3.2实数的完备性.ppt

1 3 2实数的连续性 关于实数完备性的基本定理确界原理 数列的单调有界定理 柯西收敛准则 这三个命题以不同的方式反映了实数集R的一种特性 称为实数的连续性或实数的完备性 有理数集就不具有这种特性 2 即数列的单调有界定理在有理数域不成立 即柯西收敛准则在有理数域不成立 3 本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理 区间套定理 聚点定理和有限覆盖定理 还将说明这六个基本定理的等价性 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义1设闭区间列 具有如下性质 i ii 则称为闭区间套 或简称区间套 4 注 为闭区间套 不是闭区间套 不是闭区间套 只有一个公共点 有无穷个公共点 没有公共点 性质 若 为区间套 则 特点 区间套必须是闭 缩 套的闭区间列 5 定理1 区间套定理 若 是一个区间套 则在实数系中存在唯一的一点 使 证 由条件 i 为递增有界数列 依单调有界原理 有极限 且 递减有界数列也有极限 并按区间套的条件 ii 有 且 且 存在性 单调有界原理区间套定理 6 即证明是唯一的 推论 若是区间套所确定的点 证 唯一性 7 区间套定理主要用于存在性问题的研究 存在性的问题是数学分析的核心问题 许多问题都归结为证明存在某种性质的点 一般来说 要证明存在性的问题 是要回答 有没有 的问题 如果没有实数的基本定理 单调有界定理 区间套定理等 这种存在性的回答是非常困难的 用区间套证题通常分为三个步骤 1 分析所要证明存在的点满足的所谓 邻域性质 由此构造区间套 这一步往往是技术性的 有一定的难度 2 由区间套定理 确认点的存在性 关键的一步 3 验证所得到的点就是所要找的点 8 在什么情况下应用闭区间套定理呢 一般来说 证明问题需要找到具有某种性质P的一个数 常常应用闭区间套定理将这个数 套 出来 怎样应用闭区间套定理呢 首先构造一个具有性质P的闭区间 性质要根据性质P来定 其次 通常采用二等分法 将此闭区间二等分 至少有一个闭区间具有性质P 继续二等分法 得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P的闭区间列 根据闭区间套定理 就得到唯一一个具有性质P的数 9 例1 用区间套定理证明 数列的柯西收敛准则 证 必要性 充分性 写作 几乎所有的项 即在区间内含有中除有限项外所有的项 10 充分性 即在区间内含有中几乎外所有的项 11 仿以上方法得到闭区间列 由区间套定理 存在唯一的一个数 由推论得 因此在内含有中除有限项外的所有项 12 二 聚点定理 设S为数轴上的点集 为定点 它可以属于S 也可以不属于S 若的任何邻域内都含有S中无穷多个点 则称为点集S的一个聚点 13 整数集Z和自然数集N没有聚点 任何有限数集没有聚点 聚点概念的另两个等价定义 则称为S的一个聚点 若存在各项互异的收敛数列 显然 14 三个定义等价性的证明 设为S 按定义 的聚点 无限地重复以上步骤 得到S中各项互异的数列 证毕 注意这种技巧 15 定理3 2 2 Weierstrass 聚点定理 实轴上的任意有界无限点集E至少有一个聚点 证 因为E是有界点集 现将等分为两个子区间 因为E是无限点集 故两个子区间中至少有一个含有E中无穷多个点 区间套定理聚点定理 再将等分为两个子区间 16 再将等分为两个子区间 则其中至少有一个子区间含有E中无穷多个点 将此等分子区间的手续无限的进行下去 得到一个区间列 且 17 且其中每一个闭区间都含E中无穷多个点 由区间套定理 存在唯一的点 由推论得 从而内含有S中无穷多个点 按定义2 为S的一个聚点 18 19 例3 2 2 致密性定理 有界数列必含有收敛子列 证 设 xn 为有界数列 若 xn 中有无限多个相等的项 则由这些项组成的子列是一个常数列 总是收敛的 点集 xn 至少有一个聚点 若 xn 中不含无限多个相等的项 则 xn 在数轴上对应的点集必为有界无限点集 故由聚点定理 证毕 注 于是按定义 存在 xn 的一个收敛子列 以为其极限 用聚点定理证明致密性定理 20 注 聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立 S是有界的无限有理点集 在实数域内的唯一聚点为e 因而在有理数域没有聚点 数列 xn 是有理数域内的有界数列 但其极限是无理数e 从而任一子列均收敛于e 故 xn 在有理数域内没有收敛的子列 21 定义3 开覆盖的定义 设S为数轴上的点集 H为开区间的集合 即H的每一个元素都是形如的开区间 若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内 则称H为S的一个开覆盖 或称H覆盖S 若H中开区间的个数是无限的 有限 的 则称H为S的一个无限开覆盖 有限开覆盖 三 有限覆盖定理 22 也可以用以下方式定义开覆盖 定义3 设S为数轴上的点集 H为开区间的集合 若 则称H为S的一个开覆盖 或称H覆盖S 23 函数f在 a b 内连续 这样就得到一个开区间集 它是区间 a b 的一个无限开覆盖 是区间 0 1 的一个无限开覆盖 如 24 例3 设 则开区间集S没有覆盖区间I 不存在 例4 设 则开区间集S覆盖区间I 只要自然数m充分大 有 25 证明思路 反证法 区间套定理 设 不能用H中有限个开区间来覆盖 1 