第2章 随机信号分析.doc

第二章 随机信号分析 2.1引言一、随机过程的概念1 随机变量：在每次试验的结果中，以一定的概率取某个预先未知，但取值范围确定的数值。在无线电技术中，常常必须涉及到在试验过程中随时间而改变的随机变量。例：自然界中的各种电磁噪声：通信设备本身产生的热噪声、散粒噪声，甚至通信系统传输的信号对接收者来说也是预先未知的随时间变化的随机变量。2 随机过程：随时间而变化的随机变量。随机函数：随某参量而变化的随机变量。随机过程兼有随机变量和随机函数的特点。二、随机过程以及其样本函数实验：对接收机的输出噪声电压（或电流）的观察。不同的观察结果可能会记录下不同电压具体波形，如：,但由于噪声电压的随机性，不可能出现两次观察记录完全一致的电压波动。所有可能的的集合就构成了随机过程的描述，而每次试验的记录都是一个确定的时间函数。样本函数或实现：随机过程每一次记录的一个确定的时间函数，称为随机过程的一个样本函数或一个实现。*随机过程的另一种定义：随机过程是这样的函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取一定的、但预先未知的时间函数。三、随机过程与随机变量的关系当参变量固定在某一时刻时，由图可见，各样本函数的取值为：其中，大小各不相同，且具有随机性。其构成了一般意义下的随机变量，即：随机过程在某一时刻的取值为一随机变量。当取不同的固定值时，随机过程就是产生一族随机变量。而这一族随机变量是随着时间而变化的，这就是两者之间的关系。其告诉我们可以通过对随机过程在不同时刻的随机变量特征来近似得描述和研究随机过程的特征。 2.2随机过程的一般描述一、 随机过程的概率分布和密度函数设为一随机过程，任一时刻上的是一随机变量故的概率为：称为随机过程的一维分布函数。若存在，则 称为的一维概率密度函数一维特征只能描述随机过程某一时刻的随机特征，故可用的维的分布函数和密度函数来近似地描述随机过程，即：理论上，可以无限地增加和减小时间间隔，从而可精确地描述的统计特性。但实际上非常不方便，甚至无法做到。所幸的是，在许多实际问题中，掌握二维分布特性就已经能够描述通信中所遇到的随机过程。二、 随机过程的统计平均特征（数字特征）1 数学期望（统计平均值）对随机变量 ，由于的任意性，因此，随机过程的数学期望是的确定函数，即：其为一个平均函数，随机过程就是在它附近变动。如为一噪声电压，的物理意义：噪声电压的瞬时统计平均值。2 方差同理，定义随机过程的方差为：（的任意性，将写为）也是的确定函数。其物理意义：噪声电压消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。其中，是非负函数，其平方根称为随机过程的标准差：3 自相关函数数学期望与方差只描述了随机过程各时刻点函数值的统计平均特征，并没有反映出随机过程的各时刻间随机变量的相互关系，即随机过程的内在联系（关联性，波及性）。例如：和两个随机过程，尽管有大致相同的数学期望和方差，但二者的内部结构却有明显的差别，即：随时间变化缓慢，不同时间的取值之间有较强的关联性（或称相关性）；随时间变化急剧，不同时刻的取值之间相关性要弱得多。自相关函数就是用来描述随机过程的这种内在联系的特征。其定义为：它反映了在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，亦称：原点相关矩。自协方差函数定义为：亦称为：中心相关矩两者间关系： 相关函数和自协方差函数是和的确定函数。若，则 都是和的函数。其中，：时间起点；：时间间隔。2.3平稳随机过程与各态历经过程平稳随机过程是通信中最常遇到也是最重要的一种特殊类型的随机过程。一、 平稳随机过程的定义1、 狭义平稳随机过程设为一随机过程，如果对于任意的和，其维概率密度满足：则称是狭义平稳随机过程即：狭义平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。也就是说，其统计特性在相当长的时间内是不变的。根据以上定义不难得到：以及： 可见：狭义平稳随机过程的数学期望和方差都是常数，与时间无关；相关函数只是时间差的函数，而与时间起点无关。问题：只有了解了概率密度函数的特性才能判断随机过程的平稳性。往往很难获得定义中的条件。因此，有下面的广义平稳随机过程的定义。2、 广义平稳随机过程的定义：设为一随机过程，若满足：则称为广义平稳随机过程或弱平稳随机过程。3、 狭义与广义间关系狭义平稳必定是广义平稳的，但反之则不一定。因为：狭义平稳的定义条件本身包含了广义平稳的条件。（由上述结果可知）。但满足广义平稳条件的随机过程，它的维概率密度函数却不一定能满足狭义平稳的条件要求。因此它未必是狭义平稳随机过程。今后均指广义平稳。广义平稳可避开概率函数的获取。为何？二、 集合平均与时间平均同一时刻，平行地做同一种具有随机结果的有限次试验，所得的平行样本函数的各种平均特性，称为有限集合平均。例：第个试验，在t1时刻的随机试验的结果。由这N个平行的随机样本值，可做出在t1时刻的各种平均特性，称为有限集合平均。 集合平均统计平均其意义在于：求统计平均必须知道函数概率密度，但其不易得到。