2009年中考数学试题分类解析(十一)——综合应用.pdf

数学是人们对客观世界定性把握和定 量刻画 逐渐抽象概括 形成方法和理 论 并进行广泛应用的过程 中考数学试 题对综合应用能力的考查 体现了全 日制 义务教育 馓 学课程标准 的基本理念 可以有效地考查学生对义务教育第三学段 所学数学基本知识 基本技能 基本思想 方法 的理解及应用的水平 以及进一步学 习的潜质 本专题将结合 2 0 0 9年部分省 市中考数学压轴题的分析 对复习教学提 出建议 一 考试内容与考查要求 综合应用 是一类以问题为载体 融 合数学核心概念 思想方法于一体 突出 考查学生思维能力 呈现学生对所学知 识 技能和方法 对数学各部分内容之 间 数学与实际生活 数学与其他学科之 间联系的应用过程 中考设置综合应用性 试题 是考查应用意识与创新能力的重要 途径 中考数学压轴题 受题 目自身效度 难度的制约 一般情况下 主要依托 数 与代数 图形与几何 两个学习领域的 刘金英 天津市中小学教育教学研究室 内容 通过设置应用性 探究性 开放性 或者阅读理解性问题 来实现对学生综合 应用能力的考查 考查内容重点侧重于 以下方面 1 数与代数 领域 主要是数与式 方程与不等式 函数 中的核心概念 思想方法 重点关注 数 与代数 在研究数量关系和变化规律过程 中的作用 1 通过设置实际问题情境 强调对 方程 不等式 函数等核心概念的本质属 性的理解 以及它们之间的内在联系 2 重视应用意识 突出从 实际问 题 中抽象出 数学问题 的模型化思想 3 重视对 数与代数 规律和模式 的探求过程 2 图形与几何 领域 重点是对平面图形的形状 大小 位 置关系及其变换的认识 特别强调在图形 的运动变化过程中研究几何图形基本要素 及其关系的能力 1 借助于基本图形 三角形 四边 形和圆 考查学生对重要几何基本事实 表 1 2 0 0 9年部分省市 中考试卷中本专题内容的考查情况明细表 的理解与运用 2 注重学生经历观察 操作 推 理 想象等探索过程 3 考查 图形与变换 和 图形与 坐标 的有关内容 4 重视综合运用 合情推理 与 演绎推理 优化解题途径和方法的能力 3 代数与几何的综合 突出 数与代数 图形与几何 两 个学习领域知识内容的综合与应用 另外 学生能否恰当 综合地运用所 学知识 数学思想方法解决问题 并形成 合理的解题序列 层次清楚地进行表述 做到推理严谨 论证完整 条理分明 是 设置中考数学压轴题 考查学生数学素质 高低的一个重要指标 二 2 0 0 9年中考数学试题 中本专题 所考查的知识情况分析 综观 2 0 0 9年中考数学试卷 压轴题 采用的题型绝大多数是解答题 部分省市 采用了填空题与解答题组合的复合型题 考查的知识主要涉及方程 函数 图形与 坐标 图形与变换的综合应用等方面 分值所占总分 卷别 题号 题型 考查的主要知识点 考查的主要思想方法 比例 菱形 平行四边形 中心对称 三角形相似的判定和性质 三 北京卷 2 5 解答题 5 8 3 角形全等的条件和性质 平面直角坐标系 点的坐标 一次函数解 待定系数法 数形结合 析式 锐角三角函数 解直角三角形 转化 方程与函数思想 一 元一次不等式 因式分解 二次函数 用函数观点看一元二 数形结合 分情况讨论 天津卷 2 6 解答题 8 3 3 次方程 一元二次方程 的解 方程与函数思想 勾股定理 三角形相似的判定和性质 直角梯形 一元二次方 转化 数形结合 分情 河北卷 2 6 复合型试题 1 O O O 程 的解 函数关系式 况讨论 平面直角坐标系 点的坐标 一次函数 矩形 平移变换 用 数形结合 分情况讨论 山西卷 2 6 解答题 l 1 6 7 函数观点看二元 一 次方程组 三角形相似 的判定和性质 转化 方程与函数思想 平面直角坐标 系 点 的坐标 一次 函数 二次函数 二元一次 