现 了AA B Ec o AA C F 也是在未作推导 或盲 目推导的情况下写出的 第三 当问题 的解决需 要两次甚至多次转化条件才能达到 目标时 差生组 学生对题 目呈现的条件与 目标之间的关系模糊不清 或一无所知 因此我们认为他们所采用的解题策略 为根据给定条件 推出他们所熟悉 的另一些 条件 而 这些条件是否有用于解题并无意识 其推导过程是 维普资讯 3 2 4 心 理 科 较为 盲 目的 基于此 我们将这种低水平的解题 策略慨括为 盲试型 策略 其主要特点是整个探索解题过程是 一 个盲 目尝试 目的性不强 的过程 差生的解题策 略可 用 图示 为 圈 6 差生解题 策略简示 图 图 6中虚线表示差生在解题时很少有意识地去 把握解应用题各要素问的相互关系 通常他们 只是 根据 自己已有的知识 从已知条件中较为盲 目地推 导出一些结论 而这些 结论 与问题可 能并无 关系 图中 已有知识 与 问题 问为单向箭头即是为说明 这一点 此外 差生往往探索不到应用题 的中间 阶 段 综上所述 差生的 盲试 型解题策略的具体特 点可概括如下 1 解题时对问题的 目的指 向性不强 而是碰试性从 已知条件 中推导出一些结果 而这些 结果可能毫无意义 2 缺乏 问题 相关知识或者无法 将已有的知识与问题和 已知条件联 系起来 3 解题 过程是一个盲 目尝试错误的过程 需说明的是 作品分析是一种 自下而上的研究 本研究 的结论主要是在对静态资料的分析 比较的基 础上推测得出的 某种程度上而言是为后续研究做 铺垫 进一步的研究将采用其他方法 如 口语报告 法 或借助仪器 如 眼动仪 加 以验证 扩展研究 4 结论 本研究通过作品分析法研究初二学业优秀生 中等生及 差 生解 几 何 应用 题 的 策 略类 型 得 出如 下 结论 学业优秀生 中等生和差生解数学应用题的策 略类型分别为 俯瞰型 策略 经验型 策略和 盲试 型 策略 不同解题水平的学生所倾向的解题策略类 型直接影响他们解答应用题 5 参考文献 1 牛卫华 张梅玲 学 困生 和学优生解应用题策略的对 比研 究 心理 科学 1 9 9 8 2 1 6 5 6 6 5 6 7 2 Ya n P X A s h a K J An d r i a D B E ffe c t s o f Ma t h e ma t i c a l W o r d P r o b l e m S o l v i n g I n s t r u c t io n o n M i d d l e S c h o o l S t u d e n t s wi t h Le a r n i n g P r o b l e ms Th e J o u r n a l o f S p e c i a l E d u c a t i o n 2 0 0 5 3 9 3 1 8 1 1 9 2 3 P a r ma r R S C a wl e y J F F r a z i t a R R Wo r d p r o b l e m s o l v i n g b y s t u d e n t s wi t h a n d wi t h o u t mi l d d is a b i li t i e s Ex c e p t i o n a l C h i l d r e n 1 9 9 6 6 2 5 4 1 5 4 2 9 4 连榕 现代学 习心理辅导 第 1 版 福州 福 建教育 出版 社 2 0 0 1 2 5 7 2 6 6 5 董研 路海东 俞 国良 小学生应用题表征 的类型 和特点 心理科学 2 0 0 4 2 7 6 L 3 5 2 1 3 5 5 6 路海东 董 妍 王晓平 小学生数 学应用题解 决 的认知机 制研究 心理科学 2 0 0 4 2 7 4 8 6 7 8 7 0 7 梁宁建等 中学生 问题解决 策略 的基本特 征研 究 心理 科学 2 0 0 2 2 5 1 1 O 一1 3 8 刘凡 尤 晓东 计算机模拟 儿童解决算术应用题的认 知行为发展模型 心理科学 1 9 9 1 1 4 2 2 2 2 7 9 He g a r t y M Ri c h a r d E M Ch r i s t o p h e r A M C o mp r e h e ns i o n o f Ar i t h me t i c W o r d P r o b l e ms A Co mp a ri son o f S u c c e s s f u l a n d Unsu c c e s s f u l P r o b l e m So l v e r s J o u rna l o f E d u c a t i o n a l P s y c h o l o g y 1 9 9 5 8 7 1 1 8 3 2 1 0 An d e r son J R C a mero n C Ke n n e t h R K Tr a c k i n g t h e Co u r s e of M a t h e ma t i c s P r o b l e ms h t t p www n s f g o v e h r r e c p rop o s a l An d e r s o n An d e r s o m p r o p o s a l f i n a 1 p d f 2 0 0 5 0 3 1 3 A S t u dy o n t he Ty p e s o f Ge o me t r y W o r d Pr o b l e m S o l u t i o n St r a t e g i e s o f J u n i o r Hi g h S c h o o l S t u d e n t s i n Gr a d e T wo Z h a n g J i n k u n 一 L i a n Ro n g C o l l e g e o f E d u c a t i o n a l S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y F u j i a n No r ma l Un i v e r s i t y F u z h o u 3 5 0 0 0 7 A c a d e my o f P s y c h o l o g y a n d B e h a v i o r T i ani i n N o r ma l Un i v e rsi t y Ti a n j i n 3 0 0 0 7 4 Ab s t r a c t Th e s t u d y e x p l o r e d t h e ma t h e ma t i c a l wo r d p rob l e m sol u t io n s t r a t e g i es o f s t u d e n t s b y a n a l y z i n g t h e i r a nswe rs t o t h e q u est i o I l S Th e wo r k a n a l y z i n g me t h o d wa s u s e d t O e x a mi n e 6 0 a nswer s h e e t s