高等数学习题课一阶微分方程的解法及应用.ppt

2020 3 4 1 高等数学习题课 一阶微分方程的解法及应用 习题课 一 一阶微分方程求解 二 解微分方程应用问题 第七章 1 三 课外练习题 2020 3 4 2 一 一阶微分方程求解 1 一阶标准类型方程求解 关键 辨别方程类型 掌握求解步骤 2 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 几个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 P315题7 2020 3 4 3 例1求下列方程的通解 提示 1 故为分离变量方程 通解 2020 3 4 4 方程两边同除以x即为齐次方程 令y ux 化为分 离变量方程 调换自变量与因变量的地位 用线性方程通解公式求解 化为 2020 3 4 5 方法1这是一个齐次方程 方法2化为微分形式 故这是一个全微分方程 下册内容 2020 3 4 6 解此方程为一个可分离变量的微分方程 分离 因 变量 得 例2求解方程 两边积分 得 即得原方程的通解 2020 3 4 7 解原方程变形后为齐次方程 例3求解方程 作变换 移项 得 则有 2020 3 4 8 两边积分 得 将代入 有 即满足初始条件的解为 由初始条件 即原方程的解为 2020 3 4 9 解原方程变形为 即 例4求微分方程的通解 此是关于函数的一阶线性非齐次线性微 由求解公式得 分方程 2020 3 4 10 2020 3 4 11 例5求下列方程的通解 提示 1 令u xy 得 分离变量方程 原方程化为 P315题7 2020 3 4 12 令y ut 齐次方程 令t x 1 则 可分离变量方程求解 化方程为 2020 3 4 13 练习题 求以 为通解的微分方程 提示 消去C得 求下列微分方程的通解 提示 令u xy 化成可分离变量方程 P353题1 2 3 1 2 3 5 10 P353题2 P353题3 2020 3 4 14 提示 可化为关于x的一阶线性方程 提示 这是一阶线性方程 其中 2020 3 4 15 原方程化为 即 则 故原方程通解 提示 令 2020 3 4 16 分离变量 得 两边积分 得 例6求解微分方程 解法1 作代换 此方程为齐次方程 则有 2020 3 4 17 故方程的通解为 即 由于 2020 3 4 18 解法2 故方程的通解为 代回原变量 得 此方程为贝努利方程 此时令 方程变形为 则有 2020 3 4 19 例7 设F x f x g x 其中函数f x g x 在 内满足以下条件 1 求F x 所满足的一阶微分方程 2 求出F x 的表达式 解 1 所以F x 满足的一阶线性非齐次微分方程 03考研 2020 3 4 20 2 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 2020 3 4 21 例8设河边点O的正对岸为点A 河宽OA h 一鸭子从点A游向点 二 解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 利用个性确定定解条件 为平行直线 且鸭子游动方向始终朝着点O 提示 如图所示建立坐标系 设时刻t鸭子位于点P x y 设鸭子 在静水中 的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 O 水流速度大小为a 两岸 则 关键问题是正确建立数学模型 要点 2020 3 4 22 定解条件 由此得微分方程 即 鸭子的实际运动速度为 求解过程参考P306例2 齐次方程 2020 3 4 23 思考 能否根据草图列方程 练习题 P354题5 6 已知某曲线经过点 1 1 轴上的截距等于切点的横坐标 求它的方程 提示 设曲线上的动点为M x y 令X 0 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 P353题5 2020 3 4 24 已知某车间的容积为 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空 的含量不超过0 06 提示 设每分钟应输入 t时刻车间空气中含 则在 内车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后 以相同的流量排出 得微分方程 假定输入的新鲜空气 输入 的改变量为 P353题5 2020 3 4 25 t 30时 解定解问题 因此每分钟应至少输入250 新鲜空气 初始条件 得 k 2020 3 4 26 一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比 比例系数 选用题小船从河边点出发驶向对岸 两岸为平行线 设 船速为船行方向始终与河岸垂直 又设河宽为 河中任 为 求小船的航行路线 解如图建立坐标系统 并使水流方向与的正向一 致 设时刻时 小船位于 处 则 2020 3 4 27 其初始条件为 先解得 再由初始条件得 即 代入到第一个方程中 即有 解得 2020 3 4 28 再由初始条件 得 即小船的航行曲线为 或消去参数 得 2020 3 4 29 三 课外练习题 1 求下列方程的通解 1 2