若引入集合平均的概念，则有：即，可回避概率函数求和相关函数 但其难点是：需要无穷多个平行的试验样本值。问题的提出：是否可以用同一试验装置在不同时刻的随机试验结果来代替很多个试验装置在同一时刻平行得到的随机试验结果呢？如果可以，就能用单一实验装置试验结果来表征一个随机过程的特性。设某一试验装置在时间的随机试验结果的记录为，即每一时刻的值为一随机变量的一个随机过程。其时间平均值的定义为问题：上述结果是否可分别代替, 和?，,能分别代替, ，的条件是：1 所涉及的随机过程是平稳的；时间平均要能够代替所有不同时刻随机变量的集合平均或统计平均，则要求必须为常数，即。同理：,即自相关函数只与时间差有关。2在不同时刻的取值，要能够充分反映任一时刻随机变量的取值。即样本函数要能够遍及其随机过程所有可能的取值状态。即具有各态历经性。结论：平稳随机过程在满足各态历经性的条件下，其时间平均可代替其集合平均和统计平均。即：, , 绝大部分的平稳过程都具有各态历经性，但并非全体都具有各态历经性。平稳过程的各态历经过程的充要条件：其中或 2.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度一、 相关函数的性质设为实平稳随机过程，则1、 S，的平均功率为。 往往能量无穷。而平均功率却是有限的。能量信号与功率信号的区别。2、 自相关函数为偶函数3、 | 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。4、 的直流功率为5、 方差 交流功率 平均功率直流功率可见：相关函数可以表示随机过程（信号）几乎所有的数字特征。（所有功率、平均值、偏离平均值的程度，不同时刻随机变量关联性）二、 功率谱密度信号可用能量特征来加以区别。能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号；功率信号：平均信号为有限值而总能量为无穷大的信号。例如：若 , 则信号能量为，平均功率为：若 , 则总能量为： 平均功率：信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为：故为能量谱密度函数，由能量与平均功率的关系可知：其为：功率谱密度函数 若为一功率信号，则其功率谱密度函数为对确知的功率信号有上述的结论。而对功率型的平稳随机信号情况如何呢？以下均讨论功率型平稳随机信号。为何？随机信号的每一样本函数（或实现）都是一确定的时间函数，因此，对于每个样本函数都可以求得它的功率谱密度函数，但由于其随机性，各样本函数不同，故任一样本函数对应的功率谱密度函数都不能用来作为随机过程的功率谱密度函数。因此，只能将所有可能出现的功率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率谱密度函数才是合理的。一个随机过程的功率谱密度函数为：可见：2.5高斯过程一、高斯过程是其任意维概率密度函数有如下形式： （2.5.1）其中：; ;行列式中元素的代数余因子；归一化协方差函数：高斯过程的性质：1、高斯过程若是广义平稳的，则必是狭义平稳的。（高斯过程的概率密度函数仅由均值、方差、协方差确定）2、若高斯过程中的随机变量之间不相关，则各随机变量是统计独立的。二、高斯过程的一维概率密度函数当（2.5-1）式中时，则可得高斯过程的一维随机变量的概率密度函数：其性质：1、对称于，即 2、在内单调上升，在内单调下降。且在处达到极大值：；在处，。3、由的对称性及，可得：4、 确定的中心位置，确定图形的宽窄。时，为的标准化形式，即， 。三、高斯过程的一维分布函数、 正态分布函数由分布函数的定义，可得其中：定义为概率积分函数，此积分值一般由查表获取。、 正态分布函数与误差函数间的关系误差函数定义：互补误差函数定义：若，则下式成立 （2.5-12）若, 则下式成立 （2.5-13）令，则上式给出了分布函数与误差函数，互补误差函数间的关系。由可知：i ) 当时，或ii ) 当或引用上述关系式，主要是为讨论通信系统抗噪声性能服务的。可归纳为：2.6 窄带随机过程很多无线电系统的通频带是比较窄的，它们远小于中心频率，这种系统只允许靠近附近的频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：， 一般为高频。同理，可定义窄带随机过程，即：若随机过程的功率谱密度函数分布在较窄的频率范围内，则称该过程为窄带随机过程。记为：例：下图为一窄带随机过程的功率谱密度问题: 如何呢？、 由可知:若占的频带很窄，则也一定占很窄的频带。、 频移特性（信号与线性系统上册P166-168）可知：该谱特征实际上是一个具有幅度慢变化（窄）的随机过程谱特征经移频变换的结果。即时域中的一个慢变化信号对一高频（）信号的调幅变换。因此，任一窄带随机过程可用下式表示：表达式1：引入是为了不失一般性的考虑。式中与分别称为的包络函数与相位函数，且两者都是随时间t慢变化的随机过程。的一个实现（样本函数）如图2-4（b）所示。表达式2： 其中：称为的同相分量，称为的正交分量引入表达式2的目的： 将分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。