高等数学下96多元函数微分学的几何应用.pdf

一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程设空间曲线的方程 1 tz ty tx o z y x 1 式中的三个函数均可导 式中的三个函数均可导 M M M 6 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 Mt t 000 xyz 0 t 000 xx yy zz 0 tt 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程设空间曲线的方程 1 tz ty tx o z y x 1 式中的三个函数均可导 式中的三个函数均可导 M 000 Mxx yy zz M 000 M xyz 0 tt 0 ttt 0 xx x 割线的方程为割线的方程为MM 0 yy y 0 zz z 考察考察割线趋近于极限位置割线趋近于极限位置 切线切线的过程的过程 z zz y yy x xx 000 t t t 上式分母同除以上式分母同除以 t o z y x M M 割线的方程为割线的方程为MM 000 z zz y yy x xx MMt 当时 当时 T T 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 xyz ttt 0 000 ttt xt yt zt 切线的方向向量切线的方向向量 割线的方向向量割线的方向向量 割线的极限位置割线的极限位置 曲线在M处的曲线在M处的切线方程切线方程 0 0 xx t 切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量 T 过M点且与切线垂直的平面过M点且与切线垂直的平面 0 000000 zztyytxxt 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 000 tttT 0000 ttzyxM 对应于设对应于设 切向量切向量P38 法平面法平面 o z y x M M 0 0 yy t 0 0 zz t 000 ttt 法平面方程为 法平面方程为 设空间曲线的方程设空间曲线的方程 1 tz ty tx 切线的方向向量切线的方向向量 例1 求曲线例1 求曲线 t u uduex 0 cos tysin2 tcos t ez 3 1 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程 解解 当当0 t时 时 xyz x y z 0 x 0 y 0 z 切线方程切线方程 0 1 x 法平面方程法平面方程 0 2 3 1 2 zyx 0832 zyx即即 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx 0 000000 zztyytxxt xtytzt cos t et 2cossin tt 3 3 t e 1 2 3 1 2 y 2 3 z 0 12 曲线在M处的曲线在M处的切线方程切线方程 0 0 xx t 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 000 tttT o z y x M M 0 0 yy t 0 0 zz t 情形情形1 空间曲线方程为空间曲线方程为 yx zx x 设空间曲线的方程设空间曲线的方程 1 tz ty tx y x xz x T 00 1 xx 000 处在处在zyxM 切线的方向向量切线的方向向量 可视为参数方程可视为参数方程 情形情形1 空间曲线方程为空间曲线方程为 yx zx 000 处在处在zyxM 0 1 xx 00000 0 xxxyyxzz 法平面方程法平面方程 特殊地特殊地 切线方程切线方程 x zx x yx 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 xtytzt 0 0 yy x 0 0 zz x T 00 1 xx 切线的方向向量切线的方向向量 可视为参数方程可视为参数方程 情形情形1 空间曲线方程为空间曲线方程为 xz xy 000 处在处在zyxM 0 1 xx 特殊地特殊地 切线方程切线方程 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 xtytzt 0 0 yy x 0 0 zz x 情形情形2 空间曲线方程为空间曲线方程为 0 0 zyxG zyxF 视视x为自变量 方程组确定的隐函数为为自变量 方程组确定的隐函数为y y x z z x T 0 F dz z dx F dy y dx 0 G dz z dx G x G dy y dx 1 dy dz dx dx F x 情形情形2 空间曲线方程为空间曲线方程为 0 0 zyxG zyxF 视视x为自变量 方程组确定的隐函数为为自变量 方程组确定的隐函数为y y x z z x F x 0 F dz z dx F dy y dx 0 G dz z dx G x G dy y dx 1 dy dz T dx dx dy dx dz dx T 0J yz yz FF GG zx zx FF GG yz yz FF GG xy xy FF GG yz yz FF GG zx zx FF GG yz yz FF GG xy xy FF GG 1 情形情形2 空间曲线方程为空间曲线方程为 0 0 zyxG zyxF 视视x x为自变量 方程组确定的隐函数为为自变量 方程组确定的隐函数为y y x z z x 1 dy dz T dx dx dy dx dz dx T 0J yz yz FF GG zx zx FF GG yz yz FF GG xy xy FF GG yz yz FF GG zx zx FF GG yz yz FF GG xy xy FF GG 1 T yz yz FF GG zx zx FF GG xy xy FF GG 0J 1 A B C C T C A B 0J 情形情形2 空间曲线方程为空间曲线方程为 0 0 zyxG zyxF 切线方程切线方程 0 0 yz yz xx FF GG 法平面方程法平面方程 0 0 0 0 0 0 0 zz GG FF yy GG FF xx GG FF yx yx xz xz zy zy 视视x为自变量 方程组确定的隐函数为为自变量 方程组确定的隐函数为y y x z z x T GG FF GG FF GG FF dx dz dx dy T yx yx xz xz zy zy 000 