2.4常用的离散分布10年11月04日.ppt

常用的离散分布 二项分布 泊松分布 几个常用的离散型分布 一 伯努利 Bernoulli 概型与二项分布 1 若以X表示一次伯努利试验中事件A发生的次数 则称X服从 0 1 分布 两点分布 记 X b 1 p P X k pk 1 p 1 k k 0 1 p是事件A发生的概率 或 伯努利试验 每次试验的结果只有两个 事件A发生或者不发生 n重伯努利试验 将伯努利试验 独立重复进行了n次 以X表示n重贝伯努利试验中事件A发生的次数 则称X服从参数为n p的二项分布 记作X B n p 分布律为 投n枚硬币 求 正面出现k次的概率 p 1 p n展开式的第k 1项 P x 0 p x 1 p x n 例1从某大学到火车站途中有6个交通岗 假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立 并且遇到红灯的概率都是1 3 1 设X为汽车行驶途中遇到的红灯数 求X的分布律 2 求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 解 1 由题意 X B 6 1 3 于是 X的分布律为 例2某人射击的命中率为0 02 他独立射击400次 试求其命中次数不少于2的概率 解设X表示400次独立射击中命中的次数 则X B 400 0 02 故P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 98400 400 0 02 0 98399 练习 101页1 2 二 数学期望与方差 1 0 1分布b 1 p 数学期望方差 E X p 2 二项分布b n p Var X p 1 p 1 n 1 k 1 np 数学期望 E X np方差E X2 np n n 1 pVar X np n n 1 p np 2 np 1 p 2 二项分布b n p 结论 二项分布X b n p 当n 1时为0 1分布E X npVar X np 1 p 例3已知X b 2 p Y b 3 p 若p X 1 5 9求p Y 1 解 p X 1 1 p X 0 5 9得即 练习 101页5 6 三 泊松定理 在n重伯努利试验中 记事件A在一次试验中发生的概率为pn如果当n很大 p很小 记 np 则 泊松定理表明 泊松分布是二项分布的极限分布 当n很大 p很小时 二项分布就可近似地看成是参数 np的泊松分布 可以用泊松分布近似二项分布 上题用泊松定理取 np 400 0 02 8 故近似地有 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 1 8 e 8 0 996981 四 泊松 Poisson 分布X P 0 P X k k 0 1 2 泊松分布是一种常用的离散分布 他常与单位时间 单位面积 单位产品上的计数过程相联系 如单位时间内 电话总机接到的呼叫次数如1平方米内 玻璃上的气泡数 如一件铸件上的砂眼数 例4一铸件的砂眼数服从参数为 0 5的泊松分布 试求 铸件上至多有1个砂眼的概率和至少有2个砂眼的概率 例5某商店出售某商品 历史记录表明 月销售量服从参数为8的泊松分布 问在月初进货时 需要多少库存量 才能有90 的把握可以满足顾客的要求 解 设X表示商品的月销售量 则X p 8 求最小的正整数n使得P X n 0 9成立 泊松定理表明 泊松分布是二项分布的极限分布 当n很大 p很小时 二项分布就可近似地看成是参数 np的泊松分布 可以用泊松分布近似二项分布 例6某种疾病的发病率为0 001 该单位有5000人 问该单位患有此种疾病的人数不超过5人的概率是多少 解 设该单位患有此种疾病的人数为XX b 5000 0 001 当 np 5 0 616 五 泊松分布的数学期望和方差 泊松分布期望 E X2 2 方差Var X 2 2 例6有10000名同龄同社会阶层的人参保某种人寿保险 每人每年初交纳200元保费 在一年中死亡 则受益人可从保险公司获得100000元的赔偿 据生命表可知这类人的年死亡率为0 001 试求 该公司在该项业务上 1 亏本的概率 2 至少获利500000元的概率 X 投保人中的一年死亡人数 np 10项目收入2000000支付X 1000001 p X 20 1 p X 20 1 0 998 0 002 几何分布 在伯努利试验序列中 每次试验中事件A发生的概率为p 如果X 事件A首次出现时试验次数 则称X服从几何分布 X Ge p 问题 1 X的取值有哪些 2 求X k的概率 X 1 2 3 P X k 1 p k 1p k 1 2 3 若随机变量X的分布律为 适用范围 几何分布作为描述某个试验 首次成功 的概率模型 如 首次查到不合格品的检查次数X Ge 0 05 首次射中目标的射击次数Y Ge 0 8 1 期望令1 p q 2 方差 Var X E X2 E2 X 3 几何分布的无记忆性若X Ge p 则对任意整数m n有 说明 若X服从几何概率 则事件X m表示前m次试验事件A未发生 假如接下去的n次试验事件A也没有发生 记为事件X m n 在前m次未发生事件A的条件下 接下去的n次事件A没有发生的概率只与n有关 似乎忘记了前m次的试验结果 练习 105页10 负二项分布 在伯努利试验序列中 每次试验中事件A发生的概率为p 如果X 事件A第r次出现时试验次数 则称X服从负二项分布 X Nb p 当r 1是即为几何分布分布律为 超几何分布 如果在有限个总体中进行不放回的抽样设有N个产品 其