分情 况讨论 转 化 方 内蒙古 包头卷 2 6 解答题 1 0 0 0 方程组 一 元二次方程 平行四边形 三角形相似的性质 程与 函数思想 9 0 2 0 1 0 年 第1 2 期 中 国数学 教育 续表 分值所占总分 卷别 题号 题型 考查的主要知识点 考查的主要思想方法 比例 平面直角坐标系 点的坐标 锐角三角函数 解直角三角形 转化 数形结合 方程 辽宁 沈阳卷 2 6 解答题 9 3 3 等边三角形 轴对称变换 勾股定理 一次函数 二次函数 与函数思想 平面直角坐标系 点的坐标 等腰三角形 三角形相似的判定 转化 分情况讨论 数 江苏卷 2 8 解答题 8 0 0 和性质 勾股定理 一元二次方程 形结合 方程思想 平面直角坐标系 点的坐标 正比例函数 一次函数 二次函 配方法 待定系数法 安徽卷 2 3 解答题 9 3 3 数形结合 分情况讨论 转 数 不等式 化 方程与函数思想 平面直角坐标系 点的坐标 一次函数 反比例函数及其图象 数形结合 分情况讨论 福建 福州卷 2 2 解答题 9 3 3 特征 二次函数及其图象特征 轴对称变换 旋转变换 转化 江西卷 2 5 解答题 8 3 3 等腰梯形 等腰三角形 勾股定理 锐角三角函数 解直角三角形 类比 转化 分情况讨论 山东 东营卷 2 4 解答题 8 3 3 正方形 矩形 旋转变换 三角形全等的条件和性质 类比 转化 湖南 湘西 平面直角坐标系 点的坐标 一次函数 二次函数 二元一次 转化 数形结合 方程 自治州卷 2 5 解答题 1 6 6 7 方程组 一 元二 次方程 平移 三角形相似的判定和性质 与 函数思想 平面直角坐标系 点的坐标 二次函数 平行四边形 等腰三 分情况讨论 转化 方 湖北 黄冈卷 2 0 解答题 l 1 6 7 角形 一 元二次方程 三角形相似的判定和性质 勾股定理 程与函数思想 广东卷 2 2 解答题 7 5 0 正方形 梯形 三角形相似的判定和性质 二次函数最大值 配方法 方程与函数思想 等腰梯形 一元二次方程 正比例函数解析式 二次函数的解 配方法 转化 数形结 广西 南宁卷 2 6 解答题 8 I 3 3 析式及其图象 合 方程思想 平面直角坐标系 点的坐标 矩形 一次函数 二次函数 二 配方法 待定系数法 海南卷 2 4 解答题 l 1 8 2 转化 分情况讨论 数形结 元 一 次方程组 合 方程思想 平面直角坐标系 点的坐标 一次函数 二次函数 平移 锐 待定系数法 转化 分 四川 成都卷 2 8 解答题 8 0 HD 角三角函数 解直角三角形 勾股定理 二元一次方程组 一元二 情况讨论 数形结合 方程 次方程 不等式 思想 等边三角形 正方形 矩形 三角形外接圆 圆周角 勾股定 陕西卷 2 5 解答题 1 0 0 o 归纳 类 比 理 锐角三角函数 解直角三角形 等腰三角形 勾股定理 三角形全等的条件及性质 平面直角 甘肃 庆阳卷 2 9 复合型试题 8 0 0 坐标系 点的坐标 一次函数 二次函数 点在函数图象上的意 配方法 待定系数法 义 二元一次方程组 图形的旋转 数形结合 方程思想 平面直角坐标系 点的坐标 一次函数 二次函数 矩形 三 青海卷 2 8 解答题 9 1 7 转化 数形结合 方程思想 角形相似的判定和性质 三角形全等的判定和性质 平面直角坐标系 点的坐标 二次函数 二元一次方程组 矩 待定系数法 转化 数 薪 疆 乌鲁木齐卷 2 3 解答题 9 3 3 形 角平分线 三角形全等的判定和性质 轴对称 形结合 方程与函数思想 综上 例举了 2 1 个省 自治区 直 辖市 其 中 东部地区 9个 中部地 区 5个 西部地区7个 的中考数学试卷中 的压轴题进行分析 一般地 压轴题所投 入的分值比例约为该省 自治区 直辖市 试卷总分的 9 4 7 同时 综观 2 0 0 9年各省市中考数学 