3第三章 线性控制系统的运动.ppt

第二章需掌握要点1 控制系统的建摸方法 已知线性系统的符号模型 利用机理分析法 建立微分方程 并利用Laplace变换求出传递函数模型 2 闭环传递函数模型的求解方法 已知闭环系统的复杂框图结构模型 利用框图等效变换简化方法 求解闭环传递函数 已知闭环系统的复杂框图结构模型 利用梅逊公式 求解闭环传递函数 y S 作业 2 59题把图2 75改画为信号流图 并用Mason公式求u到y传递函数 信号流图 方框图 用Mason公式求u到y传递函数 1 第三章线性控制系统的运动 时域分析法 3 1引言 3 2系统稳定性概念及定义 3 3系统稳定性Routh Hurwitz代数判据 3 4模型参数对稳定性的影响分析 3 6系统静态误差基本概念及稳态误差计算分析 3 7系统动态性能指标的基本概念及定义 3 8二阶单输出系统的运动 瞬态响应 分析 3 11控制系统的校正方式 串联校正 局部反馈校正 3 1引言 对控制系统运动特性分析的目的 揭示系统运动的状态 各变量随时间变化的规律 为控制系统的设计提供科学的依据 控制系统运动特性分析的内容 1 基本性能分析 稳定性分析及判定理论2 性能指标分析 静 动态误差分析理论对控制系统运动特性分析的意义 1 合格的控制系统必须是能保证处于稳定工作状态 回答各种干扰作用对系统运动状态的影响程度是否符合要求 2 稳定的控制系统必须具有满足要求的良好的动态特性 回答系统运动规律是否满足静动态特性指标要求 平衡状态 静态 在没有外力作用或稳态值作用的条件下 对所有的时间t 变化率为0的状态 或在任何初始条件作用下的过度过程结束后所进入的状态 称为系统运动的平衡状态 静态 一般稳定的概念 由于外力 各种干扰 作用 使系统运动状态偏离平衡状态 静态 如果系统具有从偏离态恢复到原有平衡状态的能力 在一定时间内过度过程结束 自动进入静态 称系统是稳定的 或系统具有运动稳定性 否则为不稳定 合格的控制系统必须是稳定的 稳定运动和不稳定运动 在日常生活中是常见的 3 2稳定性3 2 1运动的稳定性 基本概念 3 2 2线性系统的稳定性分析 2 二阶系统稳定性分析 传递函数 G s y s u s 1 T2S2 2 Ts 1 特征方程 T2S2 2 Ts 1 0 或S2 2 0s 02 0 其中 0 1 T 3 2 2线性系统的稳定性分析 时域运动特性的稳定性分析 外力作用为单位阶跃函数 u t 1 t 不变常量 平衡状态ye 1 变化率为0 a T 0 1时 有二个不相等负实数 特征根 极点 一般微分方程 T 为实参数 y为受控量 u为输入控制量 特征根极点 特征根性质取决于参数T 的选择 极点位于S左半平面实数轴上 系统输出响应y t 随时间变化规律 过阻尼 为 以二个衰减指数项和的形式趋近收敛于平衡态ye 1 稳定 3 2 2线性系统的稳定性分析 b T 0 1时 有二个相等负实数 特征根 极点 特征根位于S左半平面实数轴上 系统输出响应y t 随时间变化规律 临界阻尼 为 以线性和衰减指数叠加形式收敛于平衡态ye 1 稳定 c T 0 0 1时 有一对共轭负数 特征根 极点 位于S左半平面上 负实部相同 虚数部对称 系统输出响应y t 随时间变化规律 欠阻尼振荡 为 以有阻尼振荡指数衰减形趋近收敛于平衡态ye 1 稳定 3 2 2线性系统的稳定性分析 d T 0 0时 有一对只有虚部的共轭负数 特征根 极点 对称位于S平面的虚轴上 系统输出响应y t 随时间变化规律 无阻尼 为 以无阻尼等幅振荡形保持在平衡态ye 1附近 临界稳定 