优质论文-高中数学“含参”问题方法小结.doc

高中数学 “含参”问题方法小结含参数（不）等式“恒、能成立”问题是高中数学教学的一个重点和难点，同时也是高考考查的热点。这类问题可以考查多个知识点，更能从多个角度检查考生的素质和能力，这类问题难度比较大，综合性强，考生不易得分。解决此类问题有一定的规律性，常见方法有：函数思想、分离参数、变换主元、数形结合等，其中分离参数转换自变量是其常用的方法。一反参为主（即主元法）对于给出了参数范围的“恒成立”问题，常把参数视为主元，把主元视为已知函数，即把原题视为参数的函数，从函数角度来解答。例1.对于任意a-1,1，函数f(x)=x2+(a-4)x-2a的值恒大于零，求x的取值范围。解：由题令g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)0对 a-1,1恒成立。显然x2g(a)是a的一次函数，要使g(a)0在a-1,1上恒成立，只需 即解之得：x3点评：此题若按分离法做，分离a得需讨论比较复杂变式：若例1中改为x-1,1上f(x)0恒成立，则此题属于二次函数区间定轴动题目，对称轴 分三种情况：,令f(-1)0,令0 点评：此题若用分离法不易解答。 例2已知函数(xR)在-1,1上是增函数。（1）求实数a的值所组成的集合A（2）设关于x的方程的两根为x1,x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对于任意aA及t-1,1恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）对x-1,1恒成立令则有（2） 得： -1a1 1|3 要使m2+tm+1|x1-x2|对于任意aA及t -1,1恒成立,当且仅当m2+tm+13对于任意t -1,1恒成立,即m2+tm+10对于任意t -1,1恒成立g(t)=mt+m2-2, t-1,1则g(t)0对对t -1,1恒成立令解得：m2或m-2注：本题含a,t,m三个参数，通过减少为两个参数t，m，要解决，以t为主元，利用一次函数保号性解决二分离参数和函数思想通过恒等变形，将参数与主元分离出来，使不等式一边只含参数，另一边是与参数无关的主元问题，只需求出主元函数的最值。求主元函数的最值时，常用到配方法、基本不等式、函数单调性、三角函数值域等知识与方法。例1已知函数，若对任意x1,+）,不等式f(x)0恒成立，试求实数a的范围解：x1,+,要使f(x)0恒成立，即使即x2+2x+a0对x1,+）恒成立分离参数得：a-(x2+2x)=-(x+1)2+1当x1,+）时，g(x)=-(x+1)2+1最大值为3。实数a取值范围为：a-3点评：以上解法为分离参数法，此题若按函数思想，则，则此函数为双勾函数，需讨论，比较复杂。例2（2013高考新课标21）已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x+2（）求a，b，c，d的值（）若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围。解：（）因为曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为，故；，故，故；所以，；（）法一：函数思想令，则，由题设可得，故，令得， 若，则，从而当时，当时，即在上最小值为，此时f(x)kg(x)恒成立；若，故在上单调递增，因为所以f(x)kg(x)恒成立若，则，故f(x)kg(x)不恒成立；综上所述k的取值范围为.法二：分离参数法由题可得对x 【-2,+)恒成立当时,kR当-2x-1时,有k ,令h(x)= 则=当-2x-1,h(x)单增, k当x-1时,有k,同可得当x(-1,0),h(x)单增,当x (0,+)时， h(x)单减综合可得1k 变式：（10山东理22）已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对，使，求实数取值范围.解：（）因为,，令 ， 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； 当， 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减； 当时，由于， ，,此时，函数 单调递减； 时，此时，函数单调递增.（）因为a=，由（）知，=1，=3，当时，函数单调递减；,当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以当时，因为，此时与（*）矛盾当时，因为，同样与（*）矛盾当时，因为，解不等式8-4b，可得综上，b的取值范围是。点评：此题第二问用的是函数思想，若用分离参数法则容易出错变式1：，求实数范围.则（x），求实数范围. 则，求实数范围. 则（x）若，求实数范围. 则令，0若，求实数范围. 则令，0变式2：设，（1）求在上的值域；（2）若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围三数形结合通过构造图形，从图形上可以直观地看出不等式恒成立和能成立需要的条件例1.设函数 （1）画出图像；（2）若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围。变式：(2010宁