第4讲导数及其应用(教师).doc

专题 1函数与导数、不等式第4讲 导数及其应用一瞄准高考一、导数的几何意义f(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程是yf(x0)=f(x0)(xx0)二、导数运算1求导公式(1)C=0(其中C为常数)；(2)(xn)=nxn-1(nQ)；(3)(sinx)=cosx；(4)(cosx)=sinx；(5)(ln x)=,(logax)=logae；(6)(ex)=ex,(ax)=axln a.2导数的四则运算法则(1)(uv)=uv；(2)(uv)=uvuv； (3)=(v0)三、导数的应用1利用导数判断函数的单调性：在某个区间内,如果f(x)0(f(x)0),那么函数f(x)在这个区间内单调递增(减)；如果f(x)在某个区间内是增(减)函数,则导数f(x)0(f(x)0)2求函数的极值使f(x)=0的根x0不一定是极值点,还必须检验f(x)在x=x0左右两侧的符号,若左正右负则有极大值,左负右正则有极小值3求函数的最值连续函数在闭区间a,b上必有最大值、最小值,先求出使方程f(x)=0的所有点的函数值,再与端点函数值比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值4利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根、构造函数证明不等式等问题二解析高考题型一导数的几何意义 例1 (2010湖北卷)设函数f(x)=x3x2bxc,其中a0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y=1.(1)确定b、c的值；(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2),证明：当x1x2时,f(x1)f(x2)【解答】 (1)由f(x)=x3x2bxc得f(0)=c,f(x)=x2axb,f(0)=b.又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f(0)=0,故b=0,c=1.(2)f(x)=x3x21,f(x)=x2ax,由于点(t,f(t)处的切线方程为yf(t)=f(t)(xt),而点(0,2)在切线上,所以2f(t)=f(t)(t),化简得t3t21=0,即t满足的方程为t3t21=0.下面用反证法证明假设f(x1)=f(x2),由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2),则下列等式成立由(3)得x1x2=a,由(1)(2)得xx1x2x=a2,(4)又xx1x2x=(x1x2)2x1x2=x12a2a2,故由(4)得x1=,此时x2=与x1x2矛盾,所以f(x1)f(x2)【点评】 导数几何意义的应用要注意抓住两点：一是切点处的导数就是切线的斜率;切点坐标同时适合曲线方程和切线方程二是正确区分“过曲线上的点P的切线”与“曲线上的点P处的切线”两个不同的概念及相应不同的解法在以后的解题中,同学们应尽量避免审题和解题失误,以不变应万变,真正达到活学活用的目的【变式】已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1,0),且l与函数g(x)=x2mx(m0,讨论f(x)的单调性【思维启迪】确定定义域求导对a进行分类讨论确定f(x)的正、负【解答】(1)f(x)的定义域是(0,),导函数f(x)=1=.设g(x)=x2ax2,二次方程g(x)=0的判别式=a28.当0即0a0都有f(x)0.此时f(x)是(0,)上的单调递增函数当=0即a=2时,仅对x=时,有f(x)=0,对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0,)上的单调递增函数当0即a2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,x2=,0x1x2.x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f(x)00f(x)极大值极小值此时f(x)在,上单调递增,在上单调递减【探究提高】 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况,大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论,在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制【变式】若函数g(x)=,且在区间(2,3)上不单调,则实数k的取值范围是_【解析】 因为g(x)=,所以g(x)=,又g(x)在区间(2,3)上不单调,故g(x)=0在区间(2,3)上有根,且不能有两个相等的根令g(x)=0,有x22xk=0,则解得3k0.题型三利用导数求函数的极值和最值 例3 已知函数f(x)=ax22xsin2和函数g(x)=lnx,记F(x)=f(x)g(x)(1)当=时,若f(x)在1,2上的最大值是f(2),求实数a的取值范围；(2)当a=1时,判断F(x)在其定义域内是否有极值,并予以证明；(3)对任意的,若F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值,试求实数a的取值范围【解答】 (1)=时,f(x)=ax2x.当a=0时,f(x)=x,不合题意；当a0时,f(x)=ax2x在上递减,在上递增,f(x)在1,2上的最大值是maxf(1),f(2)=f(2),所以f(1)f(2),即a2a3,所以a1.综上所述,实数a的取值范围是1,)(2)当a=1时,F(x)=x22xsin2lnx,定义域为(0,),F(x)=x2sin222sin2=2cos20.当cos0时,F(x)0,F(x)在(0,)上单调递增,从而F(x)在其定义域内没有极值；当cos=0时,F(x)=x2=,令F(x)=0有x=1,但是x(0,1)时,F(x)0,F(x)单调递增,x(1,)时,F(x)0,F(x)也单调递增,所以F(x)在其定义域内也没有极值综上,F(x)在其定义域内没有极值(3)据题意可知,令F(x)=ax2sin2=0,即方程ax22xsin21=0在(0,)上恒有两个不相等的实数根即恒成立,因为,sin,所以0a0恒成立则g(x)在上单调递增即m的最小值为.