考研数学必备公式(数三).pdf

目 录 第一部分 高等数学 一 极 限 二 导 数 三 中值定理 四 不定积分 五 定积分 六 常微分方程 七 一元微积分的应用 八 无穷级数 九 多元函数微分学 十 重积分 第二部分 线性代数 一 行列式 二 矩 阵 三 向 量 四 线性方程组 五 特征值 特征向量 六 二次型 第三部分 概率论与数理统计 一 随机事件与概率 二 一维随机变量及其概率分布 三 二维随机变量及其概率分布 四 随机变量的数字特征 五 大数定律和中心极限定理 六 数理统计的基本概率 七 参数估计 第一部分 高等数学 一 极 限 无穷小的比较 设 若 则 是比 高阶的无穷小 记为 若 则 是比 低阶的无穷小 若 则 与 是同阶无穷小 若 则 与 是等价无穷小 记为 若 则 是 的 阶无穷小 常用的等价无穷小 当 时 重要定理 其中 保号定理 设 又 或 则 当 且 时 或 单调有界数列必有极限 夹逼定理 设在 的邻域内 恒有 且 则 考研数学必备公式快速记忆 无穷小的性质 有限个无穷小的代数和为无穷小 有限个无穷小的乘积为无穷小 无穷小乘以有界变量为无穷小 在同一变化趋势下 无穷大的倒数为无穷小 非零的无穷小的倒数为无穷大 极限的运算法则 同一变化趋势下 设 则 若数列的极限存在 则其子序列的极限一定存在 且就等于数列的极限 初等函数在其定义域的区间内连续 设 连续 则 也连续 洛毕达法则 法则 型 或法则 设函数 满足 在 的邻域内可导 处可除外 且 或在无穷远邻域内 存在 或为 则 法则 型 或法则型 设函数 满足 与法则 法则 同 则 重要公式 考试点 名师精品课程 电话 函数 在 处连续 当 时 以下各函数趋于 的速度 速度由慢到快 速度由慢到快 几个常用极限 槡 特例 槡 二 导 数 导数与微分 导数定义 或 设函数 在 处可导 则 在 处的 切线方程 法线方程 微分的定义式 若 则 可微的充要条件 可导 可微 且 可导与连续的关系 在 点可导 在 点处连续 几个关系 可微 可导 函数连续 考研数学必备公式快速记忆 存在 在 点的某邻域内有界 导数的运算法则 设 均可导 则 特例 为常数 基本公式 常数 为实数 特例 槡 槡 特例 槡 槡 考试点 名师精品课程 电话 设 是 的反函数 则 其中 高阶导数公式 莱布尼兹公式 若 均 阶可导 则 其中 三 中值定理 连续函数在闭区间上的性质 设函数 在 上连续 则 在 上有界 即 常数 使得 最值定理 设函数 在 上连续 则在 上存在最大值与最小值 即 使 得 介值定理 设函数 在 上连续 为介于 与 或 在 上的最大 值 最小值 之间的任一实数 则在 上 使得 零值定理 设函数 在 上连续 且 则在 内 使得 微分中值定理 费尔马 若函数 满足 函数 在 的某邻域内有定义 且在该邻域内恒有 或 在 处可导 则 洛尔 设函数 满足 在 上连续 在 内可导 考研数学必备公式快速记忆 则在 内 使 拉格朗日 设函数 满足 在 上连续 在 内可导 则在 内 使 或 使 柯西 设函数 满足 在 上连续 在 内可导 均存在 且 则在 内 使 泰勒公式 定理 设函数 在点 的某邻域内具有 阶导数 则对该邻域内异于 的任一点 在 或 内 使得 其中 称为 在 处的 阶拉格朗日型余项 令 则式 其中 在 与 之间 式 称为麦克劳林公式 常用的五个函数的麦克劳林公式 或 或 或 考试点 名师精品课程 电话 或 或 四 不定积分 基本性质 为常数 或 或 基本公式 特例 槡 槡 特例 考研数学必备公式快速记忆 特例 槡 特例 槡 特例 槡 槡 递推公式 设 则 常见的几种凑微分形式 考试点 名师精品课程 电话 槡 槡 槡 槡 槡 三角函数代换 被积函数 含根式所作代换三角形示意图 槡 槡 槡 倒数代换 设 分别表示被积函数的分子 分母关于 的最高次数 当 时 用倒数代换可望成功 分部积分法 选择 的原则 积分容易者选作 求导简单者选为 考研数学必备公式快速记忆 换元积分法 设 则 设 有理函数积分 令 其中 五 定积分 定积分的基本性质 定积分只与被积函数和积分限有关 而与积分变量无关 即 为常数 比较定理 设 则 推论 当 时 考试点 名师精品课程 电话 估值定理 设 其中 为常数 则 积分中值定理 设 在 上连续 则在 上 使 平均值公式 重要定理 设函数 在 上连续 则变上限积分 对 可导 且有 推论 设 则 推论 推论 设 在 上连续 则 是 在 上的一个原函数 牛顿 莱布尼茨公式 设 在 上连续 是 的一个原函数 则 重要公式 设 在 上连续 则 当 为奇函数 当 为偶函数 设 是以 为周期的连续函数 