导数应用经典例题教师.doc

例1解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=f（x）在-3，1上的最大值为13，最小值为强化训练1. 函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.解 先求导数,得y=4x3-4x,令y=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.导数y的正负以及f(-2),f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y-0+0-0+y1345413从上表知,当x=2时,函数有最大值13,当x=1时,函数有最小值4.强化训练2. 解 （1）由f（x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0当x=时，y=f(x)有极值，则f（）=0,可得4a+3b+4=0由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4,令f(x)=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-2(-2,)(,1)1 +0-0+y8单调增递13单调递减单调递增4 y=f(x)在-3，1上的最大值为13，最小值为例2 设函数f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)处的切线方程；（2）当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,=-3x2+4x-1,-12+8-1=-5,当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2)处的切线方程为5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令=0,解得x=或x=a.由于a0，以下分两种情况讨论.若a0，当x变化时，的正负如下表：x(-,)(,a)a(a,+)-0+0-f(x)0因此，函数f(x)在x=处取得极小值f（），且f（）=-函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.若a0，当x变化时，的正负如下表：x(-,a)a(a,)(,+)-0+0-f(x)0-因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；函数f(x)在x=处取得极大值f（）,且f（）=-.例3.解 （1）=3x2-x+b,因f(x)在（-，+）上是增函数，则0.即3x2-x+b0,bx-3x2在（-，+）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,b.(2)由题意知=0，即3-1+b=0，b=-2.x-1,2时，f(x)c2恒成立，只需f(x)在-1，2上的最大值小于c2即可.因=3x2-x-2,令=0,得x=1或x=-.f(1)=-+c,f(-f(2)=2+c.f(x)max=f(2)=2+c,2+c2或c-1，所以c的取值范围为（-，-1）（2，+）例4（1）函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,F(-x)=-F(x)，化简计算得b=3.函数f(x)在x=-1处取极值，=0.f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c=-6-6+c=0,c=12.f(x)=-2x3+3x2+12x,（2）=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2).令=0,得x1=-1,x2=2,x-3(-3,-1)-1(-1,2)2（2，3）3-0+0-f(x)45-7209函数f(x)在-3，-1和2，3上是减函数，函数f(x)在-1，2上是增函数.例5解 f(x)= e x-a.(1)若a0，f(x)= ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a0, ex-a0,exa,xlna.f(x)的递增区间为（lna，+）.（2）f（x）在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0,a0.（3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.强化练习：1）解 由已知f(x)=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，f(x)=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，f(x)=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a0.（2）解 由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a=3时，f(x)=3(x2-1),在x(-1,1)上，f(x)0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 f(-1)=a-2a,f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.导数及其应用单元检测题答案一、选择题1.答案D2答案A3.答案 A4.答案A5.答案b6.答案A7.答案 D 8.答案B9.答案A10.答案B11.答案B12.答案A二、填空题 13.答案 -1，214.答案 15.答案 -1，0和2，+）16.答案 6 17.118. 解：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是 故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0).令x0，得y，从而得切线与