333 函数的最大(小)值与导数.ppt

3 3 3函数的最大 小 值与导数 必要条件 一 知识回顾 导数的应用之三 求函数最值 在某些问题中 往往关心的是函数在整个定义域区间上 哪个值最大或最小的问题 这就是我们通常所说的最值问题 二 新课引入 问 最大值与最小值可能在何处取得 怎样求最大值与最小值 观察极值与最值的关系 函数的最值 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 你能找出函数y f x 在区间 a b 上的最大值 最小值吗 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 在闭区间 a b 上的函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 则它必有最大值和最小值 2 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 三 建构数学 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则一定是极大值 或极小值 4 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则在确定函数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值 o x y a b o x y a b o x y a b o x y a b y f x y f x y f x y f x 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数 注 求函数最值的一般方法 例1 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的最大值和最小值 法一 将二次函数f x x2 4x 6配方 利用二次函数单调性处理 四 数学运用 法二 解f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 3 11 2 故函数f x 在区间 1 5 内有极小值为2 最大值为11 最小值为2 例1的变式题 求函数f x x2 4x 6在区间 2 5 内的极值和最值 1 如果函数f x 在 a b 上单调增加 减少 则f a 是f x 在 a b 上的最小值 最大值 f b 是f x 在 a b 上的最大值 最小值 函数的最值一般有两种情况 如果函数在区间 a b 内有且仅有一个极大 小 值 而没有极小 大 值 则此极大 小 值就是函数在区间 a b 上的最大 小 值 2 如果函数在区间 a b 内有极值 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求函数在闭区间内的最值的步骤 求出函数y f x 在 a b 内的全部驻点和驻点处的函数值 2 求出区间端点处的函数值 比较以上各函数值 其中最大的就是函数的最大值 最小的就是函数的最小值 例2 求函数y x 3x 9x在上 4 4 的最大值和最小值 解 1 由f x 3x 6x 9 2 区间端点 4 4 处的函数值为f 4 20 f 4 76 3 比较以上各函数值 得驻点为x1 3 x2 1 驻点处的函数值为f 3 27 f 1 4 可知函数在 4 4 上的最大值为f 4 76 最小值为f 3 27 思考 你能作出函数f x 的大致图象吗 例3 求f x x 2 sinx在区间 0 2 上的最值 例题讲解 例1 求函数在区间上的最大值与最小值 解 从表上可知 最大值是13 最小值是4 例2 解 计算 比较得 求下列函数在指定区间内的最大值和最小值 最大值f 2 2 最小值f 2 2 最大值f 1 29 最小值f 3 61 补充练习 最大值f 3 4 5 4 最小值f 5 5 导数 导数的定义 求导公式与法则 导数的应用 导数的几何意义 多项式函数的导数 函数单调性 函数的极值 函数的最值 五 回顾小结 求函数f x 在 a b 内的极值 1 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数f x