为任意实数 则 槡 当 为偶数 当 为奇数 考研数学必备公式快速记忆 定积分的换元法 定理 设函数 在 上连续 若 满足 在 上连续 且 并且当 在 上变化时 的值在 上变化 则 分部积分公式 设 在 上具有连续导函数 则 定积分不等式证明中常用的不等式 柯西不等式 其中 在 上连续 广义积分 无穷限的广义积分 无穷积分 设 连续 则 考试点 名师精品课程 电话 无界函数的广义积分 瑕积分 当 时 当 时 当 时 六 常微分方程 一 一阶微分方程解法一览表 方程类型通解 或求通解的方法 可分离变量方程 两边同除 得 齐次方程 令 则 于是 原方程 一阶线性方程 用常数变易法求 求对应齐次方程 的通解 令原方程的解为 代入原方程整理得 原方程通解 二 二阶常系数线性微分方程 方程类型通解 特解 的形式及其求法 二阶常系数线性齐次方程 其中 均为常数 特征方程 当 为相异的特征根时 方程 通解为 当 时 通解为 当 复根 时 通解为 二阶常系数线性非齐次方程 其中 均为常数 通解的求法程序 求对应齐次方程的通解 求出 的特解 方程 的通解 方程 特解 的求法有三种 微分算子法 常数变易法 待定系数法 考研数学必备公式快速记忆 定理 对于二阶非齐次线性方程 及对应的二阶齐次线性方程 若 及 都是 的解 则 必是 的解 若 及 都是 的解 无论 取任何值 函数 都是 的解 且当 不恒为常数时 上述 是 的通解 若 是 的任意一个特解 又 是 不恒为常数且都满足 的解 则当 均为任 意常数时 是 的通解 三 二阶常系数非齐次线性方程 的非齐次项 与特解 的关系 特解 的形式 其中 为 的 次多项式 不是特征根 次多项式 是特征方程的单根 是特征方程的重根 其中 为常数 不是特征根 为常数 是特征方程的单根 是特征方程的重根 其中 为 的 次多项式 不是特征根 为 次多项式 是特征方程的单根 是特征方程的重根 或 其中 均为常数 不是特征根 为常数 是特征根 或 其中 均为常数 不是特征根 是特征根 为常数 考试点 名师精品课程 电话 七 一元微积分的应用 函数单调性的判别 定理 设函数 在 内可导 若对 均有 或 则 在 内是单调增加 或单调减少 注 个别点处 不影响 的单调性 函数的极值 取极值的必要条件 设函数 在 处可导 且在 处取极值 则 取极值的第一充分条件 设函数 在点 邻域内可导 且 或 在 处连 续 但 不存在 当 经过 时 由 变 则 为极大值 当 经过 时 由 变 则 为极小值 当 在 的两侧不变号时 不是 的极值 取极值的第二充分条件 设 在 处 且 则 当 时 为极大值 当 时 为极小值 函数图形的凹凸性及拐点的判别 若函数 在 内 或 则 在 内是凸的 或凹的 若函数 在 处 或 不存在 当 变动经过 时 变号 则 为拐点 设 在 的某邻域内有三阶导数 且 则 为 的拐点 渐近线 水平渐近线 若 或 则 为函数 的水平渐近线 铅直渐近线 若 或 则 为函数 的铅直渐近线 斜渐近线 若 则 为 的斜渐近线 考研数学必备公式快速记忆 平面图形面积 直角坐标系 边界曲线由参数方程表示 极坐标系下平面图形面积 立体体积 已知平行截面面积的立体体积 八 无穷级数 级数 的性质 设 的常数 则 与 及 为正整数 有相同敛散性 且若 则 设有两个级数 与 若 则 若 收敛 发散 则 发散 若 均发散 则 敛散性不定 既可能收敛也可能发散 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性 设级数 收敛 则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和 注 一个级数加括号后所得新级数发散 则原级数发散 一个级数加括号后收敛 原级数敛散性要具体分析 级数 收敛的必要条件 考试点 名师精品课程 电话 正项级数 的判敛法 比较判敛法 设 若 收敛 则 收敛 发散 则 发散 比较法的极限形式 设 及 均为正项级数且 若 且 收敛 则 收敛 若 且 发散 则 发散 两个常用的比较级数 等比级数 发散 级数 收敛 时 发散 时 比值判别法 达朗贝尔准则 适用于通项 中含有 或关于 的若干连乘积形式 设 对于 来讲 若 时 发散 时 方法失效 时 收敛 任意项级数 可正 可负 可 定义 设有一任意项级数 若 收敛 则称 绝对收敛 若 发散 而 收敛 则称 为条件收敛级数 若 收敛 则 必收敛 若 条件收敛 则其所有正项 或负项 所构成级数一定发散 考研数学必备公式快速记忆 交错级数 的判敛法 莱布尼兹准则 若交错级数 满足条件 则交错级数收敛 其和 其 项余和的