南京航空航天大学《高等数学》第03章泰勒公式和导数应用习题课.pdf

一 泰勒 Talor 公式一 泰勒 Talor 公式 1 0 0 000 xR xx n xf xxxfxfxf n n n 余项 余项 余项 余项 Lagrangexx n f xR peanoxxxR n n n n n 3 1 2 1 0 1 0 1 0 0 阶泰勒公式处的或叫在 阶泰勒公式的幂展开的叫做按 阶泰勒公式处的或叫在 阶泰勒公式的幂展开的叫做按 nxx nxx 其中其中 5 10 1 4 0 2 0 0 0 1 1 2 xfxfxf xfxf xx 连续又 不妨设 连续又 不妨设 0 0 0 xfxx 当当 0 0 0 0 0 xx xx xfxf 当 当 故 当 当 故 0 不是极值不是极值xf 0 2 00 2 0000 不是极值 或 不是极值 或 xfxfxx xx f xxxfxfxf 0 0 0 0 0 3 lim 0 00 00 3 0 0 0 0 3 0 0 0 不是极值 或 不是极值 或 xf xxxfxf xxxfxf xx xfxf xx xf xx xfxf xx 0 0 00 0 0 0 000 为拐点 凸 凹 即 为拐点 凸 凹 即 xfx xx xx xxfxf xxxxfxfxf 0 1 2 10 00 0 0 0 为拐点为奇数时当 为极值 为偶数时当 且若 一般结论 为拐点为奇数时当 为极值 为偶数时当 且若 一般结论 xfxn xfn xfnixf ni 例2例2 0 0 2 ln lnlnyxyx yx yxyyxx 证明不等式 证明不等式 证证 0 ln ttttf令令 1ln ttf则则 0 1 t tf 0 0 ln 是凹的或在 是凹的或在 yxxyyxtttf 2 2 1yx fyfxf 于是 于是 2 ln 2 lnln 2 1yxyx yyxx 即 即 2 ln lnln yx yxyyxx 即 即 方程有两个实根 又 时即当 方程有两个实根 又 时即当 0 lim 0 lim 0 1 0 1 axFaxF eaF xx 0 有几个实根讨论 有几个实根讨论 aaxe x 0 xaxexF x 令令 0 1 令令 xxx exxeexF aeFF xFxFx xFxFx x 1 1 1 0 1 0 1 1 即为最大值为极大值 单调递增 单调递减 即为最大值为极大值 单调递增 单调递减 方程无实根时即当 方程只有一个实根时即当 方程无实根时即当 方程只有一个实根时即当 1 1 0 1 0 1 k af aa k af f a k af afaf k af af L k af aaxf 中值定理得由 法二 构造函数 中值定理得由 法二 构造函数 0 1 k f af k af faf k af af 0 上有且仅有一个实根在上有且仅有一个实根在 k af aaxf 0 a k af akaf k af a k af af 0 上有且仅有一个实根在上有且仅有一个实根在 k af aaxf 1 1 2 1 110 1 xx x证明不等式设证明不等式设 上的最大值与最小值在求 令 上的最大值与最小值在求 令 1 0 1 xf xxxf 2 1 1 1 MxfmmM 1 1 0 2 1 2 1 2 1 1 1 11 fff xxxxf 1 1 2 1 1 xxei 例例5 证明证明 3 1ln 1 2 n nxxxxf 泰勒展开式 阶处的在点写出函数 泰勒展开式 阶处的在点写出函数 xxxf xxxxf ln2312ln2 ln2 3 1 2 1 3 1 1 1 0 1 1 nf fff nn 3 3 1 2 2 1 n x n xf n n n 3 5 2 1 2 x xf 2 4 1 2 2 x xf x xf 解解 3 1 2 1 3 2 1 2 3 1 ln 1 322 xR n n xxxxx n n xx n n xR n n n n 1 1 1 2 1 2 1 1 4 22 1 42 1 cos 4 42 4 42 2 2 x xx x xx ex x 的几阶无穷小 是时 当的几阶无穷小 是时 当xexx x 2 2 cos0 2 12 1 12 lim cos lim 4 44 0 4 0 2 2 x xx x ex xx x cos 2 2 的四阶无穷小是 的四阶无穷小是xex x 解解 1 1ln ln x xy 内单调递增证明 内单调递增证明 0 1 1 3 x x y 单调递增单调递增y xx yy 0 1 1 1 1ln 0 1 1 1 1 1 11 1 1 22 ggg x 单调递减单调递减 证明证明 2 1 1 1 1 4 eabba x ex abx 0 0 0 0 0 xFxFx xFxFx x 0 1 0 xFxFxF故故 x e x 1 1 即即 xexee ThLxxe xee xe xx x xx x 1 0 0 1 01 1 上用上或在将 即 要证 上用上或在将 即 要证 证法二 证法二 1 1 不好本题若令不好本题若令 x exF x ba ab a a b b eabafbf xfxfex ex x x xf x x xf lnln 0 0 ln1 ln 2 即 则 令 即 则 令 ba ab a a b b ba ab a a b b thLbaxf ex x x xf x x xf 即 得 上在将 则 令 证法一 证法二 证法一 证法二 0 0 0 2 1 0 为极值点由极值定义故 显然 为极值点由极值定义故 显然fexf x x 00 0 0 5 2 1 的极值点是函数试证 的极值点是函数试证 x xe xFx x 证法一 证法一 0 00 002 0 0 2 lim 2 1 lim 1 lim 0 lim 0 0 lim 0 3 1 1 0 3 1 2 0 1 0 1 00 2 22 2 2 为驻点 是极小点 为驻点 是极小点 x x x x exf x e x x e x e x x e x fxf f x x x x x x x x xx 证法二 证法二 1 6 2 2 2 2 求此切线方程角三角形面积为最小 轴所围的直问哪一条切线与两座标作切线 的第一象限部分上的点过椭圆 求此切线方程角三角形面积为最小 轴所围的直问哪一条切线与两座标作切线 的第一象限部分上的点过椭圆 b y a x 0 22 1 0 2 2 2 2 22 2 2 2 2 xX ya xb yY ya xb y b yy a x x b y a x ax 切线方程为 求导得两边对对 切线方程为 求导得两边对对 解解 x a xb ya xYY y b ya xb yYX 2 2 22 2 2 22 0 0 令 令 令 令 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 2 22 1 22 22 22 22 22 322 aX a b bY byxa a b yax xa xa TxaxT xax ba xy ba XYs 得代入 令 得代入 令 令令 7 7 x y o Q P 70 400 4000 2 压力 飞行员对座椅的到原点时 求俯冲千克飞行员体重 秒米处速度为点 在原俯冲飞行单位为米 飞机沿抛物线 压力 飞行员对座椅的到原点时 求俯冲千克飞行员体重 秒米处速度为点 在原俯冲飞行单位为米 飞机沿抛物线 vO x y 解解如图如图 受力分析受力分析 PQF 视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动 2 mv F O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径 00 2000 xx x y 0 2000 1 0 x y 得曲率为得曲率为 2000 1 0 x k 曲率半径为曲率半径为 2000 米米 2000 40070 2 F 4 571 5600千克牛千克牛 4 571 70千克力千克力千克力千克力 Q 5 641千克力 千克力 即即 飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641 5千克力千克力 的图形作函数的图形作函数 2 2 1 2 8 x x y 2 1 0 1 21 4 00 1 4 1 lim 2 2 lim 1 4 3 1 x x