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解直角三角形的应用一、选择题中国%*教育出版网1. （2012年江苏沭阳银河学校质检题）在直角三角形中不能求解的是（）A、已知一直角边和一锐角 B、已知斜边和一锐角C、已知两边 D、已知两角答案：D.2. （2012年江苏沭阳银河学校质检题）在直角三角形中不能求解的是（）A、已知一直角边和一锐角 B、已知斜边和一锐角C、已知两边 D、已知两角答案：D.3. （2012年江苏沭阳银河学校质检题）如图所示，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD=100m，点C在BD上，则山高AB为（）A、100m B、m C、m D、m答案：D.4、（2012年浙江省杭州市一模）如图，在RtABC中，AB=CB，BOAC，把ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF下列结论：tanADB=2；图中有4对全等三角形；若将DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；BD=BF；，上述结论中正确的个数是（）A. 4个B. 3个 C. 2个D. 1个 第1题答案：B二、填空题1 （2012年江苏沭阳银河学校质检题）在RtABC中，C=900，若cosB=，则=，若此时ABC的周长为48，那么ABC的面积 。答案：.2、 （海南省2012年中考数学科模拟）如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m,路基高为4m,则路基的下底宽为 。答案：18m中国教育出%版#网*三、解答题1、（2012年福建福州质量检查）(每小题7分，共14分)(1) 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE和延长线与DC的延长线相交于点F证明：ABEFCEABCDEF第17(1)题图ABCD第17(2)题图(2) 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为45，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离AD80m，这栋高楼有多高(1.732，结果保留小数点后一位)？答案：(1)证明：AB与CD是平行四边形ABCD的对边，ABCD， 2分FFAB4分E是BC的中点， BECE，5分又 AEBFEC， 6分 ABEFCE 7分(2)解：如图，45，60，AD80ABCD在RtADB中，tan，BDADtan80tan45802分在RtADC中，tan， CDADtan80tan60805分BCBDCD8080218.6答：这栋楼高约为218.6m 7分第1题图2（2012年浙江丽水一模）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度（取1.732，结果精确到1m）答案：第1题图解：设CExm，则由题意可知BExm，AE(x100)m在RtAEC中，tanCAE，即tan30，3x(x100)解得x5050136.6CDCEED(136.61.5)138.1138(m)答：该建筑物的高度约为138m3、（2012年浙江金华四模）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的BAD=60使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：错误！未找到引用源。1.732）答案：解：灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30，sin30=，CM=15cm.sin60=错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，解得BF=20错误！未找到引用源。，CE=2+15+20错误！未找到引用源。51.6cm答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm4、（2012年浙江金华五模）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45降为30，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）ABCD3045（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据： ) 答案（1）在中， （1分） 中 （2分）改善后的滑滑板会加长2.07m （4分）（2）这样改造能行因为，而 （6分）5、（2012山东省德州二模）如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、第10层，每层高度为3 m假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为 (1) 用含的式子表示h(不必指出的取值范围)；(2) 当30时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若每小时增加15，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 ？答案：(1)过点E作EFAB于F，由题意，四边形ACEF为矩形. 1分EF=AC=30，AF=CE=h, BEF=，BF=310-h=30-h. 2分又 在RtBEF中，tanBEF=，3分tan=，即30 - h=30tan. h=30-30tan. 5分(2)当30时，h=30-30tan30=30-3012.7，6分 12.734.2， B点的影子落在乙楼的第五层 . 7分当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.此时，由AB=AC=30，知ABC是等腰直角三角形，ACB45，9分 = 1(小时).