3.5微分中值定理(备选).ppt

目录 第3章导数的应用 3 2洛必达法则 3 3函数的单调性与极值 3 4函数的最值与导数在经济中的应用 3 1微分中值定理 约8学时 主要内容 3 1 1罗尔定理 3 1 2拉格朗日定理 3 1 3柯西定理 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1微分中值定理 3 1 1罗尔定理 一条闭区间 a b 上的连续曲线 在相应的开区间 a b 内光滑 并且区间端点的函数值相等 那么 会出现什么样的现象呢 结论 如左图 至少有一条水平切线 这就是我们要学习的罗尔定理 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1微分中值定理 罗尔 Rolle1652 1719 法国数学家 3 1 1罗尔定理 年轻时因家境贫穷 仅受过初等教育 是靠自学精通了代数和Diophantus分析理论 罗尔定理是罗尔在17世纪 在微积分发明之前以几何的形式提出来的 首页 上页 下页 定理3 1 如果函数满足下列条件 在开区间内可导 在闭区间上连续 3 1 1罗尔定理 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1 1罗尔定理 验证罗尔中值定理对函数 在区间上的正确性 并求出罗尔定理结论中的 解 因为是初等函数 所以在上连续 又因为 所以在内可导 而 所以在上满足罗尔定理的条件 令 解得 因为不在区间内 故舍去 即 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1 拉格朗日中值定理 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1 拉格朗日中值定理 结论 如下图 至少存在一点 使得其切线平行于弦 这就是我们要学习的拉格日朗中值定理 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1 拉格朗日中值定理 拉格朗日 Lagrange1736 1813 法国数学家 普鲁士国王腓特烈大帝尊称他为 欧洲最大之数学家 他在数学 力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献 其中尤以数学方面的成就最为突出 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 定理3 2 如果函数满足下列条件 2 在开区间内可导 1 在闭区间上连续 3 1 拉格朗日中值定理 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1 拉格朗日中值定理 验证函数 在区间上的是否满足拉格朗日中值定理的条件 并求出拉格朗日中值定理结论中的 解 因为是初等函数 所以在上连续 又因为 所以在内可导 因此 在上满足拉格朗日中值定理的条件 令 即 又因为 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 1 函数在区间 0 1 上满足罗尔定理 则罗尔定理结论中的 2 函数在区间上满足罗尔定理 则罗尔定理结论中的 3 函数在区间 0 1 上满足拉格朗日中值定理 则拉格朗日中值定理结论中的 4 函数在区间 1 e 上满足拉格朗日中值定理 则拉格朗日中值定理结论中的 答案 1 2 3 4 e 1 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1 拉格朗日中值定理推论 推论3 1 如果函数在上导数恒为零 则在区间上是一个常数 即 3 1微分中值定理 首页 上页 下页 3 1 拉格朗日中值定理推论 推论3 2 若在区间内恒有 则在区间内有 3 1微分中值定理 首页 上页