问题：若已知的统计特性，（讨论平稳窄带过程）则其和或和的统计特性如何确定呢？一、和的统计特性、 均值 由的条件，可知：。、 相关函数 由的平稳性：，可知：的自相关函数应该与时间无关（即可为任何值，而不影响），而仅与有关。故，（1） 令 ，可得： （2.6-9）（2） 令，可得： （2.6-10）结论一: 若是广义平稳的, 则与也是广义平稳的。l 、以及、的性质：性质1. 窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。 （1）性质2. 同相和正交分量的互相关函数为奇函数。 由式（1）同理可得： 。 由互相关函数性质：，可得：。性质3. 同一时刻的与互不相关。 和为奇函数 性质4. 零均窄带平稳随机过程、的方差相同。 由（2.6-9）和(2.6-10)式, 令, 可得: 。 若窄带平稳随机过程的均值为零，则可得： 、 零均窄带平稳高斯随机过程由，可得：。由为高斯的可知：和也是高斯随机变量。又高斯过程若是广义平稳的，则一定是狭义平稳的，而狭义平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：， 的任意性。， 的任意性。故，结论二、零均窄带平稳高斯随机过程，其同相分量和正交分量同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带平稳过程的性质。同时由可知：同时刻的与互不相关， 统计独立。二、和的统计特性 若为零均窄带平稳高斯随机过程，则 。 设和的二维概率密度函数为： 其中：则，。 。又 （的包络），相位在上取值。由边缘分布可得：结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：，其包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。且与是统计独立的。 三、白噪声与带限白噪声有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或不满足条件的）随机过程，称为非窄带过程。l 一种极端的情况，功率谱在整个频域内均匀分布的随机 过程，该随机过程称为白噪声。其功率谱密度函数和自相关函数为：。 其中：为常数，单位：结论：同一时刻的白噪声才相关，即，任意不同时刻的白噪声是不相关的。l 若：，则称为带限白噪声。对应的自相关函数为：，其中：。又 当时，。结论：带限白噪声过程间隔时间为时的随机变量是不相关的。 由结论可知：若按抽样频率对带限白噪声进行抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量。 2.7 正弦波加窄带高斯过程通信系统接收机前端模型其中：已调信号各种正弦波的线性组合； ：零均窄带高斯过程，其。 由此可见，研究正弦波加窄带高斯过程的重要性。设： （2）其中：；为已知，且不失一般性设为上均匀分布的随机变量。令：，则（2）式可改写为：其中：。为的包络函数，为的相位函数。问题：正弦波加窄带高斯过程的包络函数和相位函数的统计特征如何？1 包络函数的统计特征若给定（即为一确定值），则, 同理， 给定条件下，和的联合概率密度函数为：利用 、 和上式可求出的表达式如下： 。条件概率： 由零阶修正贝塞尔函数： 可得：上式与无关，故得：该式称为：广义瑞利分布或莱斯密度函数。若，则退化为瑞利分布。结论：正弦波加窄带高斯过程的包络函数服从广义瑞利分布。2. 相位函数的统计特征 ，代入 并求积分可得： 又 ， 相位分布积分较复杂。 图2.6中，称为信噪比（信号与噪声平均功率之比）。 令，则： 1） 当时，为瑞利分布， 2） 当较小时，分布不对称，3） 当时， 趋于正态分布，4） 当从0逐渐变大时，从均匀分布逐渐趋向于正态分布。2.8 随机过程通过线性系统问题：确知（定）信号通过线性系统，我们已经很熟悉。但随机信号通过线性系统情况如何呢？其输入、输出以及系统函数间的关系？确知信号 , 线性时不变系统：时域：非因果系统： 因果系统： 频域：若物理可实现，且有界，则有：。所以对于确知信号总可以用数学式或列表形式给定其时域的描述，或用变换的方式给出其“频域”的表述，而且对于其通过线性时不变系统表述：随机信号函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。其原因是：1.随机性，即任何时刻点上的取值不能预先确定其为一随机变量依时序组成的每个时间点上的随机变量的集合，构成一个随机过程。即便通过一个具体的实验所得到的确定函数，也只能是该随机过程的一个样本函数。其无法表征整个随机过程的行为。 2.波及性，随机过程是依时序排列构成的某个随机系统中某一个端口的输出，各时间点上的取值之间，往往有前后波及影响，既不同时间点上随机变量间的关联性。这种波及或关联性是由随机系统的各种惯性决定的。随机过程的时域表示：随机过程的一个样本, 线性时不变系统：时域：非因果系统： 因果系统： 系统输出也只能是随机过程的一个样本，无法代表系统输出随机过程的全体。l 针对其随机性和波及性，只能用统计方法来描