故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光10分6（2012山东省德州一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c过A作ADBC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 同理有，所以 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.A. 如图，ABC中，B=450,C=750，BC=60， 则A= ；AC= ； 第27题图2第27题图1第27题图3www.z%z#step.co&m (2)如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向上，随后货轮以60海里时的速度按北偏东30的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.答案：解：（1）A=600，AC=4 (2)如图，依题意：BC=600.5=30（海里） CDBE DCB+CBE=1800 DCB=300CBE=1500ABE=750ABC=750A=4507 在ABC中， 9解之得：AB=1510 答：货轮距灯塔的距离AB=15海里117（2012上海市奉贤区调研试题）在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，坝高10m，迎水坡面的坡度，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽，求坝底将会沿方向加宽多少米？答案：解：（1）过点作于 （1分） 在中，且 （2分） （2分）（2）如图，延长至点，至点，连接，过点作于 在中，且， ， （2分） 方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变 （1分）ABCMDGFEN即 （1分） 8、（2012江苏无锡前洲中学模拟） 如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得AEP74，BEQ30；在点F处测得AFP60，BFQ60，EF1km（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）（参考数据：1.73，ADBADEBADFEBADQFEBADPQFEBAD第23题sin740.96，cos740.28，tan743.49，sin760.97，cos760.24）答案：（1）相等，证明：BEQ30，BFQ60，EBF30，EFBF又AFP60，BFA60在AEF与ABF中，EFBF，AFEAFB，AFAF，AEFABF，ABAE 4分 （2）作AHPQ，垂足为H，设AEx，则AHxsin74，HExcos74，HFxcos741RtAHF中，AHHFtan60，xcos74(xcos741)tan60，即0.96x(0.28x1)1.73，x3.6，即AB3.6 km答：略8分9（2012江苏扬州中学一模）2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。已知山坡的坡角AEF=23,量得树干的倾斜角为BAC=38,大树被折 断部分和坡面所成的角ADC=60，AD=4米。（1）求DAC的度数；第26题C6038BDE23AF（2）求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：，）案答案：（1）755分（2）（）米10分10、(2012年，辽宁省营口市)（10分）2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树， 海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。已知山坡的坡角AEF=23，量得树干的倾斜角为BAC=38,大树被折断部分和坡面所成的角ADC=60,AD=4m。C6038BDE23AF（1）求DAC的度数；（2）求这棵大树折断前AB的高？（结果精确到个位，参考数据：，）答案：解：（1）延长交于点在中，又中国教*育%出版网C6038BDE23AFHG在中，（2）过点作，垂足为，在中，（米）答：这棵大树折断前高约10米11. （2012年，广东一模）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB6 m，ABC45，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使ADC30(如图14所示)(1)求调整后楼梯AD的长；(2)求BD的长(结果保留根号)图14解：(1)已知AB6 m，ABC45，www.%zzstep.c#&omACBCABsin4563 ，ADC30，AD2AC6 .答：调整后楼梯AD的长为6 m.(2)CDADcos306 3 ，BDCDBC3 3 .答：BD的长为(3 3 )m.12. （2012年，广东二模）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估如图26，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？图26中国#教育出版网&%解：如图D61，过点P作PCAB，垂足为C，设PCx海里，在RtAPC中，tanA，AC.图D61在RtPCB中，tanB，BC.ACBCAB215，215，解得 x60.sinB，PB60100(海里)海检船所在B处与城市P的距离为100海里13、(2012年春期福集镇青龙中学中考模拟)（本小题满分6分）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为，测得旗杆底部C的俯角为，已知点A距地面的高AD为12 m求旗杆的高度（第1题）ep#.