零件的变形及强度计算.ppt

零件的变形及强度计算 主讲人 李文达班级 机械1301 零件的变形及强度计算 零件的拉伸和压缩零件的剪切和挤压圆轴的扭转直梁的弯曲零件组合变形的强度计算交变应力作用下零件的疲劳强度 学习任务 明确材料力学的基本任务 理解构件的强度 刚度和稳定性的力学意义 理解内力的概念 能熟练利用截面法求解内力 理解应力 变形和应变的概念 能熟练地计算轴力 作轴力图 5 理解零件强度条件 并能够熟练解决强度校核 设计截面和确定许可载荷问题 变形分析的基本知识 一 变形固体及其基本假设 任何物体受载荷 外力 作用后其内部质点都将产生相对运动 从而导致物体的形状和尺寸发生变化 称为变形 例如 橡皮筋在两端受拉后就发生伸长变形 工厂车间中吊车梁在吊车工作时 梁轴线由直变弯 发生弯曲变形 在外力的作用下会产生变形的物体可统称为变形固体 变形固体在外力的作用下会产生两种不同的变形 当外力消除后 变形也会随着消失 这种变形称为弹性变形 外力消除后 变形不能完全消除并且具有残留的变形 称为塑性变形 当物体的外力在一定的范围时 塑性变形很小 可以把构件当作只发生弹性变形的理想弹性变形体 假设弹性体内连续不断地充满着物质 各点处的材料性质完全相同 且各方向上的性质都相同 这就是变形固体的基本假设 即本单元研究的对象为构件是均匀连续的 各向同性的理想弹性体 限于小变形的范围内 二 变形的基本形式 杆件在各种不同方式的外力作用下产生不同形式的变形 变形的基本形式有四种 轴向拉伸 压缩 变形剪切 挤压 变形扭转变形弯曲变形 其它复杂的变形都可以看成是这几种基本变形的组合 零件变形过大时 会丧失工作精度 引起噪声 降低使用寿命 甚至发生破坏 为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠地工作 必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力 简称承载能力 构件的承载能力分为 强度 刚度 稳定性 一 强度 构件抵抗破坏的能力 构件在外力作用下不破坏必须具有足够的强度 例如房屋大梁 机器中的传动轴不能断裂 压力容器不能爆破等 强度要求是对构件的最基本要求 二 刚度 构件抵抗变形的能力 在某些情况下 构件虽有足够的强度 但若受力后变形过大 即刚度不够 也会影响正常工作 例如机床主轴变形过大 将影响加工精度 吊车梁变形过大 吊车行驶时会产生较大振动 使行驶不平稳 有时还会产生 爬坡 现象 需要更大的驱动力 因此对这类构件要保证有足够的刚度 三 稳定性 构件受载后保持原有平衡状态的能力 例如千斤顶的螺杆 内燃机的连杆等 本单元主要研究构件在载荷 外力 作用下的变形 受力与破坏的规律 在保证构件既安全适用又尽可能经济合理的前提下 为构件选择合适的材料 确定合理的截面形状和尺寸提供必要的基础知识和实用的计算方法 工程上经常遇到承受拉伸或压缩的零件 如图a所示的起重机吊架中的拉杆AB 拉伸 图b所示的建筑物中的支柱 压缩 受力零件的共同特点是 外力的作用线与零件的轴线重合 零件的变形是沿轴线方向伸长或缩短 第一节零件的拉伸和压缩 一 拉伸和压缩的概念 二 轴向拉伸和压缩时的内力 构件上的载荷和约束力统称为外力 零件受到外力作用时 由于内部各质点之间的相对位置的变化 材料内部会产生一种附加内力 力图使各质点恢复其原来位置 附加内力的大小随外力的增加而增加 当附加内力增加到一定限度时 零件就会破坏 因此 在研究零件承受载荷的能力时 需要讨论附加内力 后面的讨论中所述的内力 都是指这种附加内力 1 截面法 截面法是用以确定零件内力的常用方法 通过取截面 使零件内力显示出来以便确定其数值的方法 如图a所示的杆在外力Fp的作用下处于平衡状态 力Fp的作用线与杆的轴线重合 求截面m m上的内力 取左段为研究对象 用假象平面在m m处将杆截开 分成左右两段 根据作用力与反作用力定理 和大小相等 方向相反 一截为二 即在欲求内力处 假想用一截面将零件一截为二 弃一留一 即选其中一部分为研究对象并画受力图 包括外力和内力 列式求解 即列研究对象的静力平衡方程 并求解内力 综上所述 用截面法求内力的步骤为 与杆轴线重合的内力又称为轴力 