数学物理方程-谷超豪.pdf

数学物理方程习题讲义 苏海军 山东大学数学学院 2 摘摘摘 要要要 本讲义所收录习题基于高等教育出版社谷超豪等编著的 数学物理方程 第二 版 第一章至第四章 习题解答尚处于完善过程中 作者水平有限 其中难免有疏漏与不足之处 敬请谅解 目 录 目 录 第一章波动方程 1 1 1学习要求 1 1 2习题选讲 1 第二章热传导方程 17 2 1学习要求 17 2 2习题选讲 17 第三章调和方程 26 3 1学习要求 26 3 2习题选讲 26 第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结 38 4 1学习要求 38 4 2习题选讲 38 ii 第一章 波动方程 第一章波动方程 1 1学习要求 1 理解弦振动方程的物理意义 定解条件的物理意义 2 理解波的左右传播 理解依赖区间 决定区域和影响区域的概念 掌握齐次化原理 3 理解波动方程分离变量法解的物理意义 掌握非齐次边界条件的齐次化方法 4 理解膜振动方程的物理意义 掌握球平均法和降维法 5 熟练掌握达郎贝尔公式和分离变量法的推导过程 会应用这两种方法求解定解问题 6 熟练和非齐次边界条件的齐次化方法 1 2习题选讲 1 方程的导出 定解条件 1 细杆 或弹簧 受某种外界原因而产生纵向振动 以u x t 表示静止时在x处的点在时刻t离开 原来位置的偏移 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律 试证明u x t 满足方程 t x u t x E u x 其中 为杆的密度 E为杨氏模量 证明 如图建立坐标系 选取杆上一段微元 x x x 则微元两端的相对伸长分别为 u x x t 和 u x x x t 假设杆的横截面面积为S 则微元两端所受拉力分别为E x u x x t S x 和E x x u x x x t S x x 因此所受合力为E x x u x x x t S x x E x u x x t S x 且正向与坐标轴相同 图图图 1 1图示 设 x为微元重心 则重心处加速度为 2u t2 x t 由牛顿第二定律得 x S x x 2u t2 x t E x x S x x u x x x t E x S x u x x t x E x S x u x x t x 1 1 2 习题选讲 其中x x x x 约去 x并令 x 0 即得 t x S x u t x E x S x u x 当S x 为常数时 即为 t x u t x E u x 2 在杆纵向振动时 假设 1 端点固定 2 端点自由 3 端点固定在弹性支承上 试分别导出这三种 情况下所对应的边界条件 解 设杆的两个端点坐标分别为0和l 1 端点固定 此时两个端点无位移 即u 0 t u l t 0 2 端点自由 此时两个端点无约束 根据上题 拉力E x u x x t S 0 即 u x 0 t u x l t 0 3 端点固定在弹性支承上 此时端点所受外力与弹性支承的变形成比例 若支承的弹性系数为k 则支承对杆的左端点x 0处的作用力为E 0 u x 0 t S 且其正向与x轴方向相反 因此有 E 0 u x 0 t S ku 0 t 或写为 u x u fl fl fl fl x 0 0 其中 k ES 类似的 对x l端 有 u x u fl fl fl fl x l 0 3 试证 圆锥形枢轴的纵振动方程为 E x 1 x h 2 u x 1 x h 2 2u t2 其中h为圆锥的高 证明 此时S x S0 1 x h 2 其中S0为圆锥枢轴的底面积 根据第1题的推导 即得所证 图图图 1 2图示 4 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定 在它自身重力的作用下 此线处于铅垂的平衡位置 试导出 此线的微小横振动方程 2 第一章 波动方程 解 根据弦的微小横振动方程 有 2u t2 x T x u x 其中T x 为弦的内部张力 在本题中 T x g l x 故有 2u t2 g x l x u x 5 一柔软均匀的细弦 一端固定 另一端是弹性支承 设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小 的横振动 试写出弦的位移所满足的定解问题 解 此时所受外力为阻力F x k u t 因而有 T 2u t2 2u x2 k u t 假设固定端为x 0 有u 0 t 0 对于弹性支承端x l 有 u x u fl fl