e T 0 0 1时 有一对共轭负数 特征根 极点 位于S右半平面上 正实数部相同虚数部对称的复数根 系统输出响应y t 随时间变化规律 发散振荡 为 以无阻尼指数放大振荡形远离平衡态ye 1 不稳定 3 2 3线性系统稳定性的充要条件 重要概念 线性系统稳定性判定基本依据 线性系统稳定的充分必要条件是 系统微分方程的特征方程的全部根 传递函数的极点 都是负实数或实部为负的复数 亦即 全部根 极点 都位于复数平面的左半平面 对于特征方程在复平面的右平面上没有根 但在虚轴上有根 则可以说该线性系统是临界稳定的 3 高阶线性系统稳定性分析高阶系统的特征方程都可用一阶和二阶系统特征方程为因式的乘积表示 所以 高阶系统的稳定性可通过对一阶和二阶系统特征方程因子的分析获得 主要取决于所有一阶和二阶特征方程因子的根 极点 在复数平面上的分布情况 有根分布在复平面的右平面上 系统不稳定 否则稳定 四阶线性微分方程描述系统的稳定性分析见书109页图3 5 3 6 3 2 4稳定的李亚普诺夫 Lyapunov 定义 非重点 李雅普诺夫稳定性定义 1 稳定和一致稳定 若任意给定实数 都存在另一实数 从任意初态出发的状态解满足下式 称系统平衡状态是稳定的 若与无关 则平衡状态是一致稳定的 几何意义 收敛于一个范围内2 渐进稳定 几何意义 渐进收敛于平衡点附近 比稳定更好的性质 Lyapunov稳定性定义的几何解释 3 大范围渐进稳定 系统在任意初态下的每一个状态解 当时都收敛于平衡状态 系统平衡状态是大范围稳定的 几何意义 渐进收敛于一个平衡点4 不稳定 如果对于某个实数和任一实数总存在一个初始状态 使下式成立 称系统平衡状态是不稳定的 几何意义 离开平衡点就发散 3 2 5Lyapunov第一方法 非重点 对于非线性系统 用微偏线性化的方法处理 即用与它近似的线性系统代替它 Lyapunov第一定理若线性化后系统特征方程的所有根均为负实数或实部为负的复数 则原系统不仅是稳定的而且是渐近稳定的 Lyapunov第二定理若线性化后系统特征方程的诸根中 只要有一个为正实数或实部为正的复数 则原系统的运动是不稳定的 Lyapunov第二方法 非重点 判别定理 准则 李氏渐进稳定判据 定理充分条件 1 函数正定 2 导数负定 大范围渐进稳定 物理意义 物理系统储存能量总是正值 能量不断消耗驱使回到平衡态几何意义 随着时间推移 状态轨线与能量等值线不断相交 且从园外向园内转移 最后收敛于平衡点 充分条件 李氏函数存在并满足条件 系统稳定 找不到李氏函数 并不意味系统不稳定 形式不唯一 适用范围广泛 共有n 1行 最下面二行各为1列 倒数3和4行为2列 再上二行为3列 依次类推 n为奇数最高一行有 n 1 2列 偶数为 n 2 2行 设系统特征方程为 2s6 5s5 3s4 4s3 6s2 14s 7 0 劳斯表 7 5 2 5 7分母总是上一行第一个元素 18 7 11 115 18 7 1589 115 7劳斯表第1列出现负数 系统不稳定 劳斯判据举例 P113 表3 1 Routh 劳斯 判据有关说明 1 劳斯表第一列各元素改变符号 的次数 位于右半复平面方程根的个数 有变号系统不稳定 2 Routh表第一列中出现0元素时 用一小的正数 代替后继续计算下去并注意 上下行首列同号则没有变号 上下行首列符号相反 则认为有一次变号 Routh表第一列中出现0时 表明有一对纯虚根存在 极点位于虚轴上 系统临界稳定 本例中6行 0 趋于0时保持为负 表明1列共有2次变号 有2个右半平面根 系统不稳定 3 用任何正数乘或除任一行的系数 