高职高等数学 第九章 多元函数微分法及其应用第二节 偏导数.pdf

沈阳工程学院 第二节 偏导数第二节 偏导数 Partial Derivative 教学目的教学目的 理解偏导数的概念 了解二元函数偏导数的定义求法及几何意义 熟练掌握利用一 元函数微分法求偏导数 掌握二阶偏导数 混合偏导数的求法 课题课题 偏导数的概念 高阶偏导数 教学重点教学重点 多元函数的偏导数的求法 教学难点教学难点 求多元函数的偏导数 教学方法教学方法 精讲 偏导数的概念 多练 求偏导数 教学内容教学内容 一 偏导数的概念一 偏导数的概念 1 偏导数的定义 定义定义设函数 zf x y 在点 00 xy的某一邻域内有定义 当y固定在 0 y 而x在 0 x处有改变量x 时 相应地函数有改变量 0000 f xx yf xy 称其为函数z对x的 偏增量 记为 xz 如果极限 0000 00 limlim x xx zf xx yf xy xx 存在 则称此极限值为函数 zf x y 在点 00 xy处对x的偏导数 记为 0 0 x x yy z x 或 0 0 x x yy f x 0 0 xx x yy z 00 x fxy 类似地 当x固定在 0 x而y在 0 y处有改变量y 如果极限 0000 00 limlim y yx z f xyyf xy yy 存在 则称此极限为函数 zf x y 在点 00 xy处对y的偏导数 记为 0 0 x x yy z y 或 0 0 x x yy f y 或 0 0 yx x yy z 00 y fxy 如果函数 zf x y 在区域D内每一点 x y处对x的偏导数都存在 这个偏导数仍 是 x y的函数 称为函数 zf x y 对自变量x的偏导函数 简称偏导数 记为 z x 或 f x x z y fx y 对偏导数的记号 z x 和 z y 不能理解为z 与x 或y 的商 它与一元函数的导数 dy dx 可看 成是两个微分dy与dx之商是不同的 这是一个整体的记号 2 偏导数的求法 从偏导数的定义可以看出 偏导数的实质就是把一个自变量固定 而将二元函数 zf x y 看成是只有一个自变量的一元函数的导数 因此 求二元函数的偏导数不需引进 新的方法 只须用一元函数的微分法 把一个自变量视为常数 而对另一个自变量进行一元函 数的求导即可 例例 1 求函数 2 sin2zxy 在点1 8 处的两个偏导数 沈阳工程学院 解解把y看作常量 对x求导数得 1 8 2 sin2 2sin2 4 zz xy xx 把x看作常量 对y求导数得 2 1 8 2cos2 2cos2 4 zz xy yy 例例 2 求函数 y zx 的偏导数 解解把y看作常量 对x求导数得 1y x zyx 把x看作常量 对y求导数得 ln y y zxx 例例 3 求函数 22 ln 1 zxy 在点 1 2 处的偏导数 解解先求偏导数 2222 22 11 zxzy xxyyxy 所以 1 2 1 2 12 33 zz xy 二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上的函数 例例 4 在由 12 R R组成的一个并联电路中 若 12 RR 问改变哪一个电阻才能使总电 阻R的变化更大 解解因 12 R R并联 所以 12 111 RRR 即 12 12 R R R RR 而 22 21 22 112212 RRRR RRRRRR 因为 12 RR 所以 12 RR RR 因此 在并联电路中 改变电阻值较小的的电阻 2 R使总电阻R的变化更大 3 二元函数的几何意义 根据偏导数的定义 二元函数 zf x y 在点 00 xy处对x的偏导数 00 x fxy 就是 一 元 函 数 0 zf x y 在 0 x处 的 导 数 0 0 x x d f x y dx 由 导 数 的 几 何 意 义 可 知 0 0 x x d f x y dx 即 00 x fxy是曲线 0 zf x y yy 在点 00000 Mxyf xy处的切线对 Ox轴的斜率 即 0 000 tan xx x d fxyf x y dx 沈阳工程学院 同理 偏导数 00 y fxy是曲线 0 zf x y xx 在 0 M处的切线对Oy轴的斜率 即 0 000 tan yyy d fxyf xy dy 二 高阶偏导数二 高阶偏导数 若二元函数 zf x y 在区域D内的两个偏导数 zz xy 存在 则 zz xy 在D内仍是 x y的函数 如果这两个函数的偏导数存在 则称它们是函数 zf x y 的二阶偏导数 按对 变量的求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 分别表示为 22 2 22 2 xxxy yxyy zzzz fx yfx y xxxyxx y zzzz fx yfx y xyy xyyy 其中第二 第三两个偏导数称为混合偏导数 它们求偏导数的先后次序不同 前者先对x后对 y求导 后者是先对y后对x求求导 类似可以定义三阶 四阶 n阶偏导数 二阶及二阶 以上的偏导数都称为高阶偏导数 例例 5 设 323 23zx yxyy 求其二阶偏导数 解解 2232 32 49 zz x yyxxyy xy 22 2 2 22 2 2 6 34 34 418 zz xyxy xx y zz xyxy y xy 定理定理如果函数 zf x y 的两个二阶混合偏导数 22 zz x yy x 在区域D内连续 则 在区域D内有 22 zz x yy x 这个定理告诉我们 二阶混合偏导数在连续的情况下与求导次序无关 例例 6 设arctan y z x 求 222 22 zzz xx yy 解解 2 222222 1 1 11 y zyzxx x xxyyxy yy xx 沈阳工程学院 2 222222 222 22222 2 222222 2 2 zyxy xxxyxy zyyx x yyxyxy zxxy yyxyxy 例例 7 证明 2 sin ab t T x tebx 满足热传导方程 2 2 TT a tx 其中a为正常数 b为 任意常数 证明证明因为 222 2 22 2 sin cos sin ab tab tab t TTT ab ebxbebxb ebx txx 所以 2 2 2 2 sin ab t TT aab ebx xt 课堂练习课堂