构造一区间套 其中每一个区间不能用H中有限个 开区间覆盖 2 由区间套定理 存在唯一 3 一定落在H中的某个开区间内 进而当n大 到一定程度时有 矛盾 定理3 2 3 Heine Borel 有限覆盖定理 设H为闭区间 a b 的任一 无限 开覆盖 则必可从H中选出有限个开区间来覆盖 a b 区间套定理有限覆盖定理 26 定理3 2 3 Heine Borel 有限覆盖定理 证 反证法 设不能从H中选出有限个开区间覆盖 a b 将 a b 等分为两个子区间 则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖 记这个子区间为 再将 a1 b1 等分为两个子区间 其中至少有一个区间不能用H中有限个开区间来覆盖 区间套定理有限覆盖定理 设H为闭区间 a b 的任一 无限 开覆盖 则必可从H中选出有限个开区间来覆盖 a b 27 记这个子区间为 a2 b2 重复上述步骤并不断地进行下去 则得到一个闭区间列 且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖 28 由区间套定理 存在唯一的一点 由于H是闭区间 a b 的一个开覆盖 由定理1的推论 当n充分大时有 这表明 an bn 只须用H中的一个开区间就能覆盖 这与挑选 an bn 时的假设 不能用H中有限个开区间来覆盖 相矛盾 证毕 29 有限覆盖定理对开区间不一定成立 注 构成了开区间 0 1 的一个开覆盖 但不能从中选出有限个开区间盖住 0 1 因为右端点始终为1 左端点有限个中必有一个最小者 30 一般来说 如果我们已知在闭区间 a b 的每一点的某个邻域内都具有性质P 每一点的邻域 开区间 集覆盖 a b 为了将性质P扩充到整个闭区间 a b 这时用有限覆盖定理能将覆盖 a b 的无限多个邻域转化为有限个邻域 总之 要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间 常常要用有限覆盖定理 31 定理3 1 12 一致连续性定理 若函数在闭区间上连续 则在上一致连续 证明 例3 2 3有限覆盖定理一致连续性定理 32 33 四 实数完备性基本定理的等价性 实数完备性的六个基本定理 即 1 确界原理 定理1 1 1 2 单调有界定理 定理2 1 7 4 区间套定理 定理3 2 1 6 有限覆盖定理 定理3 2 3 5 聚点定理 定理3 2 2 3 柯西收敛准则 定理2 10 在实数系中这六个命题是相互等价的 在有理数系中这六个命题不一定成立 34 实数集的完备性基本定理 1 确界原理 非空数集必有上确界与下确界 单调有界定理 2 在实数系中 有界的单调数列必有极限 3 柯西收敛准则 收敛 4 区间套定理 若 是一个区间套 则在实数系中存在 唯一的一点 使得 且 5 聚点定理 Bolzano Weierstrass定理 实数集上的任一有界无限点集S至少有一个聚点 6 有限覆盖定理 Heine Borel定理 若H为闭区间 的一个 无限 开覆盖 则从H中可选出有限个开 区间来覆盖 35 柯西收敛准则 区间套定理 聚点定理 确界原理 有限覆盖定理 单调有界定理 例3 2 1 定理3 2 1 定理2 1 7 本教材中实数完备性基本定理的等价性的证明 定理3 2 2 定理3 2 3 致密性定理 例3 2 2 一致连续定理 例3 2 3 定理2 1 8 例2 例5 例6 36 例5 用有限覆盖定理证明聚点定理 证设S是无限有界点集 则存在M 0 使得 设开区间集 37 很明显 H覆盖了闭区间 M M 根据有限覆盖 设开区间集 矛盾 定理 存在H中的有限子覆盖 38 使得为的上界 而不是的上界 故存在 使得 1 则对每一个正整数n存在相应的 即存在 使得分别取 对任何正数存在整数使得不是的上界 例6 用数列的柯西收敛准则证明确界原理 证 设为非空有上界数集 由实数的阿基米德性 又对正整数是的上界 故有 结合 1 式得 同理有 从而得 于是 对任给的存在 使得当时有 39 故存在 使得 首先 对任何和正整数n有 由柯西收敛准则数列收敛记 2 对任何 由于及 2 式 于是 对任给的存在 使得当时有 现在证明就是的上确界 由 2 式得 即是的一个上界 对充分大n的同时有 又因不是的上界 结合上式得 这说明为的上确界 同理可证 若为非空有下界数集 则必存在下确界 40 例7 设 问 1 H能否覆盖 2 能否从H中选出有限个开区间覆盖 分析 1 注意到 对任意 当 时 即 时 便有 特别当 即可保证 解 1 对任意 当 时 有 进而 即 至少包含在H的一个开区间内 故H能否覆盖 答 1 能 2 不能 能 41 例8 设 意即函数 在区间 连续 且 则存在 使得 零点定理 或根的存在定理 属数学的存在性问题 即 有没有 的问题 抽象点的确定 我们不能按解具体方程 求 因为所给的函数f x 是抽象函数 思路 1 按某种 规则 找到一个数 2 证明所找到的数满足 用区间套定理证明零点定理 42 例8 设 意即函数 在区间 连续 且 则存在 使得 零点定理 或根的存在性定理 证 不妨设 规定 若函数 在区间I左端点的值 小于零 右端点的值大于零 则称函数f x 在区间I具有性质P 取 则 具有性质 设 的中点为 若 定理得证 以下总设在中分点处的值都不为零 若 则取 否则取 则 具有性质 设 具有性质 仿上述构造方法 可得到 具有性质 由数学归纳法 得闭区间列 具有性质 且 1 2