320编辑过的数学问题333 设P是三角形ABC内的一点.doc

运用几何画板对数学问题333的直观求解广东省台山市鹏权中学 （529200）周海强数学问题3331 阮可之. 赛瓦三角形的周长的大小J.中学数学研究,2009(9).1 设P是三角形ABC内的一点，直线AP、BP、CP与三边的交点分别为D、E、F，则三角形DEF叫做点P的赛瓦（Ceva）三角形问题一 如果点P是：（1）垂心（在三角形内部）；（2）内心；（3）外心（在三角形内部）；（4）约尔刚（Gergonne）点（D、E、F是内切圆切点）；（5）奈格尔（Nagec）点（D、E、F是旁切圆切点）试证明（或者否定）赛瓦三角形的周长不大于原三角形周长的一半，问题二 试求使上述不等式成立的点P的轨迹这是阮可之老师在中学数学研究2009(9)中提出的问题下面我用几何画板的动态运算功能对该问题进行证明首先讨论取“=”的情况容易证明当三角形ABC为等边三角形时问题一的五种情况中“=”都成立由于过程简单,本文不再敖述下面就三角形ABC为一般三角形的情况进行探究一、当点P为垂心时的情况（1）作一个三角形ABC，找到垂心P，连接AP、BP、CP并延长与三边的交点分别为D、E、F，则三角形DEF叫做点P的赛瓦三角形；（2）度量AB、BC、CA的长度；（3）度量DE、EF、FD的长度；（4）计算；（5）拖动点A（或点B、C，或者A、B、C其中任意两点）观察（4）的计算结果都是负值图是点移动过程中的截图图 1当三角形ABC为等边三角形时结果为0 即所以二、当点P为内心时的情况（1）作一个三角形ABC，找到内心P，连接AP、BP、CP并延长与三边的交点分别为D、E、F，则三角形DEF叫做点P的赛瓦三角形；（2）（3）（4）同上；（5）拖动点A（或点B、C，或者A、B、C其中任意两点）观察（4）的计算结果为负值同理有，当点P为内心时三、当点P为外心（在三角形内部）时的情况（1）作一个三角形ABC，找到外心P，连接AP、BP、CP并延长与三边的交点分别为D、E、F，则三角形DEF叫做点P的赛瓦三角形；（2）（3）（4）同上；（5）拖动点A（或点B、C，或者A、B、C其中任意两点）观察（4）的计算结果为正值图2是点移动过程中的截图图 2当三角形ABC为等边三角形时结果为 即所以四、当点P为约尔刚（Gergonne）点（D、E、F是内切圆切点）时的情况（1）作一个三角形ABC，并作出它的内切圆，找到三个切点D、E、F连接AD、BE、CF相交于一点P，则三角形DEF叫做点P的赛瓦三角形；（2）（3）（4）同上；（5）拖动点A（或点B、C，或者A、B、C其中任意两点）观察（4）的计算结果为负值图3是点移动过程中的截图当三角形ABC为等边三角形时结果为0 即所以图 3五、当点P为奈格尔（Nagec）点（D、E、F是旁切圆切点）时的情况（1）作一个三角形ABC，并作出它的奈格尔点D、E、F连接AD、BE、CF相交于一点P，则三角形DEF叫做点P的赛瓦三角形；（2）（3）（4）同上；（5）拖动点A（或点B、C，或者A、B、C其中任意两点）观察（4）的计算结果为正值图4是点移动过程中的截图图 4当三角形ABC为等边三角形时结果为 即所以综上所述，当点P为垂心（在三角形内部）或者内心或者约尔刚点时赛瓦三角形的周长不大于原三角形周长的一半，成立。当点P为外心（在三角形内部）或者