轴力的符号规定如下 轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时 轴力为正 反之为负 由此可知 拉杆的轴力为正 压杆的轴力为负 2 轴力 为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况 通常将其绘制成轴力图 作法是 以杆的左端为坐标原点 取平行于轴线的 轴为横坐标轴 其值表示各横截面位置 取垂直于 轴的FN为纵坐标轴 其值表示对应截面的轴力值 正值画在 轴上方 负值画在 轴下方 例1试计算如图a所示等直杆的轴力 并画出轴力图 解 1 求约束反力 取全杆为研究对象 作受力图 如图b所示 根据平衡方程 则 得 2 分段计算轴力 按外力作用位置 将杆分成三段 并在每段内任意取一个截面 用截面法计算截面上的轴力 如图c所示 计算结果为正值 表明图示N1的方向正确 AB段受拉伸 计算结果为负值 表明图示N2的方向相反 BC段受压缩 计算结果为负值 表明图示N3的方向相反 AB段受压缩 轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在截面的位置 而且还明显地表示了杆件各段是受拉还是受压 3 绘制轴力图 正轴力画在x轴上方 负轴力画在x轴下方 如图d所示 杆件是否破坏 不取决于整个截面上的内力大小 而取决于单位面积上所分布的内力大小 单位面积上的内力称为应力 它所反映的是内力在截面上的分布集度 其单位为帕斯卡 Pa 工程上常用兆帕 MPa 1Pa 1N m2 1Mpa 106Pa 三 拉伸和压缩时的应力 通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况取一等直杆 在其侧面上划两条垂直于轴线的直线ab cd 如图a所示 并在杆的两端加一对轴向拉力FP 使其产生拉伸变形 如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成 由此推想它们的受力是相同的 在横截面上各点的内力是均匀分布的 横截面上各点的应力也是相等的 若以FN表示内力 N A表示横截面积 mm2 则应力 MPa 的大小为 这就是拉 压 杆横截面上的应力计算公式 的方向与FN一致 即垂直于横截面 垂直于横截面的应力 称为正应力 都用表示 和轴力的符号规定一样 规定拉应力为正 压应力为负 杆件在受轴向拉伸时 轴向尺寸伸长 横向尺寸缩小 受轴向压缩时 轴向尺寸缩短 横向尺寸增大 设等直杆的原长为l 横向尺寸为b 变形后 长为l1 横向尺寸为b1 如图所示 四 拉伸和压缩时的变形 1 变形与应变 杆件的轴向变形量为 横向变形量为 l称为轴向绝对变形 b称为横向绝对变形 拉伸时 l为正 b为负 压缩时 l为负 b为正 绝对变形与杆件的原有尺寸有关 为消除原长度的影响 通常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度 即 分别称为轴向线应变和横向线应变 显然 二者的符号总是相反的 它们是无量纲量 上式是虎克定律的又一表达形式 即虎克定律可以表述为 当应力不超过某一极限时 应力与应变成正比 2 虎克定律 实验表明 轴向拉伸或压缩的杆件 当应力不超过某一限度时 轴线变形 l与轴向载荷FN及杆长l成正比 与杆的横截面面积成反比 这一关系称为虎克定律 即 引进比例常数E 则有 比例常数E称为弹性模量 其值随材料不同而异 EA乘积越大 零件变形越小 EA称为抗拉 压 刚度 则有 E 在应力作用下 零件的变形和破坏还与零件材料的力学性能有关 力学性能是指材料在外力作用下表现出来的变形和破坏方面的特性 金属材料在拉伸和压缩时的力学性能通常由拉伸试验测定 把一定尺寸和形状的金属试样 图a 装在拉伸试验机上 然后对试样逐渐施加拉伸载荷 直至把试样拉断为止 图b 五 零件拉伸与压缩时的强度计算 一 极限应力 根据拉伸过程中试样承受的应力 和产生的应变 之间的关系 可以绘出该金属的 曲线 通过对低碳钢的曲线分析可知 试样在拉伸过程中经历了弹性变形 oab段 塑性变形 bcde段 和断裂 e点 三个阶段 弹性变形阶段 试样的变形与应力始终呈线性关系 