压轴题 在试题的设计上 突出体现了以 下 2点 1 从试题所运用的知识类型来看 主要分为4类 1 以建立函数模型为主的代数综合 性问题 如广东省茂名市的探究是否存在 美丽抛物线 的问题 2 以研究几何图形为主的几何综合 性问题 如江西省的探究等腰梯形内 点 的存在性 问题 3 以有关知识为工具 解决实际问 题 的综合性 问题 如安徽省 广西省南宁 市的压轴题 均是以方程和函数为工具 解决实际问题 4 代数与几何有机结合的综合性问 题 这类题 目 在 2 0 0 9年各省市中考压 轴题中 比比皆是 这是由中考压轴题本 身的功能定位所决定的 如广东省 以函 数为工具解决几何问题 湖南省湘西自治 州 借助图形的平移 对称 解决二次函 数的问题 福建省福州市 以几何图形的 旋转为背景 讨论函数问题 2 从试题的呈现方式来看 以运动 型问题居多 1 设置动点 通过 点的运动对图形 产生的影响 探求有关图形问题 最值问 题 存在性问题等 如江苏省的压轴题 设置了射线上的动点 湖北省黄冈市的压 轴题 依托抛物线上的特征点 设置了线 段上的动点 广东省 甘肃省兰州市的压 轴题 均设置了正方形边上的动点 吉林 省 黑龙江省哈尔滨市的压轴题 均设置 中国 数学 教育 2 0 1 0 年 第1 2 期 91 了与菱形有关的动点 2 设置图形的平移 翻折与旋转 在图形的运动变化过程中 寻求规律 如 山东省东营市的压轴题 设置了三角形绕 正方形的一个顶点旋转的问题 山西省 海南省的压轴题 在平面直角坐标系中 均设置了平移矩形的问题 三 亮点扫描 2 0 0 9年各省市中考数学压轴题 在 试题的综合性 应用性 探究性 思想 性 人文性 新颖性等方面具有鲜明的特 色 在综合应用数学知识的考查上 突出 体现了 以能力立意 以 数与代数 图形与几何 学习领域中的核心概念 思想方法为依托 通过对数学问题的探 究 解决实际问题 通过对研究数学问题 基本思路的梳理 考查分析问题 解决问 题的一般策略 同时 试题设计的人性化 处理 为学生数学水平的发挥提供了机会 一 基于对数 学问题的探究 解决 实际问题 数学来源于生活 又为解决现实生活 中的实际问题服务 2 0 0 9年中考数学部分 压轴题的设计 为体现数学学习与现实生 活的联系 将数学问题探究过程中获得的 方法应用于解决实际问题之中 例 1 陕西卷 如图 1 D C D C A B A B 1 2 图 1 问题探究 1 试在 图 1 1 的正方形 AB C D 内 作出使 A P B 9 0 的一个点 P 并说明 理由 2 试 在 图 1 2 的正 方形 AB C D 内 含边 作 出使 Z A P B 6 0 的所有 的 点 P 并说 明理由 问题解决 3 如图2 现有一块矩形钢板A B C D A B 4 B C 3 工人师傅想用它裁出两 块全等 面积最大的AA P B和AC P D钢 板 且A A P B C UD 6 0 请你在图2 中画出符合要求的点 P和点 P r 并求 出 aAP B的面积 结果保 留根 号 9 2 图 2 答案 1 如图3 所示 正方形A B C D 的对角线 AC B D的交点P为所求 D C 图 3 2 如图 4所示 先作以A B为一边 的等边AA B P的外接圆6 3 0 分别与A D B C交于点 E F 则 上的所有点均为 所求的点 尸 D C 图 4 3 如图5所示 同 2 得 与 AC交 于点 P 在 AC上截取 A P C P 则点 P P 为 所求 AA P B的面 积 为 9 6 2 4 丁 图 5 评析 此题将尺规作图与裁剪钢板 的实际问题联系起来 第 1 2 问的 问题探究 要求画出正方形 内满足条 件的 一个点 和 所有的点 一方面 体现 了从 特 殊 到 一般 的探 究问题 的基本策略 另一方面 将第 2 问中所 获得的方法 迁移到第 3 