广义函数、脉冲函数的基本概念与性质.doc

广义函数、脉冲函数的基本概念与性质1 广义函数的产生一般地，给定非空数集A、B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。函数是数与数之间的一种对应关系，是经典数学分析的一个基本概念，是代数学中最重要的概念之一。自然科学的发展表明，古典的函数概念是不够的，或是不完全适合的。于是，广义函数论随之兴起。广义函数包括通常的函数在内，甚至更广。它应是无限次可导和自由地进行极限交换。广义函数被广泛地应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各个分支，例如微分方程、随机过程、流形理论等等，它还被应用到群的表示理论，特别是它有力地促进了偏微分方程近30年来的发展。历史上第一个广义函数是由物理学家P。A。M。狄拉克引进的，他因为陈述量子力学中某些量的关系时需要引入了“函数”：当x0时，=0，但x=0时，=。按20世纪前所形成的古典数学概念是无法理解这样奇怪的函数的。然而物理学上一切点量，如点质量、点电荷、偶极子、瞬时打击力、瞬时源等物理量用它来描述不仅方便、物理含义清楚，而且当它被当作普通函数参加运算，如对它进行微分和傅里叶变换，将它参与微分方程求解等所得到的数学结论和物理结论是吻合的。这就迫使人们要为这类怪函数确立严格的数学基础。最初理解的方式之一是把这种怪函数设想成直线上某种分布所相应的“密度”函数。所以广义函数又称为分布，广义函数论又叫做分布理论。用分布的观念为这些怪函数建立基础虽然很直观，但对于复杂情况就又显得繁琐而不很明确。后来随着泛函分析的发展，L。施瓦尔茨(1945)用泛函分析观点为广义函数建立了一整套严格的理论，接着。盖尔范德对广义函数论又作了重要发展。2 广义函数的定义把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。设，若满足以下条件：（1）存在一个紧集，使得（2）对于任意多重指标函数列在K上一致收敛于，即则称收敛于，记为，而称按照收敛概念及线性运算为基本函数空间，并记作，在明确时，可简写为D。基本函数空间D上的一切线性连续泛函，若满足以下条件：（1）线性：对于任何数、及有（2）连续：设，若，则有则称这样的线性连续泛函为D上的广义函数。3 的严格数学定义现在我们可以给出一个严格的数学定义。设为非空开集，对于任意，定义，根据线性泛函定义，显然为D上的线性泛函。设，若，则更有从而即在D上是连续的，所以是一个广义函数，称为集中在点a的Dirac广义函数，简称为函数。特别，当（中零元素）时，记为。4 函数的特性4.1 微分性质冲激函数的一阶导数可定义为n阶导数为由于选好了性能良好的检验函数空间，广义函数的各阶导数存在并属于缓增广义函数空间，广义函数的求导运算和求极限运算可以交换次序，这就摆脱了普通函数求导求极限运算的限制，分析更加灵活简便。4.2 积分性质设有一广义函数的导数，即，就称是的原函数(按广义函数理论原函数一定存在)取-到x的积分，且令，则有：这样函数的积分就定义为:这里应注意，以上两式不能看作普通积分，除在x=0处以外处处为零，看作普通函数是无意义的，这里仅仅是一种表示形式，它表明的原函数是，的原函数是。当时有和。4.3 取样性质根据函数的广义定义，可以推出下面公式:f(0)为普通函数，即使f(x)是缓升的，只要f(x)在x=0处连续，上式则成立，被称为函数的取样性质，即冲激函数从普通函数f(x)中选出函数值f(0)。也可以推出。4.4 移位性质表示在处的冲激，在处的冲激函数可表示为，式中的为常数，于是有这样我们取出了和