应力 p称为比例极限 图中直线oa的斜率就是材料的弹性模量E 塑性变形阶段 试样产生的变形是不可恢复的永久变形 该阶段又分屈服阶段 bc 塑性变形迅速增加 强化阶段 cd 材料恢复抵抗能力 和颈缩阶段 de 试样局部出现颈缩 应力 s称为屈服点 当零件实际应力达到屈服点时 将会引起显著的塑性变形 应力 b称为抗拉强度 当零件实际应力达到抗拉强度应力值时 将会出现破坏 上述比例极限 屈服点和抗拉强度分别是材料处于弹性比例变形时和塑性变形 断裂前能承受的最大应力 称为极限应力 零件由于变形和破坏而失去正常工作的能力 称为失效 零件在失效前 允许材料承受的最大应力称为许用应力 常用 表示 为了确保零件的安全可靠 需有一定的强度储备 为此用极限应力除以一个大于1的系数 安全系数 所得商作为材料的许用应力 二 许用应力 对于塑性材料 当应力达到屈服点时 零件将发生显著的塑性变形而失效 考虑到其拉压时的屈服点相同 故拉 压许用应力同为 式中 nS是塑性材料的屈服安全系数 对于脆性材料 在无明显塑性变形下即出现断裂而失效 如铸铁 考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同 故有 式中 nb是脆性材料的断裂安全系数 l 和 y 分别是拉伸许用应力和压缩许用应力 bl和 by分别是材料的抗拉强度和抗压强度 根据强度条件式 可以解决三类问题 强度校核 已知零件的尺寸 所承受的载荷以及材料的许用应力 设计截面 已知零件所承受的载荷和材料的许用应力 确定许可载荷 已知零件的尺寸及材料的许用应力 三 强度条件 为了保证零件有足够的强度 就必须使其最大工作应力 max不超过材料的许用应力 即 上式称为拉 压 强度条件式 是拉 压 零件强度计算的依据 式中 FN是危险截面上的轴力 A是危险截面面积 例2某车间自制一台简易吊车 图a 已知在铰接点B处吊起重物最大为FP 20kN 杆AB与BC均用圆钢制作 且dBC 20mm 材料的许用应力 58Mpa 试校核BC杆的强度 并确定AB杆的直径dAB 不计杆自重 解由受力分析可知 AB杆和BC杆分别为轴向受拉和轴向受压的二力杆 受力图如图b所示 1 确定AB BC两杆的轴力用截面法在图a上按m n截面取研究对象 其受力图如图c所示 可得 列平衡方程求解 2 校核BC杆强度 故BC杆满足强度要求 3 确定AB杆直径 其中 所以 取 Seeyounexttime 第二节零件的剪切和挤压 一 剪切和挤压的概念 工程实际中常用的一些连接件 例如螺栓 螺钉 铆钉 销钉 键 剪板机中的板材 木榫接头 焊接接头等 在外力作用下将主要产生剪切变形和挤压变形 用铆钉连接两块钢板如图a所示 铆钉受到钢板传递来的两个横向力F 垂直于零件轴线方向作用的力 的作用如图b所示 用键连接轴和轴上的传动件 如齿轮 皮带轮等 如图a所示 使轴和传动件不发生相对转动 以传递扭矩 键的受力如图b 如图b所示 在外力FP的作用下 截面发生相对错动的变形称为剪切变形 产生相对错动的截面m m称为剪切面 剪切变形是零件的一种基本变形 剪切变形的受力特点是作用在零件两侧面的外力大小相等 方向相反 作用线相距很近 螺栓除受剪切作用外 还在螺栓圆柱形表面和钢板圆孔表面相互压紧 图d 这种局部受压的现象称为挤压 作用在挤压面上的压力叫挤压力 承受挤压作用的表面叫挤压面 在接触处产生的变形称为挤压变形 如果挤压变形过大 会使联接松动 影响机器正常工作 甚至造成挤压破坏 应用截面法假想地沿剪切面m m将螺栓分为两段 任取一段为研究对象 如图c所示 由平衡条件可知 剪切面上必有一个与该外力FP等值 反向的内力 该内力称为剪力 常用符号FQ表示 二 剪切和挤压的实用计算 一 剪切强度实用计算 剪力FQ形成与剪切面相切的工作应力称为切应力 用符号 表示 切应力分布规律比较复杂 工程上常采用以实际经验为基础的实用计算法来确定 即假设切应力是均匀地分布在剪切面上的 切应力的计算公式为式中 FQ是剪切面上的剪力 A是剪切面的面积 为了保证零件安全可靠地工作 其强度条件为式中 为材料的许用切应力实验表明 许用切应力与许用拉应力之间有如下关系 塑性材料 0 6 0 8 脆性材料 0 8 1 0 二 