问的 问题解 决 之中 可以顺利地完成从 一般 到 特殊 的应用数学知识解决实际问题的 过程 有效地考查了学生应用数学的意 识 以及合理利用所学知识建立数学模 型 解决实际问题的能力 这样 命题者以独到的视角 将数学 问题的解决方案应用于解决实际问题之 2 0 1 0年第 1 2期 中国数 学教 育 中 同时 将实际问题赋予了数学模型 使数学问题与实际问题成功 对接 二 基 于对教 材研 究问题思路 的分 析 使评价成为教学的一种延续 馓 学课程标准 中明确指出 有效 的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记 忆 动手实践 自主探索与合作交流是学 生学习的重要方式 教学的要求是这样 评价也应如此 基于这样的认识 2 0 0 9 年 中考数学试题 在压轴题目的设计上 部 分省市从教材出发 采用方案设计 动手 操作 设置情境等方式 关注了学生分析 问题 解决问题的过程 例 2 广 东 佛 山卷 一般地 学 习 几何要从作图开始 再观察图形 根据图 形的某一类共同特征对图形进行分类 即 给一 类 图形下定 义 定 义概念便 于归 类 交流与表达 然后继续研究图形的 其他特征 判定方法以及图形的组合 图 形之间的关系 图形的计算等问题 教材 中对四边形的研究即遵循着这样的思路 当然 在学习几何的不同阶段 可能 研究的是几何的部分问题 例如有下面的 问题 已知 四边形 A B C D中 A B D C 且 AC B DBC 1 借助网格画出四边形 A B C D所有 可能 的形状 图 6 2 简要说明在什么情况下四边形具 有所画的形状 答案 1 如 图 7 四边形 所有可能 的形状有三类 图 7 1 中的矩形 图 7 2 中的等腰 梯形 图 7 3 或图7 4 中的四边形 3 4 图 7 2 略 评析 此题遵循 教材中对四边形 的研究 思路 以开放的形式 考查了学 生对四边形相关概念的理解及分类 事实 上 这里存在一个合理分类的问题 如果 从 A B C出发 当 A B C是直角 时 如 图7 1 得到矩形 A B C D 当 A B C是锐 角时 如图7 2 或图7 4 得到等腰梯 形 A B C D 或 四边 形 AB C D I 当 A B C是 钝角时 如图7 3 得到等腰梯形A B C D 或 四边形 A B C D 这样的设计 新颖独特 反映了命题 者对几何问题研究本质的把握 观点较 高 并试 图以评价的方式 将学生在日常 学习中所积累的学习几何问题的经验 以 分析具有两个限定条件的 四边形所有可 能的形状 为载体 以 尺规作图 的形 式予以表达 在某种程度上体现了 评价 应作为课堂教学的一种延续 的命题思路 三 基 于对数 学核 心概念 思想方 法的把握 呈现数学的教 育价值 中考作为一种社会文化现象 必然要 从属和服务于社会意识形态和特定的文化 结构 必须要承载社会赋予其特定的功 能 因此 在试题设计过程中 如何从受 试者的心理承受能力出发 既考查他们对 数学核心概念 思想方法的理解及运用的 水平 又在这一过程中 使他们感受到数 学的魅力 体会到应用数学的价值 这也 是设计中考数学压轴题时 必须思考的问 题 2 0 0 9 年部分省市的压轴题 做了许多 有益的尝试 例 3 甘肃 庆阳卷 如图 8 在平 面直角坐标系中 将一块腰长为 的 等腰直角三角板 A B C放在第二象限 且 斜靠在两坐标轴上 直角顶点 c的坐标 为 一 1 0 点 B在抛物线 Y 一 o x一2 上 1 点 A的坐标为 点 曰的 坐标为 2 抛物线的关系式为 3 设 2 中抛 物线 的 顶点 为 D 求 DC B的面积 4 将三角板 A B C绕顶点 逆时针 方向旋转 9 0 到达 A 曰 C 的位置 试判 断点 B C 是否在 2 中的抛物线上 并 说 明理 由 D 