横看成岭侧成峰——对一道平面向量试题的多视角探究及拓展.pdf

1 问题提 出 J 一 一 蒜嚣 霉 横看成岭 侧成峄 曲文瑞 李学军 浙江省平湖中学 题 目 若等边AAB C的边长为 2 3 平 面内一点 M满足 痢 一 去蔬 则j 廊 一 0 0 这是 2 0 0 9年高考数学天津卷文科 的第 1 5题 也 是 本校 最 近说 题 比赛 的 一 道 题 目 为 了更 好 地 完成 比赛 笔者作为参赛者对其进行 了深入研究 并在课 堂上 与学 生一 起 进 行 了探 究 现 将 笔 者 的 说 题 过 程 教 学过程 以及反 思 和感 悟与 大家 一起 交 流 探讨 考 点 分 析 此 题 以 向 量 在 三 角 形 中 的应 用 为 载 体 考查平 面 向量 的基 本 内容 平 面 向量基 本 定 理 坐 标运算 数量积 平 面向量 的平行 四边形法则等 考 查了学生对这些知识的综合运用能力 分析问题和解 决问题的能力 以及对试题提供的信息进行整合并加 以转 化 的能力 体 现 了 向量 在三 角 形 中的几 何 运用 以 及向量的代数化手段的重要性 体现 了 化归与转化 数形结合 等思想方法 仔细品味此题 笔者认为此 题无论是从试题难度 试题背景 命题立意 还是对数 学思维能力的考查等 都很到位 可谓简约而不简单 横看成岭侧成峰 很有研究价值 2 多角度探究 视 角 1 回路 法 即转化 为基 向量 如 图 1 十一 一 4 4 u 4 一 卜一 卜一 卜 一 一 一 解 题研 究 过程 适度的解题是通向数学学习 自由王国的第一步 只有通过适度 的训练 才能熟悉数学知识点 进而通过 系 统的归纳总结 形成初 步 的解 题经验 通过 举一反 三 变 式训练 才能触类旁通 通过由此及彼 前瞻后仰 才能积 累足够的题 型 构建题型意识 形成解题模式 2 数学思想与方法是解题的关键与线索 从上 述解 题过 程不 难发 现 求 解 问题 1用 到 了配 凑法 主 元法 求导 法 以及 函数 的思 想 与方 法 数学 思 想与 方法 起 到 了解 题 突破 口的作 用 同时通 过 不 断地 寻找新的解题方法 促使解题一步步简化 解题思维 通向柳暗花明 豁然开朗之境 3 理论引领使解题通 向自由王 国 解题离不开理论 的引领 罗增儒先生 的解题理 论的四步骤程式 以及许 多现代解题理论 的滋养 才 使 笔者 在多 年 的教学 实践 中 逐 步从 积 累模 式 达 到现 在的突破模式 体验到了数学教与学的极大乐趣 令 f b 一口 a n 一6 易知 厂 6 一 n D a2 2 a b 其 等 价 于 厂 z 一 器 o z 口 令 z o 易得 a 2 2 n z 0 勿何x E i a Jz n 令 厂 z 0 得 O x 2 所 以 厂 z 在 o 号 上 为 减 函 数 在 号 上 为 增 函 数 所 以 厂 z 一 号 一 n 一 a 2 于是问题 1化为当 6 一 时符合题意 n 乜D 的最小值为a 而n 专的最小值是4 以 n 一0 n n 取得最小值的条件为6 一詈一 符合题意 上述解题过程 对我们有什么启示 呢 1 数 学学 习者 以及数 学教 育 者 须 绎 历适 度的 j 0 寥 警 墨 警 0 w n s t 2 Q 4 蝴8 龋 评 注 这 种 方法 很 容易 人手 因 为是 等边 三角 形 所 有边 长 和角度 都是 已知 的 因此 只要 根据 平 面 向量 基本定理把所求向量用 已知 向量表示 出来即可 而 且 C 是 用 C 后 C A表 示 的 