&com解：过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE 1分中国#&教育出*版网 CE = AD=12 2分RtACE中，4分RtABE中，6分BC=CE+BE=16 m 7分答：旗杆的高度为16 m8分www.zz&st#ep.co*m中国教*%育出#版网（另解）过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE 1 分 CE = AD=122分设，RtABE中，4分 同理，解得6分 BC=CE+BE=16 m7分答：旗杆的高度为16 m8分中&国#教育*出版网BMA北东第1题图14（2012年江苏南通三模）如图，我边防哨所A测得一走私船在A的西北方向B处由南向北正以每小时10海里的速度逃跑，我缉私艇迅速朝A的西偏北600的方向出水拦截，2小时后终于在B地正北方向M处拦截住，试求缉私船的速度（参考数据：）答案：27.3海里/时. 15.（2012年江苏海安县质量与反馈） 如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B 地需要经过DC，沿折线ADCB到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地已知BC=10km，A=45，B=37，桥DC和AB平行CDABFEG第2题图（1）求两桥之间的距离CG（CGAB）；（2）从A地到达B地可比原来少走多少路程？中%&国#教育出版网（精确到01 km）（参考数据：sin37060，cos37080答案：（1）CG=6km;（2）作DHAB,得到DH=HA=6,AD= ,所以少走的路程是（AD+CD+BC）-（BG+GH+AH）=+10-144.5km.16.（2012年江苏沭阳银河学校质检题）如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡第3题图度i=1：0.5，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2米的人行道，请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由。（在地面上，以B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）答案：AB=+212，不需要将人行道封上.第1题图17、(2012四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为，测得旗杆底部C的俯角为，已知点A距地面的高AD为12 m求旗杆的高度中#国教育出版&网中国教&育出*版网#中国教&育#出*版网www.%zzst&e#中&国教育*%出版网源:#中教*网&w&ww.*答案：过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE 1分 CE = AD=12 2分RtACE中，4分RtABE中，6分BC=CE+BE=16 m 7分答：旗杆的高度为16 m8分（另解）过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE 1 分 CE = AD=122分设，RtABE中，4分 中国*教育出&版网同理，解得6分 BC=CE+BE=16 m7分答：旗杆的高度为16 m8分中&国#教育第1题图18、(2012四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为，测得旗杆底部C的俯角为，已知点A距地面的高AD为12 m求旗杆的高度w*w&中&%国教*育出版网中国教育%出版#*网www.zz#ste%www.zzste*p.%com源:#中教*网&中国教#育出版网*&中国%&*教育出版网答案：过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE 1分 CE = AD=12 2分RtACE中，4分RtABE中，6分BC=CE+BE=16 m 7分ww#*答：旗杆的高度为16 m8分（另解）过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE 1 分 CE = AD=122分设，RtABE中，4分 同理，解得6分 BC=CE+BE=16 m7分答：旗杆的高度为16 m8分中&国#教育19、（2012年4月韶山市初三质量检测）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50 70 (为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC . (结果保留两个有效数字，sin70 0.94，sin50 0.77，cos70 0.34 ，cos50 0.64 ) 【解】当=70时，梯子顶端达到的最大高度，sin=，AC = sin7060.946=5.645.6(米)答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.北20、（2012年北京中考数学模拟试卷）一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45方向上(1)请根据以上描述，画出图形(2)已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？答案：(1)如图(2)答：这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险。解：作CD直线AB于点D，北ABDC 由已知可得CAD=30, CBD=45， AB=100米。 设CD=米。 在RtACD中 tanCAD= AD= 在RtCBD中 CBD=45, BD=CD=x， AD-BD=AB， 。 解得中国教&育出*版网这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。21、(2012年北京市延庆县一诊考试)如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30，测得旗杆底部C的俯角为60，已知点A距地面的高AD为12m求旗杆的高度#*出%版网解：过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE，CE=AD=12. RtACE中，EAC=60，CE=12，AE=. RtABE中，BAE=30，BE=AE.BC=CE+BE=16m. 