图 8 答案 1 A 0 2 曰 一 3 1 2 y 1 2 1 2 3 加 c 的 面 积 为 孚 4 如 图 9 存 在 满 足 条 件 的 点 B 1 一 1 C 2 1 t 刀 D 图 9 评析 此题以二次函数为载体 设 置了三角板旋转的情景 主要考查了一次 函数 二次函数 二元一次方程组 等腰 三角形 勾股定理 三角形全等等核心概 念 考查了配方法 待定系数法 方程思 想 函数思想 转化思想 数形结合思想 等 试题的呈现自然 简捷 和谐 可以 很好地考查学生综合运用知识解决问题的 能力 另外 整个试题的设计 一方面 由 浅入深 逐层递进 特别是前两问以填空 题的形式出现 使得问题的难度得到有效 的控制 也对求解过程具有提示作用 体 现了命题者对答题者的关爱 另一方面 题 目本身所展示的解决问题的思维程序 不仅考虑 了学生的认知水平和认知规律 而且也从数学学科的角度 渗透 了分析问 题 解决问题的基本策略 以及重要的思 想方法 具有较好的数学教育价值 四 2 0 1 0年中考展望及复 习建议 一 2 0 1 0年 中考展望 综合对 2 0 0 9年各省市中考数学压轴 题的分析 笔者以为 2 0 1 0年 的中考 对于压轴题的设计 会考虑下列相关因素 1 以运动型问题的形式呈现 运动型问题 可以很好地承载相关知 识内容的对应关系和变化规律 在 变 与 不变 中 把握 数量关系 与 位 置关系 例如 依附于函数图象上的动 点或依附于几何基本图形上的动点问题 又如 通过基本几何图形的平移变换 轴 对称变换 旋转变换 寻求其中的数量特 征和不变的关系 等等 都会作为很好的 备用素材 2 突出对数学核心概念 思想方法 的考查 中学数学核心概念 思想方法是数学 知识的精髓 也势必会成为考查综合运用 能力的重要载体 这包括方程 不等式 函数以及基本几何图形的性质 图形的变 化 图形与坐标知识之间横 纵向的联 系 也包括中学数学中常用的重要的数学 思想 如函数与方程思想 数形结合思 想 分类讨论思想和化归与转化的思想 而数学基本方法是数学思想的具体体现 具有模式化和可操作性 中学数学中常用 的基本方法有配方法 换元法 待定系数 法 归纳法和割补法 3 强调数学素养 考查进一步学习 的潜质 作为中考数学压轴题 一定是以能力 立意 无论其呈现方式如何 以什么样的 知识作为载体 都是以考查学生的思维品 质为出发点和归宿 同时 考虑学生升入 高中学习所必备的数学知识和素养 如建 立数学模型的思想方法 展示思维过程 的解题策略 对含有参数的问题的探究 等等 二 复 习建议 1 立足核心概念 把握数学问题本质 数学核心概念 是中学数学知识结构 中的 联结点 也是可以 生成 其他 数学知识的基础 立足数学核心概念 把 握数学问题的本质 是理解数学知识 解 决数学问题的关键 例 1 广东 茂名卷 如图 1 0 已 一 1 知 直 线z Y 了 1 b 经过 点M 0 1 J 一 组抛物线的顶点 B 1 Y 曰 2 3 弘 B n n为正 整数 依次是直线 2 上的点 这组抛物线与 轴正 半轴的交点依次是 0 A 0 A 3 3 0 A l l 0 n为正整 数 设 l d 0 d 1 中国 数学教育 2 0 1 0 年 第1 2 期 9 3 B 朋 一 B 一 0 AI 1 A 2 2 A 3 3 A4 A n A l 图 l 0 1 求 b的值 2 求经过点A B A 的抛物线的 解析式 用含 d的代数式表示 3 定义 若抛物线的顶点与 轴的 两个交点构成的三角形是直角三角形 则 这种抛物线就称为 美丽抛物线 探究 当d 0 d1 C E 1 则 的值为 用含 m n的式子表示 N C 图 1 2 说明 此题以折叠正方形或矩形纸 片 A B C D设置 问题情境 根据 C E 的值 的不同 折叠后点 B落在边 C D上的位置 就不同 