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文档简介

第一节定积分的概念 第五章一元函数的积分 二 定积分的定义 一 曲边梯形的面积 三 定积分的性质 第五章一元函数的积分 第一节定积分的概念和性质 在我国古代南北朝 公元429 500年 时 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数 算出正多边形的面积 逼近相应的圆的面积 得到了 近似值 在初等几何中 计算任意多边形面积时 常采用如下方法 首先将任意多边形划分为若干个小三角形 分别计算各个三角形的面积 然后求和 得到任意多边形的面积 阿基米德运用这种方法 求得抛物线与x轴及直线x 1所围成的平面图形面积的近似值 就是说 在计算复杂图形的面积时 可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块 并分别求出各小块图形的面积 然后求和 即得到原图形的面积的近似值 边界线为直线时 可得精确值 如果在上述方法中引入极限过程 会产生什么效果 一 曲边梯形的面积 曲边梯形 三边为直线 其中有两边相互平行且与第三边垂直 底边 第四边是一条曲线 它与垂直于底边的直线至多有一个交点 这里不排除某直线缩成一点 1 曲边梯形 2 求曲边梯形的面积 首先 我们重复阿基米德的做法 分划 代替 求和得到曲边梯形的近似值 然后 引入极限过程 求出曲边梯形的精确值 任意引入分点 称为区间的一个分法T 对每个小曲边梯形均作上述的代替 二 定积分的定义 任意引入分点 定积分符号 关于定积分定义的几点说明 由极限保号性 面积 下面是几个关于函数可积性的定理 运用定积分的概念及定积分的几何意义 由函数的极限运算性质容易证明它们 所以我们在这里不进行证明 喂 定理1 定理2 定理3 定理4 定理5 三 定积分的性质 由于定积分是一种和式的极限 所以极限的某些性质在定积分中将有所反映 在以下的叙述中 假设所出现的函数均可积 所出现的定积分均存在 证 证 由定积分定义及极限运算性质 证 小于零的情形类似 由极限的保号性立即可知 证 证 请同学们自己在下面做 与性质3的推论1不同 这里的结论是严格不
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