高职高等数学 第三章 导数与微分的应用第三节 函数图像的描绘.pdf

沈阳工程学院 第二节 函数图像的描绘 Drawing of Graph of Function 教学目的 掌握函数曲线的凹凸性的判断 并能求出曲线的拐点 能描绘出函数的图像 内容 1 曲线的凹凸性与拐点 2 函数图像的描绘 教学重点 曲线凹凸的判定 曲线拐点的求法 教学难点 曲线拐点的求法 教具 多媒体课件 教学方法 启发式教学 教学过程 1 引入新课 本节将学习曲线的凹凸问题 2 教学内容 一 曲线的凹凸性与拐点 1 曲线凹凸的定义 问题 如何研究曲线的弯曲方向 图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方 定义 1 定义 1 12 1212 22 f xa ba bx x xxf xf x ff xa b 设在内连续 对内任意两点 1 如果恒有那末称在 内的图形是凹的 x y o xfy 1 x2 xx y o 1 x 2 x xfy 沈阳工程学院 1212 22 xxf xf x ff xa b 2 如果恒有那末称在 内的图形是凸的 定义 2定义 2 设函数 yf x 在某区间内连续 则曲线 yf x 在该区间内的凹凸分界 点 叫做该曲线的拐点 注意注意拐点是曲线上的点 拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示 即 00 M xf x 2 曲线凹凸的判定 定理 1定理 1 0 2 0 1 上的图形是凸的在则 上的图形是凹的在则 内若在内具有二阶导数在上连续在如果 baxfxf baxfxf bababaxf 说明说明 1 函数 yf x 在 0 x 处的二阶导数 0 fx 存在 且点 00 M xf x为曲线 yf x 的拐点 则 0 0fx 2 若 0 0fx 点 00 M xf x不一定是拐点 只有在 0 x 两侧的二阶导数变号时 点 00 M xf x方为曲线的拐点 3 若 yf x 在 0 x 处的二阶导数 0 fx 不存在 但在 0 x 两侧二阶导数变号 点 00 M xf x也为曲线 yf x 的拐点 例 1例 1 讨论曲线 32 691f xxxx 的凹凸区间与拐点 x y o xfy a b B A 递减 x f 0 y 递增 x f x y o xfy ab A B 0 y 沈阳工程学院 解解 定义域为 2 312 61262fxxxx fxxx 令 0fx 可得2x 列表如下 x 2 2 2 fx 0 f x凸拐点 2 3 凹 例 2例 2 求下列曲线的凹凸区间与拐点 2 1 1 1 y x 3 2 yaxb a b 为常数 4 31yx 解解 2 23 22 2 31 2 1 11 x x yy xx 令0y 得 1 3 x 列表如下 x 1 3 1 3 11 33 1 3 1 3 y 0 0 y 凹 拐点 13 43 凸 拐点 13 43 凹 52 33 12 2 39 yxbyxb 令0y 无实根 xb 为二阶导数不存在的点 且当xb 时 0y 当xb 时 0y 故曲线在 b 内是凸的 在 b 内是凹的 所以点 b a是曲线的拐点 32 341 121yxyx 令0y 得1x 无论1x 还是1x 都有0y 因此 1 0 不是曲线 沈阳工程学院 的拐点 在 内是凹的 二 函数图像的描绘 1 曲线的渐近线 定义 3定义 3 水平渐近线 一般地 对于给定函数 定义域是无限区间 如果 limlimlim xxx f xAf xAf xA 或 其中A为常数 则yA 是曲线 yf x 的一条水平渐近线 定义 4定义 4 垂直渐近线 如果有常数 0 x 使得 0 00 limlimlim xx xxxx f xf xf x 或 则 0 xx 是曲线 yf x 的一条垂直渐近线 例 3例 3 讨论曲线 1 1 y x 的渐近线 解解 因为 1 11 lim0 lim 11 xx xx 所以直线0y 为曲线 1 1 y x 的水平渐近线 直线1x 为曲线 1 1 y x 的垂直渐 近线 2 函数图像的描绘 1 确定函数的定义域 并讨论其对称性和周期性 2 讨论函数的单调性 极值点和极值 3 讨论曲线的凹凸性和拐点 4 确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线 5 根据需要由曲线的方程计算出一些特殊点的坐标 特别是曲线与坐标轴的交点 6 描图 例 4例 4 作出函数 3 32yxx 的图像 解解 1 定义域为 2 2 3311yxxxx 驻点为1 1xx 6yx 令0y 解出0 x 3 没有水平渐近线和垂直渐近线 4 曲线通过 1 0 0 2 1 4 再计算两个点 2 0 2 4 列表如下 x 1 1 1 0 0 0 11 1 沈阳工程学院 y 0 0 y 0 y 凸极大值 10y 凸拐点 0 2 凹极小值 14y 凹 根据这些点及表中函数的性态 作出其图像 图略 例 5例 5 描绘函数 2 x ye 的图像 解解 1 定义域为 该函数为偶函数 只要作出它在 0 内的图像即可 2 22 2 2 221 xx yxeyex 令0y 得驻点0 x 令0y 得 2 2 x 3 lim0 x y 所以0y 为函数图形的水平渐近线 列表如下 x 0 2 0 2 2 2 2 2 y 0 y 0 y 极大值 01f 凸拐点 1 2 2 2 e 凹 根据以上