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第二章一维随机变量及其分布 在第一章里 我们研究了随机事件及其概率 建立了概率论中的一些基本概念 通过随机事件的概率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机现象及其统计规律的基本方法 然而实际中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的 因此 想通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规律性显得很不方便 本章 我们将引进概率论中的一个重要概念 随机变量 随机变量的引进是概率论发展史上的 重大事件 它使概率论的研究从随机事件转变为随机变量 使随机试验的结果数量化 这有利于我们用分析的方法来研究随机现象的统计规律 本章我们将介绍随机变量的概念 随机变量的分布及一些常见的典型分布 给出分布函数的概念及计算 最后给出随机变量函数的分布 2 1随机变量及其分布 一 随机变量的概念直观上 我们将随机现象的每一种表现 即随机试验的每一个可能观察到的结果叫随机事件 随机试验的结果本身有两种表达形式 一种是数值型 一种是描述型 为了全面地研究随机试验的结果 揭示客观存在着的统计规律性 我们将随机试验的结果数量化 引入随机变量的概念 实际中试验的结果不管是哪种形式 我们总可以设法使其结果与唯一的实数对应起来 将它转化为数值型 这样 不管随机试验可能出现的结果是否为数值型 我们总可以在试验的样本空间上定义一个函数 使试验的每一个结果都与唯一的实数对应起来 为此我们引入以下定义 定义2 1设E是一个随机试验 是由E产生的样本空间 对于任意的 X 是定义在上的单值实值函数 则称X 为一个定义在上的随机变量 RandomVariable 简记为X 一般地 随机变量用大写字母X Y Z表示 其取值用小写字母x y z 表示 设E是一个随机试验 是由E产生的样本空间 若X 为一个定义在上的随机变量 则对任意的X 形如 的都是随机事件 随机变量引入后 任意随机事件的概率以后就简记为 或简记为 即 类似地 二 随机变量的特征1 随机变量引进以后 任一随机事件就可以用随机变量在实数轴上的某一集合中的取值来表示 而随机变量是定义在样本空间上的 样本空间的元素不一定是实数 一个函数 它不同于普通函数 普通函数是定义在实数轴上的一个函数 这是二者的差别之一 2 作为样本空间上的函数 随机变量的取值随试验的结果而定 而试验的各个结果出现有一定的概率 因而 随机变量的取值也有一定的概率 这是随机变量与普通函数的差别之二 3 随机变量的引入 使随机事件的发生可以用随机变量的取值表示 这样 我们可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率 从而将随机事件概率的研究转化为随机变量取值概率的研究 使我们用分析的方法来研究随机试验成为可能 随机变量是研究随机试验的有效工具 一般地 随机变量X取值的概率称为该随机变量X的概率分布 要研究随机变量X的概率分布 我们就要完成如下两件事 1 随机变量的取值范围是什么 2 它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少 按随机变量的取值特征常把随机
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