fl fl x l 0 6 若F G 均为其变元的二次连续可导函数 验证F x at G x at 均满足弦振动方程 1 11 解 参见第二节 7 验证u x y t 1 pt2 x2 y2 在锥t2 x2 y2 0中满足波动方程 2u t2 2u x2 2u y2 解 显然 u t t t2 x2 y2 3 2 2u t2 3t2 t2 x2 y2 5 2 t2 x2 y2 3 2 类似的 2u x2 3x2 t2 x2 y2 5 2 t2 x2 y2 3 2 2u y2 3y2 t2 x2 y2 5 2 t2 x2 y2 3 2 代入即得所证 2 达朗贝尔公式 波的传播 1 证明方程 x 1 x h 2 u x 1 a2 1 x h 2 2u t2 的通解可以写成 u x t F x at G x at h x 其中h 0为常数 F G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数 并由此求解它的初值问题 t 0 v h x x v t h x x 解 1 令v x t h x u x t 则v x t 满足方程 2v t2 a2 2v x2 3 1 2 习题选讲 因此 根据达朗贝尔公式 v x t 的通解可写为v x t F x at G x at 从而 u x t F x at G x at h x 2 根据上述变换 v x t 所满足的初始条件为 t 0 v h x x v t h x x 因此 v x t 1 2 h x at x at h x at x at 1 2a Z x at x at h d 从而 u x t 1 2 h x h x at x at h x at x at 1 a Z x at x at h d 2 问初始条件 x 与 x 满足怎样的条件时 齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成 解 由达朗贝尔公式的推导可知 G x x 2 1 2a Z x x0 d C 而左传播波由G x at 构成 要使只有右传播波 则应有G x 常数 即G0 x 0 所以所满足的 约束条件为 a 0 x x 0 3 利用传播波法 求解波动方程的古沙 Goursat 问题 2u t2 a2 2u x2 u x at 0 x u x at 0 x 0 0 解 方程的通解为u x t F x at G x at 利用定解条件 可得 u x at 0 F 0 G 2x x u x at 0 F 2x G 0 x 从而F x x 2 G 0 G x x 2 F 0 又因为u 0 0 0 0 于是F 0 G 0 0 0 因此 u x t F x at G x at x at 2 x at 2 0 4 对非齐次波动方程的初值问题 2 5 2 6 证明 当f x t 不变时 1 如果初始条件在x轴的区间 x1 x2 上发生变化 那么对应的解在区间 x1 x2 的影响区域以外 不发生变化 2 在x轴区间 x1 x2 上所给的初始条件唯一地确定区间 x1 x2 的决定区域中解的数值 证明 1 根据非齐次问题解的表达式可知 影响区域为 x t t 0 x1 at 6 x 6 x2 at 如图所示 影响区域外的任何一点 x t 必满足x x2 at 其依赖区间与 x1 x2 完 全无关 因此 x1 x2 上初始条件的变化不会引起影响区域以外的任何一点的解的变化 4 第一章 波动方程 2 类似的 只要证明齐次方程若在 x1 x2 中给出 x 0 x 0 则在 x1 x2 的决定区域中任 一点 x t 上有u x t 0 事实上 对决定区域中任一点 x t 成立x1 at x x1以及x at 0 t 0 u t 0 x ut t 0 0 ux kut x 0 0 其中k为正常数 解 方程的通解为 u x t F x at G x at 当x at 0时 有 u x t 1 2 x at x at x at 当x at 0时 根据边界条件 有 ux kut x 0 1 ak F0 at 1 ak G0 at 0 从而可得 u x t 1 2 x at 1 ak 2 1 ak at x ak 1 ak 0 0 x at 6 求解初边值问题 utt uxx 0 0 t 1 u t 0 0 x x 0 ut t 0 1 x x 0 ut t kx x 其中 0 0 0 解 方程的通解为 u x t F x t G x t 5 1 2 习题选讲 当x t 0时 根据达朗贝尔公式的推导有 u x t 1 2 0 x t 0 