挤压强度实用计算如图d所示为了计算简化 假定挤压应力是均匀分布在挤压面的 由此 挤压强度的条件为式中 jy为挤压应力 Pjy为挤压力 Ajy为挤压计算面积 jy 是材料的许用挤压应力 可查设计手册而得 对于钢材 有 jy 1 7 2 0 如果两个相互接触零件的材料不同 应对许用挤压应力低者进行挤压强度计算 若接触面为半圆柱面 如螺栓 铆钉 销等 其挤压面面积为半圆柱面的正投影面面积 如图c所示d为螺栓或铆钉的直径 t为螺栓或铆钉与孔的接触长度 挤压面面积的计算 要根据实际接触的情况而定 挤压面为平面 则挤压面面积就是接触面面积 如图a所示的键联接 其挤压面面积为 例3如图a所示的铆接件 主钢板通过上下两块盖板对接 铆钉与钢板的材料相同 160Mpa 140Mpa jy 320Mpa 铆钉直径d 16mm 主板厚度t1 20mm 盖板厚度t2 12mm 宽度b 140mm 在P 240kN作用下 试校核该铆接件的强度 解铆接件的强度计算中 通常需要考虑三种可能的破坏形式 铆钉被剪断 铆钉或钢板的铆钉孔壁被挤压坏 被铆钉孔削弱后的钢板被拉断 下面一一校核 1 校核铆钉的剪切强度 外力P由五个铆钉共同承担 通常假定平均分担 因此每个铆钉受力P 5 而每个铆钉有两个受剪面 故 2 校核铆钉的挤压强度 因主板厚度小于两盖板厚度之和 而主板铆钉孔壁所受的挤压力等于两盖板铆钉孔壁所受的挤压力之和 故应校核铆钉与主板之间的挤压强度 即 2 校核钢板的拉伸强度 主板厚度小于两盖板厚度之和 故只需校核主板的拉伸强度即可 主板受力如图b所示 校核 和 截面的强度 对于 截面 对于 截面 由以上校核可知 整个铆接件的强度是足够的 第三节圆轴的扭转 一 扭转的概念如图所示的汽车转向轴和传动系统的传动轴AB 工作时 轴的两端都受到转向相反的一对力偶作用而产生扭转变形 轴上任意两截面皆绕轴线产生相对转动 扭转零件的受力特点是 图c 零件两端受到一对大小相等 转向相反 作用面与轴线垂直的力偶作用 二 圆轴扭转时横截面上的内力 扭矩如图a所示 一圆轴AB在一对大小相等 转向相反的外力偶矩Me作用下产生扭转变形 并处于平衡状态 取左段为研究对象 如图b所示 由平衡关系可知 扭转时横截面上内力合成的结果必定是一个力偶 其内力偶矩称为扭矩或转矩 用符号T表示 由平衡条件T Me 0T Me 为使从左右两段所求得的扭矩正负号相同 通常采用右手螺旋法则来规定扭矩的正负号 如图a所示 如果以右手四指表示扭矩的转向 则拇指的指向离开截面时的扭矩为正 反之为负 图b 为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负 常需画出扭矩随截面位置变化的图像 这种图像称为扭矩图 前图d 例2 4图a所示的传动轴 转速n 200r min 功率由A轮输入 B C轮输出 已知PA 40kW PB 25kW PC 15kW 要求 画出传动轴的扭矩图 确定最大扭矩Tmax的值 设将A轮与B轮的位置对调 试分析扭矩图是否变化 最大扭矩 max值为多少 两种不同的载荷分布形式 哪一种更为合理 三 圆轴扭转时横截面上的切应力 一 圆轴扭转时横截面上应力分布规律如图a所示 在圆轴表面上画出圆周线和纵向线 形成矩形网格 在扭转小变形的情况下 图b 可以观察到下列现象 1 各圆周线均绕轴线相对地旋转了一个角度 但形状 大小及相邻两圆周线之间的距离均未改变 2 所有纵向线都倾斜了一微小角度 表面上的矩形网格变成了菱形 根据上述现象 可以推出这样的假设 圆轴扭转时 各横截面像刚性平面一样地绕轴线转动 各横截面仍保持为平面 其形状 大小都不变 各截面间的距离保持不变 利用变形的几何关系分析应变的分布规律 上式说明 横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离成正比 根据剪切虎克定律 横截面上距圆心为的任意点处的剪应力 与该点处的剪应变成正比 即上式表明 横截面上各点剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比 圆心处的剪应力为零 轴周边的剪应力最大 在半径为的同一圆周上剪应力相等 圆轴横截面上剪应力沿半径的分布规律如图所示 