3章-2 二次曲线.ppt

本次课讲授内容 一 圆弧生成算法逐点比较算法Bresenham算法二 椭圆弧生成算法三 二次曲线的参数拟合法 3 2二次曲线 一 圆弧生成算法 1 圆的的特性 2圆的逐点比较算法 1 设定在不同象限中的走步方向 原则 使逼近的误差最小 使走笔方向和画图的趋势一致 2 误差判别式设圆心C xc yc 起点S xs ys 在圆周上 S M1 M2 当由S点走到M1点时 M1点到C的距离 令Fm Rm Rs 取 Fm Rm2 Rs2 3 递推公式 因为起始点s在圆上 F0 0 据约定 走X xm xs xym ys F1 x1 xc y1 yc Rs Fs 2 x xs xc x Fs 0 x 0 xs xc xF1 0 令走Y 一步 4 终点判断 通常采用步数控制 即单向步数和总步数 若步距为dt 直线在X和Y方向上增量分别为dx和dy 则 X方向的步数Nx dx dt Y方向的步数Ny dy dt 总步数N Nx Ny dx dt dy dt 单向步数N单 max Nx Ny 5 完整圆的处理对完整圆弧采用对称变换的方式 即 先画出四分之一圆周 再以x轴对称成半个圆周 再以y轴对称成整个圆周 思考题 1 完整圆的步数如何确定 2 优弧 劣弧步数如何确定 3圆的Bresenham算法 设仅在第 象限中生成八分之一圆弧 误差判别 当前点到圆心的距离与半径的差值 误差计算式 D Pi xi yi R 当Pi 1被选中 x xi 1 当x xi 1 1时则Si和Ti两点为被选点 Sixi xi 1 1yi yi 1Tixi xi 1 1yi yi 1 1 两点误差 D Si xi 1 1 yi 1 R D Ti xi 1 1 yi 1 1 R di 0时 Ti靠近圆弧 选Tidi 0时 Si靠近圆弧 选Si di xi 1 1 yi 1 R xi 1 1 yi 1 1 R di 1 xi 1 yi R xi 1 yi 1 R 若di 0 选Sixi xi 1 1di 1 di 4xi 1 6yi yi 1若di 0 选Ti xi xi 1 1di 1 di 4 xi 1 yi 1 10yi yi 1 1 di D Si D Ti 而当i 1时 xi 1 x0 0di 3 2Ryi 1 y0 R di D Si D Ti 二 椭圆弧生成算法 椭圆参数方程x a costy b sint0 t 2 在x 0 y 坐标系中 Xs a costsYs b sints 在x 0 y 坐标系中 Xs Xs cosa Ys sinaYs Xs sina Ys cosa 在xoy坐标系中 Xs Xo Xs Ys Yo Ys Xs Xo a costs cosa b sints sinaYs Yo a costs sina b sints cosa 3 3二次曲线的参数拟合法 1 曲线的表示形式 1 显式形式 y f x x和y是一一对应方式2 隐式形式 由f x y 0或Ax Bxy cy Dx Ey F 03 参数形式 x x t y y t 2 常用术语1 插值 逼近和拟合插值 给定一组有序的数据点Pi i 0 1 2 n 通过建立数学模型构造一条曲线 使其顺序通过数据点 所构造的曲线称为插值曲线 逼近 通过建立数学模型 要求构造的曲线在某种意义下最为接近给定的数据点 称为对这些数据点进行逼近 所构造的曲线称为逼近曲线 拟合 插值和逼近方法的统称 2 型值点和控制点型值点 通过测量或计算得到的曲线上描述曲线几何形状的数据点 控制点 用来控制或调整曲线形状的形状特殊点 而曲线本身不通过该点 3 二次曲线的一般参数方程 其中 a b c为常数向量 e1 e2为常数圆锥曲线形式 判别式d e1 4e2若d 0 抛物线 d 0 双曲线 d 0 椭圆 拟合条件 给定三个位置矢量P0 P1和P2 构造一条曲线段 约定 当t 0时 曲线过P0点 和P0P1相切 当t 1时 曲线过P2点 和P1P2相切 a b c系数向量值 Q t f P0 P1 P2 4 抛物线参数拟合 5 抛物参数线的性质 1 当t 1 2时 Pm在P1C线段中点 2 当t 1 2时 Pm点处切线平行P0P2 式中 N为插入离散点个数 ti i dt dt为相应的步长 为确保t 0 1 令dt 1 N 每计算N点须进行6N次乘法和4N次加法 6 绘制抛物参数线 把i 1 i i 1代入 Pi a ti b ti cPi Pi 1 a dt ti ti 1 b dtPi 1 Pi a dt ti 1 ti b dt Pi 1 Pi Pi Pi 1 2a dt 若令u 2a dt 则 Pi 1 Pi Pi Pi 1 u 利用Pi 1 Pi Pi Pi 1 u如何编程 每计算N点须进行3N次加法 但用到前两个点的值 思考题 7 参数抛物曲线的矩阵形式 若给定点P0 P2和Pm t 1 2 有 Q t at bt c t 0时 Q 0 c P0t 1时 Q 1 a b c P2t 1 2时 Q 1 2 0 25a 0 5b c Pm c P0b 3P0 P2 4Pma 2P0 2P2 4Pm 8 参数拟合曲线的优点1 采用参数 使两个坐标量不产生直接关系 2 采用格式化参数变量 使相应的几何分量有界 3