x t 1 2 Z x t x t 1 d 当t x时 它应与达朗贝尔公式一致 即 F 0 G 2x 1 2 0 2x 0 0 1 2 Z 2x 0 1 d 当t kx时 根据边界条件 有 F 1 k x G 1 k x x 根据上是可以求得F和G 从而可得 u x t x t 1 k 1 2 0 x t 0 1 k 1 k x t 1 2 Z x t 1 k 1 k x t 1 d x t kx 7 求解下述边值问题 utt uxx 0 0 t f x u t x x u t f x x 其中 0 0 t f x 为由原点出发的 介于特征线x t与x t之间的光滑曲线 且对一 切x f0 x 6 1 解 方程的通解为 u x t F x t G x t 根据条件有 u t x F 0 G 2x x 解得 G x x 2 F 0 从而 u t f x F x f x G x f x F x f x x f x 2 F 0 x 令y x f x 由于f0 x 6 1 可以解得x h y 由此可得 F y h y h y y 2 F 0 代入通解可得 u x t x t 2 h x t x t 2 h x t 8 求解波动方程的初值问题 2u t2 2u x2 tsinx u t 0 0 u t fl fl fl fl t 0 sinx 解 根据非齐次初值问题解的表达式 有a 1 0 sinx f tsinx 代入可得 u x t 1 2 Z x t x t sin d 1 2 Z t 0 Z x t x t sin d d tsinx 6 第一章 波动方程 9 求解波动方程的初值问题 utt a2uxx tx 1 x2 2 u t 0 0 ut t 0 1 1 x2 解 根据非齐次初值问题解的表达式 有 0 1 1 x2 f 1 1 x2 代入可得 u x t 1 2a Z x at x at 1 1 2 d 1 2a Z t 0 Z x a t x a t 1 2 2 d d 1 8a3 4at arctan x ln 1 x t 2 1 x t 2 2 x at 2a2 arctan x t 2 x at 2a2 arctan x t 3 初边值问题的分离变量法 1 用分离变量法求下列问题的解 1 2u t2 a2 2u x2 u t 0 sin 3 x l u t fl fl fl fl t 0 x l x 0 x l u 0 t u l t 0 2 2u t2 a2 2u x2 0 u 0 t 0 u x 0 t 0 u x 0 h l x u t x 0 0 解 1 根据解的表达式有 Ak 2 l Z l 0 sin 3 l sin k l d 1 k 3 0 k 6 3 Bk 2 k a Z l 0 l sin k l d 8l3 2n 1 4 4a k 2n 1 0 k 2n n 1 2 3 从而 u x t cos 3 at l sin 3 x l 8l2 4a X n 1 1 2n 1 4 sin 2n 1 at l sin 2n 1 x l 2 此时有通解 u x t X n 1 Ancos n 1 2 at l Bnsin n 1 2 at l sin n 1 2 x l 7 1 2 习题选讲 其中 An 2 l Z l 0 h l sin n 1 2 l d 1 n 2h n 1 2 2 2 Bn 0 n 1 2 3 2 设弹簧一端固定 一端在外力作用下作周期振动 此时定解问题归结为 2u t2 a2 2u x2 u 0 t 0 u l t Asin t u x 0 u t x 0 0 求解此问题 解 令v u Ax l sin t 则v满足 2v t2 a2 2v x2 Ax l 2sin t v 0 t v l t 0 v x 0 0 vt x 0 A l x 设v1是对应于上述问题的齐次方程非齐次初始条件的解 v2是相应的非齐次方程齐次初始条件 的解 则v v1 v2 显然 v1 X n 1 Bnsin n at l sin n x l 其中 Bn 2A n 2 Z l 0 l sin n x l d 1 n 2A l n 2a 又有 v2 X n 1 Z t 0 Bn sin n a t l d sin n x l 其中 Bn 2 n a A 2 l sin Z l 0 sin n x l d 1 n 1 2A 2l n 2a 因此 Z t 0 Bn sin n a t l d 1 n2A 2l 2l2 n2 2a2 n2 2a n asin t lsin n at l n 6 l a 1 n 1 