材料力学第三章.ppt

第三章扭转 3 1扭转的概念和实例 第三章扭转 以扭转为主要变形的工程构件有 传动轴 钻杆等 汽车转向轴 机械传动轴 丝锥等 杆件受到大小相等 方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用 杆件的横截面绕轴线产生相对转动 扭转受力特点及变形特点 3 1扭转的概念和实例 直接计算 1 外力偶矩 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 按传递功率和转速计算 电机每秒输入功 外力偶作功完成 已知轴转速 n转 分钟输出功率 P千瓦求 力偶矩Me 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 T Me 2 扭矩和扭矩图 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 用截面法研究横截面上的内力 构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 T 扭矩 扭矩正负规定 右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正 反之为负 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 扭矩沿杆件轴线变化规律的图线 目的 扭矩图 已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入P1 500kW 从动轮输出P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 解 1 计算外力偶矩 例题1 解 2 求扭矩 扭矩按正方向设 1 1截面 2 2截面 3 3截面 BC段为危险截面 9 6 解 3 绘制扭矩图 9 6 解 3 绘制扭矩图 有什么规律 从左向右 上下对应 练习 P783 1 一 薄壁圆筒扭转时的切应力 1 实验前 1 绘纵向线 圆周线 2 施加一对外力偶M 3 3纯剪切 2 实验后 1 圆周线不变 2 纵向线变成斜直线 1 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 2 各纵向线均倾斜了同一微小角度 3 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形 3 结论 4 与 的关系 一 薄壁圆筒扭转时的切应力 1 在小变形下 沿杆的轴线方向无变形 即无正应力 2 横截面上各点处 只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 沿周向大小不变 方向与该截面的扭矩方向一致 根据实验现象分析 3 理论分析 4 薄壁圆筒横截面上的切应力 A0 平均半径所在圆的面积 静力学关系 单元体 边长为微量的正六面体 二 切应力互等定理 截取abcd正六面体 纯剪切应力状态 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 该定理表明 在单元体相互垂直的两个平面上 切应力必然成对存在 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该交线 二 切应力互等定理 剪切虎克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极限时 p 切应力与切应变成正比关系 三 切应变 剪切胡克定律 式中 G是材料的一个弹性常数 称为切变模量 切变模量 弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 拉压胡克定律 三 切应变 剪切胡克定律 3 4圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时横截面应力 变形几何关系 物理关系 静力学关系 3 4圆轴扭转时的应力 1 横截面变形后仍为平面 2 轴向无伸缩 3 纵向线变形后仍为平行线 一 圆轴扭转实验观察 3 4圆轴扭转时的应力 二 圆轴扭转时横截面上的应力 3 4圆轴扭转时的应力 1 变形几何关系 1 变形几何关系 与 成正比 扭转角沿轴线方向变化率 3 4圆轴扭转时的应力 二 圆轴扭转时横截面上的应力 T 2 物理关系 虎克定律 代入上式得 1 变形几何关系 3 4圆轴扭转时的应力 二 圆轴扭转时横截面上的应力 3 静力学关系 令 代入物理关系式得 极惯性矩 3 4圆轴扭转时的应力 式中 T 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 该点到圆心的距离 Ip 极惯性矩 与截面形状和尺寸有关的量 圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式 3 4圆轴扭转时的应力 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是极惯性矩Ip值不同 D d O 4 公式的讨论 3 4圆轴扭转时的应力 O d 4 公式的讨论 应力分布 实心截面 空心截面 4 公式的讨论 当 令 横截面上最大切应力公式 式中 横截面上的扭矩 抗扭截面系数 例 内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴 受扭矩T 1kN m作用 计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力 解 1kN m 20mm 40mm 强度条件 对于等截面圆轴 强度计算三方面 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 由公式 3 5圆轴扭转时的变形 当长为一段杆两截面间相对扭转角 为 式中 内力扭矩 可以是x的函数 极惯性矩 可以是x的函数 切变模量 1 相对扭转角 由公式 式中 截面上的扭矩 极惯性矩 切变模量 考虑圆轴的特点 在一定长度上 扭矩 直径是常量 当圆轴是阶梯轴时 3 5圆轴扭转时的变形 2 单位长度上的扭转角 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力 称为截面的抗扭刚度 3 5圆轴扭转时的变形 3 刚度条件 或 称为许用单位扭转角 例 实心圆轴受扭 若将轴的直径减小一半时 横截面的最大剪应力是原来的倍 圆轴的扭转角是原来的倍 8 16 例1 在强度相同的条件下 用d D 0 5的空心圆轴取代实心圆轴 可节省材料的百分比为多少 解 设实心轴的直径为d1 由 得 0 8 0 8 1 192 0 8 0 512 从力学角度来看 扭转时采用空心轴要比实心轴来的经济 合理 这样 它的强度并未削弱多少 但却大大减轻了自重 例2 传动轴传递外力偶矩M 5kN m 材料的 30MPa G 80GPa 0 5 m 试选择轴的直径 解 d 例3由无缝钢管制成的汽车传动轴 外径D 90mm 内径d 85mm 工作时的最大扭矩1 5kN m 60MPa 校核此轴的强度 若保持最大切应力不变 将AB轴改用实心圆轴 试比较实心轴和空心轴的重量 传动轴的转速为n 500r min 主动轮A输入功率P1 400kW 从动轮C B分别输出功率P2 160kW P3 240kW 已知 70MPa 1 m G 80GPa 1 试确定AC段的直径d1和BC段的直径d2 2 若AC和BC两段选同一直径 试确定直径d 3 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理 解 1 外力偶矩 例题4 2 扭矩图 按刚度条件 3 直径d1的选取 按强度条件 按刚度条件 4 直径d2的选取 按强度条件 5 选同一直径时 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理 传动轴上有三个齿轮 齿轮2为主动轮 而齿轮1和3输出的功率分别为0 756KW和2 98KW 若轴的转速为n 183 5r min 材料为45钢 40MPa 试根据强度要求确定轴的直径 练习 0 3m 0 4m 小结 1 圆轴扭转时横截面上有怎样的应力 应力的方向 怎样分布 2 横截面上切应力的计算公式 切应力和材料性能有关么 3