二 扭转剪应力的计算横截面上距圆心为的剪应力的计算公式为当 R时 此时由式 2 15 可得令 则上式可写成式中 WP是仅与截面尺寸有关的几何量 称为抗扭截面系数 对于实心圆轴 图a 有对于的空心圆轴 图b 有 四 圆轴扭转时的强度和刚度计算 一 强度计算为了保证圆轴能安全地工作 应限制轴上危险截面的最大工作应力不超过材料的许用剪应力 即圆轴扭转的强度条件为式中与分别为危险截面上的扭矩和抗扭截面系数 二 刚度计算1 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形是以两个横截面的相对扭转角来度量 直径圆轴两截面间的扭转角计算公式为GIp称为扭转刚度 工程上常常采用单位长度的扭转角来衡量扭转变形的程度 即其单位为弧度 米 rad m 2 刚度条件为了保证轴的刚度 通常规定单位长度扭转角的最大值不超过轴单位长度的许用扭转角 即工程上 的单位习惯上用度 米 m 表示 故用1rad 180 代入上式换算成度 得的数值可从有关手册中查得 一般情况下 可大致按下列数据取用 精密机器的轴 0 25 0 5 m一般传动轴 0 5 1 0 m1要求不高的轴 1 0 2 5 m 例2 5一汽车传动轴由无缝钢管制成 外径D 90mm 内径d 85mm 许用剪应力 60Mpa 传递的最大力偶矩T 1 5kNm 2 m G 80GPa 试校核其强度和刚度 若保持扭转强度或扭转刚度不变 将传动轴改为同材料的实心轴 试分别确定其直径 并分别求出空心轴和实心轴的重量比值 第四节直梁的弯曲 一 直梁平面弯曲的概念直杆类零件 图a b c 其受力变形特点是 外力垂直于杆件的轴线 使杆的轴线变形后成曲线 这种形式的变形称为弯曲变形 以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁 当作用在梁上的所有载荷都在纵向对称面内时 则弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条平面曲线 这种弯曲称为平面弯曲 二 梁的计算简图作用在梁上的载荷通常可以简化为下列三种类型 集中力集中力偶分布载荷经过简化 梁有三种典型形式 1 简支梁梁的一端为固定铰链支座 另一端为活动铰链支座 如图f所示 2 外伸梁外伸梁的支座与简支梁完全一样 所不同的是梁的一端或两端伸出支座以外 如图d所示 悬臂梁一端固定 另一端自由的梁 如图e所示 以上三种梁的未知约束反力最多只有三个 应用静力平衡条件就可以确定 三 梁横截面上的内力 剪力和弯矩梁如图a所示AB 用截面沿n n将梁分为左 右两段 图b c 若以左段为研究对象 由于外力FA有使左段上移和顺时针转动的作用 因此 在横截面n n上必有垂直向下的内力FQ和逆时针转动的内力偶矩M与之平衡 如图b所示 由静力平衡方程即可求出FQ与M之值上面分析可知 AB梁发生弯曲变形时 横截面上的内力由两部分组成 作用线切于截面 通过截面形心并在纵向对称面内的力FQ和位于纵向对称面的力偶M 它们分别称为剪力和弯矩 工程中 对于一般的梁 跨度与横截面高度之比l h 5 弯矩起着主要的作用 而剪力则是次要因素 在强度计算中可以忽略 因此 下面仅讨论有关弯矩的一些问题 弯矩符号规定 梁变形后 若凹面向上 截面上的弯矩为正 反之 若凹面向下 截面上的弯矩为负 如图2 26所示 弯矩的计算有以下的规律 若取梁的左段为研究对象 横截面上的弯矩的大小等于此截面左边梁上所有外力 包括力偶 对截面形心力矩的代数和 外力矩为顺时针时 截面上的弯矩为正 反之为负 若取梁的右段为研究对象 方法类似 有了上述规律后 在实际运算中不必用假想截面将截面截开 再用平衡方程去求弯矩 而可直接利用上述规律求出任意截面上弯矩的值及其转向 四 弯矩图为了形象地表示弯矩沿梁长的变化情况 常需画出梁各截面弯矩的变化规律的图像 这种图像称为弯矩图 例2 6简支梁如图所示 在跨度内某一点受集中力的作用 试作此梁的弯矩图 五 弯矩图的作图规律由以上例题可以总结出弯矩图与载荷之间的几点普遍规律 1 在两集中力之间的梁段上 弯矩图为斜直线 2 在集中力作用处 弯矩图出现折角 3 在均布载荷作用的梁段上 弯矩图为抛物线