A 2l n2 2a 1 sin t tcos t n l a 最后得 u x t v1 v2 Ax l sin t 3 求弦振动方程 utt a2uxx 0 0 x 0 满足以下定解条件的解 1 u x 0 ux x l 0 u t 0 sin 3 2l x ut t 0 sin 5 2l x 8 第一章 波动方程 2 ux x 0 ux x l 0 u t 0 x ut t 0 0 解 1 此时有通解 u x t X n 1 Ancos n 1 2 at l Bnsin n 1 2 at l sin n 1 2 x l 其中 An 2 l Z l 0 sin 3 2l sin n 1 2 l d 1 n 1 0 n 6 1 Bn l n 1 2 a 2 l Z l 0 sin 5 2l sin n 1 2 l d 2l 5 a n 2 0 n 6 2 从而有 u x t cos 3 at 2l sin 3 x 2l 2l 5 a sin 5 at 2l sin 5 x 2l 2 此时有通解 u x t X n 0 Ancos n at l Bnsin n at l cos n x l 其中 A0 1 l Z l 0 d 1 l Z l 0 d l 2 An 2 l Z l 0 cos n l d 2 l Z l 0 cos n l d 2l 1 n 1 n2 2 n 6 0 Bn 0 4 用分离变量法求解初边值问题 utt a2uxx g 0 x 0 u x 0 ux x l 0 u t 0 0 ut t 0 sin x 2l 其中g为常数 解 令u v g 2a2x x 2l 则v满足方程 vtt a2vxx 0 0 x 0 v x 0 vx x l 0 v t 0 g 2a2x x 2l vt t 0 sin x 2l 方程的通解为 v x t X n 0 Ancos 2n 1 2l at Bnsin 2n 1 2l at sin 2n 1 2l x 其中 An 2 l Rl 0 sin 2n 1 2l d Bn 4 2n 1 a Rl 0 sin 2n 1 2l d 9 1 2 习题选讲 代入可得 An 16l2g 2n 1 3a2 3 B0 2l a Bn 0 因此 u x t 2l a sin at 2l sin x 2l g 2a2 x x 2l 16l2g a2 3 X n 0 1 2n 1 3 cos 2n 1 2l atsin 2n 1 2l x 5 用分离变量法求下面问题的解 2u t2 a2 2u x2 bsinhx u t 0 u t fl fl fl fl t 0 0 u x 0 u x l 0 解 根据非齐次方程的齐次化原理 可得 u x t X n 1 Z t 0 Bn sin n a t l d sin n x l 其中 Bn 2 n a Z l 0 bsinh sin n x l d 1 n 1 2blsinhl a l2 n2 2 与 无关而 Z t 0 sin n a t l d l n a 1 cos n at l 因此 u x t 2bl2sinhl a2 X n 1 1 n 1 n l2 n2 2 1 cos n at l sin n x l 6 用分离变量法求下面问题的解 2u t2 2b u t a2 2u x2 b 0 u x 0 u x l 0 u t 0 h l x u t fl fl fl fl t 0 0 解 设u x t X x T t 代入方程得 XT00 2bXT0 a2X00T 有 T00 a2T 2bT0 a2T X00 X 进一步得到特征值问题 X00 X 0 X 0 X l 0 以及 T00 2bT0 a2 T 0 10 第一章 波动方程 可得 Xn x Cnsin p nx n n l 2 以及 Tn t e bt Ancosh p b2 na2t Bnsinh p b2 na2t n bl a 根据初始条件 可以求得 An 2 l Z l 0 h l sin n x l d 1 n 1 2h n 以及 bAn p b2 na2Bn 0 n bl a 最后可得 u x t X n 1 Tn t Xn x 4 高维波动方程的柯西问题 1 利用泊松公式求解波动方程的柯西问题 1 utt a2 uxx uyy uzz u t 0 0 ut t 0 x2 yz 2 utt a2 uxx uyy uzz u t 0 x3 y2z ut t 0 0 解 1 根据泊松公式 利用球面坐标系可得 u x y z t 1 4 a2t Z 2 0 Z 0 x atsin cos 