所 以 很 自然 地 想 到 选 C 百 C 为基底 表示 平 面 向量 基本 定 理 为平 面 向 量 间 的运算 与变 换 提 供 保 障 更 为 向量 运 算 数 量 化 代数化提供理论依据 运用平 面向量基本定理 的关 键 是选 取恰 当 的 基底 当直接 运用 数 量积 公 式很 难 求解甚至不能求解时 先用 回路法 进行 向量间适当 的变形 也许 可 以快速 获解 视 角 2 坐标 法 如 图 2建 立直角坐标系 依题意 各点坐标 为 C O 0 A 2 o B 3 因 为 一 吉 魂 詈 一 2 即 M 丢 所 以 一 譬 一 旆 一 一 5 所以 疏 一 一 2 评 注 坐标 法 是解决 平 面 向量 问题 中常 用 的一 种 方法 而且所 给三 角形 是等边 三 角形 建 立 坐标 系 比 较 容易 想到 数量 积 的坐标 运算 学 生也 更易 于 接受 和 理解 同时也 为后 面解 析几 何 的学 习奠定 了基础 视 角 3 几 何 法 如 图 3 延 长 AM 交 B C 于 点 D 过 M 作 P M AC交 B C于 P 过 M 作 MQ BC 交 AC 于 Q 一 商 一砷 O 测c P Q M 一 吉 c B 又 一 AQ 一 1 所 以 C D 1 BC 即 AD BC 要 所以M D A三点共线 所以 疏一 I 1 I 旆l c o s A MB 一 l A Ml l MD I 一一2 评 注 此 法 根 据 A P B 共 线 则 一 4 菌 且 一1 由已知L 一百 1 十 2 转化 为 一 茄 得出M D A三点共线 再利 用 数量 积 的几 何 意义 很 容 易得 出答 案 但 是 此法 对 学生的思维要求较高 要求学生对平面向量基本定理 的理解非常到位才行 而且要求有较高的转化与化归 能 力才 可 以入手 3 变式探究 变式 1 若等边 AB C的边 长为 2 5 平 面内一 点 M 满 足 商一 丢 蔬 萌 则s s 舢 一 变式 2 若等边AAB C的边 长为 2 3 平面 内一 点 M 满 足 一 商 詈 则s s 一 评 注 这 两 个 变 式 是 条件 没 变 改 变 了 结 论 因 为在平 面 向量 中 求 三 角 形 面积 之 比这 类 题 目很 常 见 于 是笔者 又进 行 了如下 变式 变式 3 AABC内一点 M 满足痂一 商 贝 0 s S 一 评 注 这 个 变式是 条件 中的等 边三 角形 改 为 了一 般的三角形 而且 这个三角形 的边 长和角 度都不知 道 可是所求结论仍然没有改变 因此我们可 以把这 个结论 进行 推广 结论 1 若 M 是 AB C内一点 S s s分别表 AAMC AA MB AAB C 的面 积 则 一 3 1 考 题链 接 1 2 0 1 3年 高 考 数 学 天 津 卷 在 平 行 四 边 形 AB C D中 AD一 1 B AD一 6 0 E 为 C D 的 中 点 若 蔬 一1 则 AB的长为 2 2 0 1 2年 江 苏泰 兴模拟 试 题 已知 0是 锐 角 三 角形 AB C 的外 接 圆的 圆心 且 A 若 Ill L 一 2 则 m一 5 1 I I J A s i n 0 B C O S 0 C t a n 0 D 不 确定 3 2竞 赛链 接 2 0 0 4年 全 国数 学联 赛 设 点 O 在 AB C 的 内 部 且有 2 3 一 0 则 AABC 的 面 积 与 A0 C 的面积 比为 A 2 B 昔 c 3 D 厶 0 解析 因为 2 3 一0 所以 