1 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 0 0 zx zx yy FF GG 0 0 xy xy zz FF GG 例 2例 2 求曲线求曲线6 222 zyx 0 zyx在 点 在 点 1 2 1 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程 解法一解法一 直接利用情形 直接利用情形 2 的公式的公式 解法二解法二 推导公式 推导公式 dx dy dx dz zy xz 11 yz 11 zx zy yx 11 yx 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 x 求导并移项 得求导并移项 得 xz xy 0 0 zyxG zyxF dy dx 11 yz y dz dx dy dx z x dz dx 1 1 dy dz T dx dx 由此得切向量由此得切向量 T 所求所求切线方程切线方程为为 1 1 x 法法平面方程平面方程为为 0 1 2 0 1 zyx 0 zx 1 2 1 dy dx 1 2 1 dz dx 例 2例 2 求曲线求曲线6 222 zyx 0 zyx在 点 在 点 1 2 1 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程 dx dy dx dz zx yz xy yz 1 dy dz T dx dx 0 1 1 0 1 2 0 y 1 1 z 设曲面方程为设曲面方程为0 zyxF T 曲线在M处的切向量 曲线在M处的切向量 在曲面上在曲面上任取任取一条通过点M的曲线一条通过点M的曲线 tz ty tx 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 0 n T M Fttt 有有 连续连续 zyx FFF 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx xtytzt 000 ttt 000 M xyz 0 tt 设曲面方程为设曲面方程为 0 zyxF 在曲面上在曲面上任取任取一条通过点M 的曲线一条通过点M 的曲线 tz ty tx 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 000 x Fxyz 000 y Fxyz n T M 0 tttF 有有 连续连续 zyx FFF 即 有即 有 dt d 0 tt Fttt 000 z F xyz 0 t 0 t 0 t 0 0 000 xyz 000000000 xyz FxyzFxyzF xyz 则则 nT 000000000000 0 xyz FxyztFxyztFxyzt 设曲面方程为设曲面方程为 0 zyxF 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 000 tttT 曲线在曲线在M处的处的切向量为 切向量为 n 由于曲线是曲面上通过由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线 的任意一条曲线 它们在它们在M的切线都与同一向量的切线都与同一向量n 垂直垂直 M故曲面上通过故曲面上通过的一切曲线在点的一切曲线在点的切线都在的切线都在M 令令 同一平面同一平面上上 这个平面称为曲面在点这个平面称为曲面在点M的的切平面 切平面 切切平面方程为平面方程为 0000 x Fxyzxx 0000 y Fxyzyy 0000 0 z F xyzzz 000000000 xyz FxyzFxyzF xyz 则则 nT 设曲面方程为设曲面方程为 0 zyxF 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 000 tttT 曲线在曲线在M处的处的切向量为 切向量为 n 曲面上通过曲面上通过M的任意一条曲线 的任意一条曲线 在在 M 都与同一向量都与同一向量n 垂直垂直 M故曲面上通过故曲面上通过 的一切曲线在点的一切曲线在点 的切线都在的切线都在M 令令 同一平面上 同一平面上 此平面为曲面在点此平面为曲面在点M的的切平面切平面 切平面方程为切平面方程为 0000 x Fxyzxx 0000 y Fxyzyy 0000 0 z F xyzzz 的切线的切线 通过点通过点 000 zyxM 而垂直于切平面的直线而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的称为曲面在该点的法线法线 法线方程为法线方程为 0 000 x xx Fxyz 000000000 xyz FxyzFxyzF xyz 曲面在M处的法向量即曲面在M处的法向量即 法向量法向量 切平面方程为切平面方程为 0 0000 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的 n 设曲面方程为设曲面方程为 0 zyxF 通过点通过点 000 zyxM而垂直于切平面的直线而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的称为曲面在该点的法线法线 0 000 y yy Fxyz 0 000 z zz F xyz 法线方程为法线方程为 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 切平面方程为切平面方程为 0 0000 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 设曲面方程为设曲面方程为 0 zyxF 000000000 xyz FxyzFxyzF xyz 曲面在处的法向量即曲面在处的法向量即 n 特殊地特殊地 空间曲面方程形为 空间曲面方程形为 yxfz F x y z 令令 f x yz 曲面在M处的曲面在M处的法向量法向量为为 n 00 x fxy 00 y fxy1 曲面在曲面在M M处的处的切平面方程切平面方程为为 0 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 000 zyxM 法线方程为法线方程为 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 设曲面方程为设曲面方程为 0 zyxF 000000000 xyz FxyzFxyzF xyz 曲面在曲面在M M处的法向量即处的法向量即 n 特殊地特殊地 