答：旗杆的高度为16m.www.zzstep%.#com22、（2012双柏县学业水平模拟考试）小明用一个有30角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度他将30角的直角边水平放在1.5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为10米试求旗杆AB的高度（精确到0.l米）答案：解：在RtAEC tanACE=， AE =tan30105.77 AB=AE+EB=5.77+1.5=7.277.3(米)23、淮南市洞山中学第四次质量检测，18,10分（本题10分）如图，在中，是边上的高， 求的长(结果保留根号)解：AD是BC边上的高 在RtADC中， 在RtADB中，24、淮南市洞山中学第四次质量检测，19,10分（本题10分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE= 5cm，且tanEFC=.（1）AFB 与FEC有什么关系？ 试证明你的结论。（2）求矩形ABCD的周长。ACBDEF解：（1）AFBFEC. www#%.*证明：由题意得：AFE=D=90 又B=C=90 BAF+AFB=90 , EFC+AFB=90BAF=EFC AFBFEC（2）设EC=3x,FC=4x，则有DE=EF=5x ，AB=CD=3x+ 5x=8x由AFBFEC得： 即： = BF=6x BC=BFCF=6x+ 4x= 10x在RtADE中，AD=BC=10x，AE=，则有解得（舍去） AB+BC+CD+DA=36x=36(cm) 答：矩形ABCD的周长为36cm.ABCDE456025、（2012深圳市龙城中学质量检测）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45已知山坡AB的坡度i1:，AB10米，AE15米，求这块宣传牌CD的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732）(7分)中国教育出版&网*#%答案：26、河南开封2012年中招第一次模拟（8分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景，如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC（取1.73，结果保留整数）。答案：27、ABDCE第1题图601.5 （海南省2012年中考数学科模拟）(本题满分8分) 如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60，目高1.5米，试求该塔的高度。（1.41，1.73）中国%*教育出版网答案：(本题满分8分)y=1解：由题意可知 CD=10米，BD=1.5米，ACD=60。在RtACD中，www.z#z&AD=CDtan60= 10 5分 第21题图xyOCBAA1B1(C1,C2)A2B2AB=AD+DB=10 + 1.5 101.73 + 1.5 =18.8（米） 7分答：该塔的高度是18.8米 。 8分www#.&zzstep*.com28. （2012年广东模拟）(本小题满分6分)在ABC中，已知AB=1，AC=，ABC=45，求ACB的面积. （改编）答案(本小题满分6分)当C为钝角时，S=; -3分 当C为锐角时，S= -3分29. （柳州市2012年中考数学模拟试题）（7分） 如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为30，测得条幅端点B的俯角为45o；小雯在三楼C点测得条幅端点A的仰角为45o，测得条幅端点B的俯角为30若设楼层高度CD为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB的长（结果精确到个位，参考数据=1732）答案：解：过D作DMAE于M，过C作CNAE于N，则：MN=CD=3米，设AM=x，则AN=x+3， 由题意：ADM =30，ACN =45， 在RtADM中，DM=AMcot30=x，在RtANC中，CN=AN=x+3， 又DM=CN=MB，x=x+3，解之得，x=（+1），AB=AM+MB=x+x+3=2（+1）+3=3+611（米）30（2012年浙江省杭州市一模）（本题满分8分）丁丁想在一个矩形材料中剪出中国&教育出#*版网如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度中&国教育出#版网（结果精确到个位，）第1题解：由ABC=120可得EBC=60，在RtBCE中，CE=51，EBC=60，因此tan60=错误！未找到引用源。，BE=错误！未找到引用源。， (3分)在矩形AECF中，由BAD=45，得ADF=DAF=45，因此DF=AF=51， （2分）FC=AE=34+30=64，CD=FCFD6451=13， （2分）因此BE的长度约为30cm，CD的长度约为13cm（1分）31、(徐州市2012年模拟)（8分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：1.414，1.732（第25题图）解：如图所示，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF分别交BC于点E、F，-1分所以ABE、CDF均为Rt，又因为CD14，DCF30，所以DF7AE，-4分所以FC712.1 -6分所以BC7612.125.1m-8分www.zz&ste*（第25题图） 32. （盐城地区20112012学年度适应性训练）（本题满分10分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36，求长方形卡片的周长”请你帮小艳解答这道题（结果精确到1mm）解：作BEl于点E，DFl于点F 2分+DAF=180-BAD=180-90=90，ADF+DAF=90，ADF=36根据题意，得BE=24mm, DF=48mm 4分