高职高等数学 第二章 导数与微分第五节 微分的应用.pdf

沈阳工程学院 第五节 微分的应用 Application of Differential 教学目的 会利用微分作近似计算 内容 1 微分在近似计算中的应用 2 微分在误差估计中的应用 教学重点 计算函数的近似值 教学难点 计算函数的近似值 教具 多媒体课件 教学方法 启发式教学 教学过程 1 引入新课 有了函数的微分定义后 在实际问题中又如何来应用 2 教学内容 一 微分在近似计算中的应用 1 计算函数增量的近似值 0 00 很小时且处的导数在点若xxfxxfy 00 xxxx dyy 0 xxf 例 1例 1 扩音器杆头为圆柱形 截面半径0 15rcm 长度4lcm 为了提高它的 导电性能 要在这圆柱体的侧面上镀一层厚度为0 001cm的纯铜 问大约需要多 少克纯铜 已知铜的比重为 3 8 9 g cm 解解 设圆柱体体积为V 则 2 Vr l 所镀铜层体积即为圆柱体的增量V 由于 0 001rcm 比0 15rcm 小得多 于是 2 3 2 2 3 14 0 15 4 0 001 0 0037699 VdVr lrrl r cm 镀层用铜为0 0037699 8 90 033559W 沈阳工程学院 2 计算函数的近似值 0附近的近似值 在点求xxxf 00 xfxxfy 0 xxf 000 xxfxfxxf 很小时x 例例 2 0360cos的近似值计算 o 解 解 cos xxf 设 sin 为弧度xxxf 360 3 0 xx 2 3 3 2 1 3 ff 3603 cos 0360cos o 3603 sin 3 cos 3602 3 2 1 4924 0 常用近似公式常用近似公式 很小时x 1ln 5 1 4 tan 3 sin 2 1 11 1 xx xexxx xxxx n x x n 为弧度 为弧度 例例 3 计算 3 997 的近似值 解解 33 31000997 3 1000 3 1 1000 3 003 0 110 003 0 3 1 1 10 99 9 二 微分在误差估计中的应用 定义 定义 的绝对误差叫做那末它的近似值为如果某个量的精度值为aaAaA 的相对误差叫做的比值而绝对误差与a a aA a 问题问题 在实际工作中在实际工作中 绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得 办法办法 将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内 沈阳工程学院 的相对误差限叫做测量而绝对误差限 的叫做测量那末即过如果知道它的误差不超 A a AaA A AAA 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差 设量x是可以直接度量的 而 yf x 如果度量x时所产生的误差是x 由此就引出函数y的误差y 当x 时 有 yfxxfx 可用 fx 作为近似值的 最大绝对误差 用 fx f x 作为它的最大相对误差 例 4例 4 多次测量一根圆钢 测得其直径平均值为50Dmm 绝对误差的平均值为 0 04mm 试计算其截面面积 并估计其误差 解解圆的面积 2 4 D S 故截面面积为 2 2 501962 5 4 Smm 绝对误差 2 50 0 043 14 22 SDDmm 相对误差 2 2 0 042 0 16 50 4 DD S S D 课堂练习 计算下列函数的近似值 3 1 sin292 1010 o 小结 近似计算的基本公式 很小时