2 y atsin sin z atcos a2t2sin d d 化简得到 u x y z t 1 3 t 3yz a2t2 3x2 2 根据泊松公式 利用球面坐标系可得 u x y z t t 1 4 a2t Z 2 0 Z 0 x atsin cos 3 y atsin sin 2 z atcos a2t2sin d d 化简得到 u x y t a2t2z 3a2t2x x3 y2z 2 试用降维法导出弦振动方程的达朗贝尔公式 11 1 2 习题选讲 解 将u x t x x 视为三维空间中与y z无关的函数 由泊松公式可得 u x t t 1 4 a2t Z 2 0 Z 0 x atsin cos a2t2sin d d 1 4 a2t Z 2 0 Z 0 x atsin cos a2t2sin d d 化简即得所证 3 求解平面波动方程的柯西问题 utt a2 uxx uyy u t 0 x2 x y ut t 0 0 解 根据二维波动方程的泊松公式 可得 u r t 1 2 a t Z at 0 Z 2 0 x rcos 2 x rcos y rsin q at 2 r2 rd dr 化简得到 u x y t x2 x y a2t2 3x y 4 求二维波动方程的轴对称解 即二维波动方程的形如u u r t 的解 其中r px2 y2 解 二维轴对称波动方程可写为 utt a2 1 r r r u r 0 u t 0 r ut t 0 r 根据二维波动方程的泊松公式 可得轴对称解为 u r t 1 2 a t Z 2 0 Z at 0 p r2 2 2r cos q at 2 2 d d 1 2 a Z 2 0 Z at 0 p r2 2 2r cos q at 2 2 d d 5 求解下列柯西问题 utt a2 uxx uyy c2u u t 0 x y ut t 0 x y 解 令v x y z t u x y t ecz a 则v满足方程 vtt a2 v v t 0 x y ecz a vt t 0 x y ecz a 利用泊松公式即可求解 12 第一章 波动方程 6 试用齐次化原理导出平面非齐次波动方程 utt a2 uxx uyy f x y t 在齐次初始条件 u t 0 0 ut t 0 0 下的求解公式 解 根据齐次化原理 求解方程 vtt a2 vxx vyy v t 0 vt t f x y 根据泊松公式可得 v x y t 1 2 a Z a t 0 Z 2 0 f x rcos y rsin q a t 2 2 d d 从而 u x y t Z t 0 v x y t d 7 用降维法来求解上面的问题 略 8 解非齐次方程的柯西问题 utt uxx uyy uzz 2 y t u t 0 0 ut t 0 x2 yz 解 根据三维非齐次波动方程的泊松公式 可以得到 u 1 4 ZZ SM t 2 t dSM 1 4 ZZZ r6t 2 t r r dV 从而 u t x2 yz yt2 5 波的传播与衰减 1 试说明 对一维波动方程所描述的波的传播过程一般具有后效现象 解 根据达朗贝尔公式 由于初始速度作用 位移项包括 Z x at x at d 显然具有后效 2 试说明 对一维波动方程 即使初始资料具有紧支集 当t 时其柯西问题的解没有衰减性 解 根据达朗贝尔公式 由于初始位移向左右传播 不会产生衰减 13 1 2 习题选讲 3 设u为初始资料 及 具有紧支集的二维波动方程的解 试证明 对任意固定的 x0 y0 R2 成立 lim t u x0 y0 t 0 证明 6 能量不等式 波动方程解的唯一性和稳定性 1 对受摩擦力作用且具有固定端点的有界弦振动 满足方程 utt a2uxx cut 其中常数c 0 证明其能量是减少的 并由此证明方程 utt a2uxx cut f 的初边值问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性 证明 1 弦的能量是 E t 1 2 Z l 0 u2 t Tu2 x dx 2 Z l 0 u2 t a2u2 x dx 有 E0 t Z l 0 u tutt a2uxuxt dx Z l 0 ut u tt a2uxx dx Z l 0 a2 x uxut dx 因此 E0 t c Z l 0 u2 tdx 6 0 所以能量是减少的 2 唯一性 假设u1 u2为方程的解 则v u1 u2满足方程 vtt a2vxx cvt 从而能量减少 由于E 0 0 故E t 0 因此v 0 即u1 u2 