不影响Routh表的判断结论 4 出现Routh表某一行全为0时 存在大小相等符号相反 关于原点对称 的根 继续Routh表计算 需要用上一行各元素构造辅助多项式 并求导数后取其系数代替0行 劳斯表出现零行系统一定不稳定 s4 5s3 7s2 5s 6 0 劳斯表 5 1 7 5 6 6 6 0 1劳斯表何时会出现零行 2出现零行怎么办 s2 1 0 对其求导得零行系数 2s1 继续计算劳斯表 1 第一列全大于零 所以系统稳定 是错误的 5 几个简单结论 1 一阶和二阶系统稳定的充分必要条件 特征方程所有系数均为正 2 三阶系统稳定的充分必要条件 特征方程所有系数均为正 且有a1a2 a0a3 3 高阶系统稳定的必要条件 特征方程所有系数同号 系统稳定其特征方程所有系数必为同号 特征方程所有系数同号系统未必一定稳定 有正有负一定不稳定 缺项一定不稳定 4 高阶系统稳定的充分条件 劳斯表第一列元素不变号 若变号系统不稳定 举例分析 作业3 5试用Routh稳定判据判断下列 a b c d e 特征方程描述的系统的稳定性 若不稳定说明右半复数平面或虚轴上的根的个数 解 a s5 6s4 3s3 2s2 s 1 0 劳斯表第1列出现负数 系统不稳定 变符号2次 右半复平面有根2个 b 25s5 105s4 120s3 122s2 20s 1 0 劳斯表第1列全为正数 系统稳定 变符号0次 右半复平面有根0个 c s6 4s5 4s4 4s3 7s2 8s 10 0 劳斯表第1列不全为正数 系统不稳定 变符号2次 右半复平面有根2个 出现一行全为0的情况 表明存在关于原点对称的根 d s 2 s 4 s2 6s 25 666 25 0化为标准型 s4 12s3 69s2 198s 866 25 0 100s4 1200s3 6900s2 19800s 86625 0 劳斯表第1列出现0 系统不稳定 变符号0次 右半复平面有根0个 有一对位于虚轴上的纯虚根存在 e s4 8s3 18s2 16s 5 0 劳斯表第1列全为正数 系统稳定 变符号0次 右半复平面有根0个 Hurwitz判据行列式 行列式的各阶主子式为 D1 8 D2 128 D3 1728 D4 11520均大于0 系统稳定 与劳斯判据结论相同 4模型参数对稳定性的影响 1 模型参数即特征方程系数 Routh判据表明系统稳定性由参数所决定 式中a0称为开环比例系数 其他系数组成时间常数 2 参数稳定性分析 分析每一系数的变化对特征根 极点 在复平面分布的影响 确定系统稳定的系数取值范围 稳定域 设计稳定系统控制 器 单元 3 确定稳定域系数取值范围方法 利用Routh Hurwitz判据 求解含系数的代数不等式方程组 基本步骤 以特征方程某些系数为待定参数 并基于特征方程编制Routh表 另Routh表第一列所有元素 0 建立含待定参数的代数不等式方程组 求解不等式方程组 确定系统稳定的系数取值范围 参照 117页举例 4 一般规律 增大开环比例系数 增大时间常数 增大时间常数的个数都不利于稳定性 高稳定性可能牺牲精度 需要适当设计 举例分析 作业3 10已知系统开环传递函数为G0 K s 1 s s 1 2s 1 试用Routh稳定判据确定使闭环系统稳定的参数K和 的取值范围 解 列写闭环系统特征方程为 1 G0 0 既s s 1 2s 1 K s 1 2 s3 2 s2 K 1 s K 0 编制Routh表为 另Routh表第一列所有元素 0 建立含待定参数的代数不等式方程组为 2 0 2 0 K 1 2 K 2 0 