也就动态地生成了 一系列 几 何图形 而这 一系列 几何图形之间存 在着一定的联系 第 1 问 面 C E 1 即点 为边c D 的中点 由折叠过程 中的 不变量 借 助勾股定理 建立关 系式 分 别求得 A B N的长 就可以得到 AM 删 5 1 第 2 问 折叠后点 B的落点发生 了变 化 点 E变为边 C D的三等分点 四等 分 点 n等分 点 可 以完全 类 比 第 1 问的解题思路 得到面AM 第 3 问 条件继续弱化 将 正方形纸 片 变为 矩形纸片 根据解决 前两 问 时所获得的解题经验 用类似的方 法 可得 A M 可见 从第 1 问点的 特殊 到 第 2 问点的 一般 再到第 3 问 正 方形纸片 变为 矩形纸片 题 目进行 了两次 一般化 的处理 体现 了 特 殊一一般 的探究数学问题的思想方法 这样层层递进 逐层深入 在有效地 运用化归 转化等数学思想方法的同时 呈现了解决这类问题的探究过程 这对于 日常教学 具有很好的借鉴价值 例 3 河北卷 如图 1 3 在 R t A C B 中 C 9 0 AC 3 A B 5 点 P从 点 C出发沿 c A以 1个单位长度每秒 的 速度向点 A匀速运动 到达点 A后立刻 以原来的速度沿 AC返回 点 q从点 出发沿 AB以 1个单位长度每秒的速度 向点 B匀速运动 伴随着点 P Q的运 动 D E保持垂直平分 且交 于点 D 交折线 Q B B C C P于点 E 点P q同 时出发 当点 q到达点 时停止运动 点 P也 随之停止 设点 P p运动 的时 间是 t 秒 t 0 B A P C 图 1 3 1 当 t 2时 AP 点 q 到AC的距离是 2 在点 P从点 C向点 A运动 的过 程中 求 A P p的面积 S 与 t 的函数关系 式 不必写 出t 的取值 范围 3 在点 E从点 曰向点 C运动 的过 程中 四边形 Q s E o能否成为直角梯形 若能 求 t 的值 若不能 试说明理由 4 当D E经过点 c时 试直接写出 t 的值 说 明 此题以直角三角形斜边 A B 上的点 q和一条直角边AC上的点P为动 点 以 D E保持垂直平分 作为动点 运动过程中的 不变量 创设情境 主 要考查学生在新的问题情景中 综合运用 所学知识和方法分析和解决问题的能力 第 1 问 求 t 2 时 P的值 可以有效地考查学生对此题所设置的问题 情境的理解 求 点 p到 AC的距离 为第 2 问得出 A尸 9的面积 打下基 础 不难得 出 A P 1 点 Q到AC的距 离为 设计 起点 较低 第 2 问 求 4 册 的面积S与时间t 的函数关系 式 实际上是寻求运动过程中 变量之 间的关系 可以利用勾股定理 三角形 相似的判定与性质等 得到 S 一 t 0 f 同时 在求解过程中 借助三角形相 似建立线段比例式的方法 对题 目后续问 题的解决提供了思路上的引导 第 3 问 探 究 四边形 Q B E D能否成 为直角梯 形 第 4 问 探究 D E经过点 C时 t 的 值 都是研究运动过程 中 特定位置 时的情况 可以完全类比第 2 问的思路 得 出 当 或 f 时 四边形 b 6 O B E O可以成为直角梯形 当 t 或 Z t 时 胞经过 点 C 后两 问的解 l 斗 决 一方面 需要对问题 中 动点 的变 化规律具有非常清晰的理解 另一方面 还应具备对所学的数学基本概念 性质定 理进行重新组合 合理运用的能力 题 目 设计的 落点 并不低 另外 此题从第 1 问的 静态 到 第 2 问的 动态 再到第 3 4 问的 满足某种条件的 特殊位置 呈现 了 特殊一一般一特殊 的思想方法 也是 研究数学问题的一种重要的思维模式 这 样的设计 对 日常教学具有一定 的示范 作用 复习建议 数学思想和方法是对数学 知识在更高层次的要求 强化数学思想方 