6.1随机样本和统计量.ppt

6 1随机样本和统计量 一 总体 个体 随机样本二 统计量 数理统计学是运用概率论的知识 对所要研究的随机现象进行多次观察或试验 研究如何合理地获得数据资料 对所关心的问题作出估计与检验的一门学科 通常指研究对象的某项数量指标 总体中的每个元素 例如 某工厂生产的灯泡寿命是一个总体 每个灯泡的寿命是一个个体 某学校男生的身高的全体是一个总体 每个男生的身高是一个个体 一 总体 个体 随机样本 研究对象的全体 常用一个随机变量X来表示 总体 个体 从总体中抽取一部分个体来进行观察或试验 称为抽样 被抽出的部分个体称为总体的一个样本 抽取样本的目的在于对总体的统计规律进行推断或估计 故要求所抽取的样本能很好的反映总体的特性 定义 设X1 X2 Xn为来自总体X的样本 如果X1 X2 Xn相互独立 且每一个都是与总体X有相同分布的随机变量 则称X1 X2 Xn为总体X的容量为n的简单随机样本 简称为随机样本或样本 其观察值x1 x2 xn称为样本值 由定义知 若X1 X2 Xn为X的一个样本 X的分布函数为F x 则X1 X2 Xn的联合分布函数为 若X的概率密度为f x 则X1 X2 Xn的联合概率密度为 例如 估计一个物体的重量 重复n次称重 其结果依次记为X1 X2 Xn 通常用样本的算术平均值 或其 它某个由样本计算出来的且看上去合理的量来估计重量 在获得了样本之后 下一步对样本进行统计分析 即对样本进行加工 整理 从中提取有用信息 二 统计量 定义 设X1 X2 Xn是总体X的一个样本 随机变量g X1 X2 Xn 是X1 X2 Xn的一个连续函数 且g中不包含任何未知参数 则称g X1 X2 Xn 为一个统计量 统计量是样本的函数 它是一个随机变量 统计量的分布称为抽样分布 设 x1 x2 xn 是样本 X1 X2 Xn 的样本值 则称g x1 x2 xn 是g X1 X2 Xn 的观察值 C 例1设总体X B 2 p 其中p为未知参数 X1 X2 X3 是取自总体X的样本 则 不是统计量 A X1 X2 B max X1 X2 X3 C X3 2p D X2 X1 2 设X1 X2 Xn是总体X的一个样本 样本平均值 样本方差 样本标准差 常用统计量 样本k阶 原点 矩 k 1 2 样本k阶中心矩 k 1 2 样本平均值 样本方差 样本k阶中心矩 样本k阶 原点 矩 k 1 2 它们的观察值分别为 由样本平均值和样本方差的表达式可得 简化计算方法 令 则 经验分布函数 经验分布 为子样的经验分布函数 设子样为 对任意实数 子样值中小于或等于 的个数为 则称 同分布函数 一样具有性质 非降 右连续 由子样频数分布得子样经验分布函数 图 子样经验分布函数图形 1 o x o o o 格利汶科 由Chebyshev大数定律 对任意 即 子样经验分布函数 总体分布函数 依概率收敛于 格利汶科 W Glivenko 定理 当时 经验分布函数依概率 关于x均匀地收敛于母体分布函数 即 对固定x成立 直方图例例2 1 频数直方图 样本数据 频率直方图 经验分布函数 某班50名学生概率考试成绩如下 75658081926377795498 85726684836082786490 81787686687673718887 直方图 65574689786687798478 96886738677583826885 例2 由于 故分9组 每组组距为7 于是可得 平均分 频数分布表 频数直方图 继而画出 38 44 45 51 52 58 59 65 66 72 73 79 80 86 87 93 94 99 组限 组中值 41 48 55 62 69 76 83 90 97 组频数 1 1 2 5 8 12 12 7 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 组号 合计 50 组总分 41 48 110 310 552 912 996 630 194 3793 频数分布表 分布表1 频数直方图 近似正态分布 结论 直方图1 384552596673808794 12108642 2 频率直方图与累积频率直方图 在频数分布表中去掉 组总分 一 列 添上 组频率 累积频率 频率分布表 频率直方图 继而画出 两列 得 累积频率图 合计 50 频率 累积频率 分布表2 频率直方图 近似正态密度函数 384552596673808794 频率 分数 直方图2 0 240 200 160 120 080 02 样