K 0 求解不等式方程组 整理得到K和 的取值范围为 0 01 02 0 K 2 2 6 1静态误差的定义 系统误差定义 系统输出的要求值与实际值之差 它包括t t0任意时刻的误差 对于如图所示的反馈控制系统 系统误差表达式为 静态误差定义 一个稳定系统在输入量或扰动的作用下 经历过度过程进入静态后 静态下的系统误差称为静态误差 记作 静态误差一般为常数 记作 ess 方法 基于系统误差传递函数模型 输入或扰动函数与系统误差间的传递函数 利用静态误差定义和Laplace终值定理 求解系统对输入量或扰动作用下的静态误差 1 静态误差计算的基本公式根据静态误差定义和Laplace终值定理 得到静态误差一般计算公式 3 6 2静态误差的分析计算 静态误差系数 Gxe s 输入x与误差e间的传递函数 图中所示闭环系统的误差传递函数Gxe s e s x s 为 输入给定下只取决于系统开环传递函数 系统误差分析举例 E s R s B s 1 1 G s H s R s 1 1 开环传递函数 R s E s R s C s 1 1 G s R s ERN s C希 C实 2 典型输入测试信号下静态误差的计算公式与静态误差系数 在采用静态误差系数概念后 可以大致认为 系统在三种典型输入信号作用下的静态误差就是相应的误差系数的倒数 用误差系数计算静态误差方法 已知系统开环传递函数G0 立即可求出三种典型输入信号作用下的静态误差系数KpKvKa 然后求其倒数确定闭环系统相应的静态误差ess 单位阶跃函数 x s 1 s 单位斜坡函数 x s 1 s2 单位加速度函数 x s 1 s3 式中定义 Kp为静态位置误差系数Kv为静态速度误差系数Ka为静态加速度误差系数 静差分析有关结论 a 系统结构类型与静差的关系 静态不稳定跟踪系统 静差为无穷 静态稳定跟踪有静差系统 静差为有限值 静态稳定跟踪无静差系统 静差为0值 误差表纵向 积分单元越多 静态误差越小 稳定跟踪性能越好 表横向 输入信号越剧烈 静态误差越大 稳定跟踪性能越差 增加积分单元 可提高无静差度 b 静态稳定跟踪系统参数与静差的关系 有静差系统 在系统稳定的前提下 开环比例参数 系数 K越大 静差越小 设计系统时 提高参数K 可提高系统无静差度 设 对于图3 52所示系统试求 3 7动态性能指标动态 系统从初始条件作用的0初始状态到过度过程结束进入稳态前的运动状态 动态性能指标 描述系统动态响应过程的质量要求技术指标 时间性指标 上升时间 峰值时间 延迟时间 过度时间 稳定性指标 超调量 振荡次数 分析方法 阶跃响应和动态误差积分两种定量分析方法 对稳定系统来说 只有具有良好的动态响应性能指标 才能保证系统具有很好的稳定 快速 及时等控制特性 以满足实际控制系统的要求 典型输入测试函数 与静态误差测试一样 主要有单位阶跃 斜坡和加速度函数 一般实际中经常采用单位阶跃函数 并在0初始条件下进行研究 峰值时间tp A B 过渡时间ts 1 05 0 95 延迟时间td 阶跃响应动态性能指标越小越好 3 7 1阶跃响应动态指标 定义阶跃响应曲线 系统在0初始条件下对单位阶跃输入函数的输出响应曲线 是定量确定动态性能指标的依据 3 7 2动态误差积分指标 动态性能综合指标阶跃响应各项动态性能指标有密切的关系 而且有时要求相互矛盾 动态误差积分指标具有综合性 可反映阶跃响应全过程的误差大小 更重要的是用它可进行优化计算 实现指标最小化的参数最优设计方案 单位阶跃作用下系统误差定义 误差积分指标四种形式 误差平方积分指标 时间乘误差平方积分指标 绝对误差