法的教学 是培养学生潜能的有效途径 义务教育学段的数学思想方法 按照不同 的特点 可以划分为三类 即常用的逻辑 方法 解决数学问题的具体方法 常用的 数学思想 常用的逻辑方法 主要包括分析法与 综合法 归纳法与演绎法 类比法 解决 数学问题的具体方法 主要包括数形结合 法 待定系数法 配方法 换元法 常用 的数学思想 主要包括化归思想 特殊与 一 般的思想 分类讨论思想 函数与方程 的思想 整体化思想 符号化思想 模型 化思想 统计与概率的思想 建议教学中 应以一定的数学知识内 容为载体 有意识地梳理和归纳问题中的 思想性 和 规律性 重视渗透和揭示 其中的数学思想方法 在对典型例题分析 的过程 中 注重解题思路 将分析与综 合 归纳与演绎 直觉猜想与逻辑推理有 机结合 使学生经历观察 实践 猜想 推理 论证的探究过程 体会数学思想方 法在解决数学问题中的重要作用 3 关注学生发展 提升数学思维品质 义务教育阶段的数学课程 其基本出 发点是促进学生全面 持续 和谐地发 展 因此 数学试题的设计 不仅要考虑 中 国数学 教育 2 o l o 年 第1 2 期 j 9 5 鹾 数学 自身的特点 还应遵循学生学习数学 的认知规律 使学生在获得对数学知识理 解的同时 在思维能力 情感态度与价值 观等多方面得到进步和发展 例 4 天津卷 已知函数Y Y 6 C O d 为方程 Y l Y 2 0的两个 根 点 M t 在函数 Y 2 的图象上 1 若 丁 1 卢 1 求函数 y 2 的 j 二 解析式 2 在 1 的条件下 若函数 Y 与 的图象的两个交点为A 当AA B M的 面积为 时 求 t 的值 l 一 3 若 0 O L 口 1 当 0 t 1时 试确定 T O t JB 三者之 间的大小关系 并说明理由 说明 此题以函数为主线 将方程 不等式 函数知识有机结合 主要考查了 方程与函数思想 数形结合 思想 分 情况 讨论思想 以及综合运用所学知识分析问 题 解决问题的能力 第 1 问 求函数的解析式 需要利 用方程的解的意义 二元一次方程组的 解法 突出了函数与方程之间的联系 第 2 问 是在第 1 问中的函数 的图 象上寻 求满足 题设条 件 的点 可借助 于 图象特征 结合一元二次方程的解法 数 形结合地求得 的值为 5 三 1二 1 二 5 x 这实际上也是对第 3 问的提 l 示 即当O t 口 t 均为变量时 需要对 t 与O t 的大小关系进行讨论 第 3 问 要确定 T O l 口三者之间的大小关系 最 直接的想法 就是先将三者表示出来 再 判断T O t T一 符号的正负 由于 自变 量O L 卢对应的函数值仍为 O l 于是 就可以通过对 t 与 口的大小关系的讨 论 得到 T O t 口三者之间的大小关系 这对学生的思维能力提出了更高的要求 复习建议 建议教学中 以思维能力 为核心 以综合运用所学知识分析问题和 解决问题的能力为重点 不断提高综合运 用数学知识解决问题的能力 需要注意的是 思维能力的提高 必 须建立在一定的较为扎实的基础知识之 上 日常教学中 仍然要强调对基础知识 的落实 不能因为中考要求对综合能力的 考查 就盲 目地做大规模的综合题训练 还是应该把重点放在对基本概念的理解以 及对基本数学技能的把握方面 在常规例 题或习题训练的基础上 从学生实际出 发 选取适当的内容 引导学生进一步发 现 思考和探究 学会分析问题 解决问 题的方法 以促进学生全面 持续 和谐 地发展 另外 建议在教学中 加强数学内部 知识之间的联系 关注相关内容的开放性 和多元性 使学生经历实验 探索的过 程 体验如何应用数学思想分析和解决问 题的方法 使他们经历 观察 实验 比 较 归纳 猜想 推理 反思 等理性思 维活动的基本过程 优化思维品质 提高 数学能力 以促进学生的发展 总之 针对学生综合应用能力的教