题型四导数的综合应用例4设函数f(x)=x3ax2bx(x0)的图象与直线y=4相切于M(1,4)(1)求f(x)=x3ax2bx在区间(0,4上的最大值与最小值；(2)是否存在两个不等正数s,t(s0,故极值点(3,0)不在区间s,t上；若极值点M(1,4)在区间s,t上,此时0s1t3,在此区间上f(x)的最大值是4,不可能等于t,故在区间s,t上没有极值点；若f(x)=x36x29x在s,t上单调递增,即0st1或3st,则即解得不合要求；若f(x)=x36x29x在s,t上单调递减,即1st3,则两式相减并除以st得：(st)26(st)st10=0,两式相除并开方可得s(s3)2=t(t3)2,即s(3s)=t(3t),整理并除以st得,st=3,代入有st=1,与1st3矛盾,不存在这样的正数s、t.【变式】第(2)问改为:设存在两个不等正数s,t(st),当xs,t时,函数f(x)=x3ax2bx的值域是ks,kt,求正数k的取值范围【解析】同(2),极值点(3,0)不可能在区间s,t上；若极值点M(1,4)在区间s,t上,此时0s1t3,故有(i)或(ii)(i)由k=,1t3知,k,当且仅当t=1时,k=4；再由k=(s3)2,0s1知,k4,9),当且仅当s=1时,k=4.由于st,故不存在满足要求的k值(ii)由s=f(t)=f(t)=2,及0s1可解得2t3,所以k=,2tf(t),满足要求若函数f(x)在区间s,t上单调递增,则0st1或3st,且,故s,t是方程x26x9=k的两根,由于此方程两根之和为3,故s,t不可能同在一个单调增区间内；若函数f(x)在区间s,t上单调递减,则1st3,两式相减并整理得s2(s3)3=t2(t3)2,由1st3知s(s3)=t(t3),即st=3,再将两式相减并除以st得k=(s2stt2)6(st)9=(st)26(st)9st=st,即k=st,所以s,t是方程x23xk=0的两根,令g(x)=x23xk,则解得2k,即存在s=,s=满足要求综上可得,当k时,存在两个不等正数s,t(st),使xs,t时,函数f(x)=x36x29x的值域恰好是ks,kt三感悟高考1熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础2解单调性的题目时要注意判断端点能否取到,用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡3本单元重点体现了函数思想及等价转化的思想,在学习过程中应用心体会利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型,也是高考考查的重点,复习时应引起足够的重视四备战高考1. 曲线y=xx3在点(1,0)处的切线与两正坐标轴所围成的图形的面积是 .【解析】 Cy=13x2,故曲线在点(1,0)处的切线斜率是2,故其切线方程是y=2(x1),令x=0,得y=2.所围成的三角形的三个顶点坐标是(0,0),(1,0),(0,2),这个三角形的面积是1.2. 已知全集I=R,若函数f(x)=x23x2,集合M=x|f(x)0,N=x|f(x)0,则M(IN)等于_.解析由f(x)0解得1x2,故M=1,2；f(x)0,即2x30,即x,故N=(,),IN=,)故M(IN)=,23. (2010江西卷)若函数f(x)=ax4bx2c满足f(1)=2,则f(1)等于 .解析由题意知f(x)=4ax32bx,若f(1)=2,即f(1)=4a2b=2,从题中可知f(x)为奇函数,故f(1)=f(1)=4a2b=2,故选B.4(2010镇江模拟)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0知,F(x)0,即当x0时,F(x)是增函数又g(3)=0,F(x)的图象大体如图所示,f(x)g(x)0的范围为(,3)(0,3)4. 设aR,若函数y=exax,xR有大于零的极值点,则a的取值范围为_解析y=exax,y=exa.当a0时,y不可能有极值点,故a0,即ln(a)ln 1,a0恒成立,m()2,令g(x)=()2,则当=1时,函数g(x)取得最大值1,故m1.6. (2010扬州模拟)若函数f(x)=x3a2x满足：对于任意的x1,x20,1都有|f(x1)f(x2)|1恒成立,则a的取值范围是_解析问题等价于在0,1内f(x)maxf(x)min1.f(x)=x2a2,函数f(x)=x3a2x的极小值点是x=|a|,若|a|1,则函数f(x)在0,1上单调递减,故只要f(0)f(1)1即可,即a2,即1|a|；7. 给出定义：若函数f(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f(x)=(f(x),若f(x)0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数：f(x)=sinxcosx；f(x)=lnx2x；f(x)=x32x1；f(x)=xex.在上不是凸函数的是_【解析】 若f(x)=sinxcosx,则f(x)=sinxcosx,在x上,恒有f(x)0；若f(x)=lnx2x,则f(x)=,在x上,恒有f(x)0；若f(x)=x32x1,则f(x)=6x,在x上,恒有f(x)0,故不是8. 函数g(x)=ax32(1a)x23ax在区间内单调递减,则a的取值范围是_【解析】 g(x)在区间,内单调递减,g(x)=3ax24(1a)x3a在上的函数值非正,由于a0,故只需g=a(1a)3a0,注意到a0；当x(1,0)时,f(x)0.故f(x)在(,1),(0,)上单调递增,在(1,0)上单调递减(2)f(x)=x(ex1ax),令g(x)=ex1ax,g(x)=exa.若a1,则当x(0,)时,g(x)0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x0时,g(x)0,即f(x)0.若a1,则当x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x(0,ln a)时,g(x)0,即f(x)0时,令f(x)=0,得到x1=,x2=a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x（,）（