3.1数系的扩充.ppt

天津大港第三中学王玉梅 数系的扩充与复数的引入 结合图片 谈谈你对数的发展的了解 需要 数系的扩充 自然数 正整数与零 整数 有理数 实数 R Q Z N 1 2 3 0 1 2 e 自然数 负整数 整数 分数 有理数 无理数 实数 记号 Z 问题 例如N为何要扩充呢 是什么原因使得数系要扩充呢 N中减法运算不能畅通无阻 这是N中的一朵乌云 数系扩充的效果是 应用范围扩大了 N R Q Z N 问题 Z Q数系也有各自的矛盾 类似地用扩充数系的办法解决了这些矛盾 怎样扩充 针对矛盾 创造新数 添加 新数 保持原算律 负数不能进行开平方 1不能进行开方 方程x2 1 0无解 要解决这个矛盾 必须允许平方数也可以是负数 实数系也有一朵乌云 由它所创造的复变函数理论 成为解决电磁理论 航空理论 原子能及核物理等尖端科学的数学工具 实数集的扩充就从引入平方等于 1的 新数 开始 1 2 实数可以与i进行四则运算 进行四则运算时 原有的加法 乘法运算律仍然成立 我们引入一个新数i imaginaryunit 并规定 i2 1 i 2 i 复数的诞生 虚数i与实数b相乘 再与实数a相加 就会得到形如a bi a b R 的数 称它为复数 全体复数形成的数集叫复数集 记作C C R 对复数z a bi a b R z a b i 实部 虚部 对复数代数形式z a bi a b R 当b 0时 z a bi是a 是实数 当b 0时 z a bi叫做虚数 当b 0且a 0时 z a bi为bi 叫纯虚数 对复数系进行分类 抓住虚部进行分类讨论 练习判断下列复数是实数 还是虚数 并指出该复数的实部与虚部 a c b d a bi c di 如果两个复数的实部与虚部分别相等 那么我们就说这两个复数相等 即 也就是说 两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等 a b c d R 虚数是奇妙的人类精神寄托 它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物 莱布尼茨 莱布尼茨Leibniz 1545年 卡尔丹引入负数的平方根 1637年 笛卡儿给出 虚数 的名称 1777年 欧拉首次使用符号i表示 1的平方根 1831年 高斯主张用a bi表示复数 高斯Gauss德国 卡尔丹Cardano意大利 笛卡尔Descartes法国 欧拉Euler瑞士 卡尔丹Cardano意大利 将10分成两部分 使两者的乘积等于40 这两部分分别是多少 x 10 x 40 x2 10 x 40 0 数学起源与早期发展 1 1数与形概念的产生 数的概念的形成大约是在30万年以前 记数是伴随着计数的发展而发展的 手指记数 亚里士多德 采用十进制是因为多数人生来具有十个手指 石子记数 结绳记数 刻痕记数 周易 系辞下 上古结绳而治 后世圣人 易之以书契 基普 印加 幼狼胫骨 捷克 大约五千年前 出现书写记数及相应的记数系统 几种古老文明的早期记数系统 巴比伦数字 六十进制 玛雅数字 二十进制 其余数字 十进制 记数系统的出现使数与数之间的运算成为可能 其年代当在公元前1600年以前 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数 古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 英文calculate 计算 一词是从希腊文calculus 石卵 演变来的 中国古藉 易 系辞 中说 上古结绳而治 后世圣人易之以书契 直至1889年 皮亚诺才建立自然数序数理论 自然数 返回 零不仅表示 无 更是表示空位的符号 中国古代用算筹计算数并进行运算时 空位不放算筹 虽无空位记号 但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件 印度 阿拉伯命数法中的零 zero 来自印度的 sunya 字 其原意也是 空 或 空白 中国最早引进了负数 九章算术 方程 中论述的 正负数 就是整数的加减法 减法的需要也促进了负整数的引入 减法运算可看作求解方程a x b 如果a b是自然数 则所给方程未必有自然数解 为了使它恒有解 就有必要把自然数系扩大为整数系 整数 返回 分数 原始的分数概念来源于对量的分割 如 说文 八部 对 分 的解释 分 别也 从八从刀 刀以分别物也 但是 九章算术 中的分数是从除法运算引入的 其 合分术 有云 实如法而一 不满法者 以法命之 这句话的今译是 被除数除以除数 如果不能除尽 便定义了一个分数 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数 返回 为表示各种几何量 例如长度 面积 体积 与物理量 例如速率 力的大小 人类很早已发现有必要引进无理数 约在公元前530 毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度 即 不能是有理数 15世纪达芬奇 LeonardodaVinci 1452 1519 把它们称为是 无理的数 irrationalnumber 开普勒 J Kepler 1571 1630 称它们是 不可名状 的数 法国数学家柯西 A Cauchy 1789 1875 给出了回答 无理数是有理数序列的极限 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数 人们想到用 无限不循环小数 来定义无理数 这也是直至19世纪中叶以前的实际做法 无理数 返回 实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定 从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流 使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论 尤其是关于实数系的连续性的理论 在这方面 外尔斯特拉斯 1859年开始 梅雷 1869 戴德金 1872 与康托尔 1872 作出了杰出的贡献 实数 返回 复数 从16世纪开始 解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式 用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题 卡尔达诺在 大法 1545 中阐述一元三次方程解法时 发现难以避免复数 关于复数及其代数运算的几何表示 是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔 阿尔根和高斯等人建立的 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程 他于1843年提出了 四元数 的概念 其后不久 凯莱又用四元数的有序对定义了八元数 它们都被称为 超复数 如果舍弃更多的运算性质 超复数还可扩张到十六元数 三十二元数等等 返回 复数的发展史虚数这种假设 是需要勇气的 人们在当时是无法接受的 认为她是想象的 不存在的 但这丝毫不影响数学家对虚数单位的假设研究 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学 怪杰 卡丹 他是1545年开始讨论这种数的 当时复数被他称作 诡辩量 几乎过了100年 笛卡尔才给这种 虚幻之数 取了一个名字 虚数 但是又过了140年 欧拉还是说这种数只是存在于 幻想之中 并用 imagin