空间曲面方程形为 空间曲面方程形为 yxfz F x y z 令令 f x yz 曲面在曲面在M处的处的法向量法向量为为 n 00 x fxy 00 y fxy 1 曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为 0 00 x xx fxy 0 00 y yy fxy 0 1 zz 000 zyxM 0 zz 切平面上 点的竖坐 标的增量 切平面上 点的竖坐 标的增量 的全微分在点函数的全微分在点函数 00 yxyxfz yxfz 在在 00 yx的全微分 表示曲 面 的全微分 表示曲 面 yxfz 在点在点 000 zyx处的切平 面上的点的竖坐标的增量 处的切平 面上的点的竖坐标的增量 全微分的几何意义 全微分的几何意义 zf x y y y z x x z dz 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 曲面在处的曲面在处的切平面方程切平面方程为为 0 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 000 zyxM 000000 xy fxyxxfxyyy 0 zz x z y 0 yxfz P Q M N x y A B 000 zyxM 000 zzyyxxN z f x y z AN 曲面立标的增量曲面立标的增量 dz z 用切面立标的增量近似曲面立标的增量用切面立标的增量近似曲面立标的增量 切平面上 点的竖坐 标的增量 切平面上 点的竖坐 标的增量 000000 xy fxyxxfxyyy 0 zz 的全微分在点函数的全微分在点函数 00 yxyxfz y y z x x z dz 例 3例 3 求旋转抛物面求旋转抛物面1 22 yxz在点在点 4 1 2 处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程 解解 f x y 2 1 4 n 1 2 4 切平面方程为切平面方程为4 2 x 0624 zyx 法线方程为法线方程为 1 4 2 1 4 2 zyx 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 曲面在曲面在M处的处的法向量法向量为为 0000 1 xy nfxyfxy yxfz 2 1 4 2 2 1 xy 22 1 xy 2 1 y 4 z 0 r e r r cos cos cos 上式表明 以向量的方向余弦为坐标的向量 就是与同方向的单位向量 上式表明 以向量的方向余弦为坐标的向量 就是与同方向的单位向量 r r r e r z r y r x 2 方向角与方向余弦的坐标表示式方向角与方向余弦的坐标表示式 cos 222 zyx x cos 222 zyx y cos 222 zyx z x y z o M zyxOMr 设设 特殊地特殊地 空间曲面方程形为 空间曲面方程形为 yxfz zyxfzyxF 令令 曲面在曲面在M处的处的法向量法向量为为 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 cos cos cos 0000 1 xy nfxyfxy r e r r cos cos cos r z r y r x 22 1 x xy f ff 22 1 1 xy ff 22 1 y xy f ff 若若 即使得它与z轴的正向所成的角即使得它与z轴的正向所成的角 表示曲面的法向量的方向角 表示曲面的法向量的方向角 并假定法向量并假定法向量 的方向是向上的 的方向是向上的 是锐角 是锐角 则法向量的方向余弦为 则法向量的方向余弦为 若若 表示曲面的法向量的方向角 并假定法 向量的方向是向上的 即使得它与 表示曲面的法向量的方向角 并假定法 向量的方向是向上的 即使得它与 z 轴的正向所成 的角 轴的正向所成 的角 是锐角 则法向量的是锐角 则法向量的方向余弦方向余弦为为 1 cos 22 yx x ff f 1 cos 22 yx y ff f 1 1 cos 22 yx ff M n T n 曲面的法向量曲面的法向量 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 0 2 2 取正号取正号 取负号取负号 1 xy ff zyxfzyxF 例 4例 4 求曲面求曲面32 xyez z 在点在点 0 2 1 处的 切平面及法线方程 处的 切平面及法线方程 解解 F x y z 1 2 0 x F 1 2 0 y F 1 2 0 z F 令令 切平面方程切平面方程 法线方程法线方程 4 1 x 042 yx 0 0 1 2 2 1 zyx 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 000000000000 0 xyz FxyzxxFxyzyyF xyzzz 0 zyxF 1 2 0 2y 4 1 2 0 2x2 1 2 0 1 z e 0 23 z zexy 2 2 y 0 0 z 0 例 5例 5 求曲面求曲面2132 222 zyx平行于平面平行于平面 064 zyx的切平面方程的切平面方程 解解设为曲面上的切点 设为曲面上的切点 000 zyx 切平面方程为切平面方程为 00 2 xxx 依题意 切平面方程平行于已知平面 得依题意 切平面方程平行于已知平面 得 0 2 1 x 0 2x 曲面的法向量为曲面的法向量为n 000 2 4 6 xyz 0 6 6 z 0 4 4 y 00 4 yyy 00 6 zzz 0 0 y 0 z 000000000000 0 xyz FxyzxxFxyzyyF xyzzz 0 zyxF 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 例 5例 5 求曲面求曲面2132 222 zyx平行于平面平行于平面 064 zyx的切平面方程的切平面方程 解解设为曲面上的切点 设为曲面上的切点 000 zyx 切平面方程为切平面方程为 0 6 4 2 000000 zzzyyyxxx 依题意 切平面方程平行于已知平面 得依题意 切平面方程平行于已知平面 得 6 6 4 4 1 2 000 zyx 2 000 zyx 曲面的法向量为曲面的法向量为 6 4 2 000 zyxn 因为因为 000 zyx 0 x 所求切点为所求切点为 满足方程满足方程 2 2 1 2 2 1 222 000 2321xyz 1 是曲面上的切点 是曲面上的切点 因为是曲面上的切点 因为是曲面上的切点 000