一 由上面结论得 S A B S A 一 3 1 由赛题进一步推广得 出以下结论 结论 2 设 0 为 AB C 内 任 意 一 点 O BC AO AC AO AB 的面积 分别 为 s 5 s 则 s s s 一0 反 之 若 s s s O 则 S c S c S A B S l S 2 S 3 4 归纳总结 说题 比赛时 笔者说 了这 四种方法 全部属于解 决 平面 向量 问题 中常用 的方 法 属 通性 通 法 在课 堂 上 笔者 让学 生 自己独立完 成 时 这 四种 方 法也 都 有 学 生 选用 笔 者也 展示 了学 生 的不 同方法 让学 生 互 相 交流 通过一题多解 使学生更加 明确了解决平 面向 量 问题 的 方法 总结 出解 决 平 面 向 量 问 题 的 常 用 的 思 想方 法 基 于几 何 表 示 的几 何 法 基 于 坐 标 表示 的 代 数 法 在具 体 问题 的 解 答 时 要 善 于灵 活 运 用 合 理选择 巧妙转化 通过变 式探究 让学生 的思维 迁 移 发 散 从 而 提 高 学 生 分 析 问 题 解 决 问题 的能 力 进 而提 高 学生 的思 维能 力和 认知 水平 5 教学启示 5 1精选 例题 习题 立足通 性通 法 美国著名数学教育家波利亚说 一个专心的认 真备 课 的教师 能 够 拿 出 一个 有 意 义 的但 又 不 太 复 杂 的题 目 去帮助学生挖掘 问题的各个方面 使得通过 这 道题 就 好 像 通过 一 道 门户 把 学 生 引 入 一 个 完 整 的理论领域 在课堂教学 中 以高考试题为载体 可 以有效提高课堂教学效率 将 高考试题恰 当地引入 高 中数学 的教 与学 让 学 生 注 重 解 题 的通 性 通 法 淡 化特殊技巧 注重数学概念 数学本质 才能以不变应 万 变 才 会 站得 高看得 远 5 2注重 培养 学生 的转化 能 力 其实 数学解题 的核心就是 转 化 将 问题转化 为我们熟悉的问题 使得抽 象问题具体化 会大大提 高解题 的效 率 因此 在 教学 过程 中教 师 应该 教会 学 生如何思考 问题 引导学生多方位 多视角思考 问题 和发现问题 教会学生如何多角度转化 如何进行 多 元表征 如何获得解题思路等 通过对典型题 目进行 一 题多解 一题多变 拓展延伸 的训练 既能促使学生 加 强 知识 点 间 的 联 系 从 中学 到 转 化 策 略 数 形 结 合 等基本 的 数学 思 想 又可 以达 到 培 养 学 生 思 维 能 力 的 目的 从 而提 升教学 的有 效性 5 3强 化反 思 提 升 能力 解题 后 注重反 思能 够培养 学 生 良好 的 思维 品质 既 可促进 双 基 的掌 握 又 能 加 强 知 识 的 有 效迁 移 是提 高解 题 能力 的重 要 途 径 首 先 要 想 想 这 道 题 目 考查 了哪些知 识点 是从 哪些 角 度来 考查 的 你 还 可 以从哪些角度来考虑 其次 此题 目考查 了什么思想 方法 以后再 运用 这种 思想 方法 的时候 要 注意 什 么 最 后要想 想 此题 目还 有 其 他 解 法 吗 通 过 这 样 一 系 列 的 问题 反 思让 学生 明 白 问题 与 问题 之 间不 是孤 立 的 许多表面上看似无关 的问题却有着 内在的联系 解题 不 能就题 论题 要 寻找 问题 与 问题 之 间本 质 的联 系 要质 疑为 什 么有这 样 的问题 它和 哪些 问题 有 联 系 能 否受 这个 问题 的启发 创 造性 地 迁移 或 改变 设