稳定性 记 E0 t Z l 0 u2dx 则有能量不等式 E0 t etE0 0 AE 0 et 1 进一步可证关于初始条件及自由项的稳定性 2 证明函数f x t 在G 0 6 x 6 l 0 6 t 6 T作微小改变时 方程 2u t2 x k x u x q x u f x t 其中k x 0 q x 0和f x t 都是一些充分光滑的函数 具固定端点边界条件的初边值问题的 解在G内的改变也是微小的 证明 记 E t Z l 0 u t2 kux2 qu2 dx 则有能量不等式 E t etE 0 et Z t 0 F e d 14 第一章 波动方程 其中 F Z l 0 f x t dx 记 E0 t Z l 0 u2dx 有能量不等式 E0 t etE0 0 Z t 0 F e d 进一步可证明解的稳定性 3 证明波动方程 utt a2 uxx uyy f x y t 的自由项f在L2 K 意义下作微小改变时 对应的柯西问题的解在L2 K 意义之下改变也是微小 的 证明 类似于课本 在特征锥内积分 考虑到边界条件 有如下能量不等式 E1 t 6 etE1 0 et Z t 0 F e d E0 t 6 etE0 0 Z t 0 E1 e d 进一步可证关于自由项的稳定性 4 固定端点有界弦的自由振动可以分解成各种不同固有频率的驻波 谐波 的叠加 试计算各个驻 波的动能和位能 并证明弦振动的总能量等于各个驻波能量的叠加 这个物理性质对应的数学事 实是什么 解 各阶驻波为 un x t Ancos n at l Bnsin n at l sin n x l 其中 An 2 l Z l 0 sin n l d Bn 2 n a Z l 0 sin n l d 因此 动能 Un 2 Z l 0 un t2dx n2 2a2 4l Ansin n at l Bncos n at l 2 位能 Vn T 2 Z l 0 un x2dx Tn2 2 4l Ancos n at l Bnsin n at l 2 能量 En Un Vn n2 2a2 4l A n2 Bn2 在振动过程中 总能量保持不变 故 E E 0 2 Z l 0 u t2 a2ux2 fl fl t 0dx 2 Z l 0 2 a2 02 dx 15 1 2 习题选讲 根据Fourier级数的性质 有E X n 1 En 即得所证 5 考虑波动方程的第三类初边值问题 utt a2 uxx uyy 0 t 0 x y u t 0 x y ut t 0 x y u n u flfl fl fl 0 其中 0是常数 是 的边界 n为 上的单位外法线向量 对于上述定解问题的解 定义能量积分 E t ZZ u t2 a2 u x2 uy2 dxdy a2 Z u2ds 试证明E t 常数 并由此证明上述定解问题解的唯一性 证明 类似于课本 在特征锥内积分 考虑到边界条件 可得 dE t dt 0 从而E t E 0 进一步可证唯一性 16 第二章 热传导方程 第二章热传导方程 2 1学习要求 1 理解热传导方程的物理意义 定解条件的物理意义 2 熟练掌握Fourier变换的以及在求解热传导方程柯西问题中的应用 3 理解极值原理的物理意义 掌握利用最大模以及能量积分证明解的唯一性和稳定性的方法 4 了解解的渐近性态 2 2习题选讲 1 热传导方程及其定解问题的导出 1 一均匀细杆直径为l 假设它在同一截面上的温度是相同的 杆的表面和周围介质发生热交换 并 服从规律 dQ k1 u u1 dSdt 又假设杆的密度为 比热为c 热传导系数为k 试导出此时温度u满足的方程 解 取杆轴为x轴 考察杆位于 x x x 段微元的热平衡 单位时间内通过微元侧面流入的热量为 dQ1 k1 u u1 l x 单位时间内从x截面和x x截面流入微元的热量分别为 dQ2 k x u x x t l2 4 和 dQ3 k x x u x x x t l2 4 因此单位时间内流入的总热量为 dQ dQ1 dQ2 dQ3 k x x u x x x t k x u x x t l2 4 k1 u u1 l x x k x u x x x l2 4 x k1 u u1 l x 其中x x x x 因此从时刻t1至t2流入位于 x1 x2 杆段的热量为 Z t2 t1 Z x2 x1 x k x u x x x l2 4 k1 u u1 l dxdt 在这段时间内 x1 x2 杆段内各点温度从u x t1 变化到u x t2 其吸收的热量为 Z x2 x1 c u x t2 u x t2 l2 4 dx Z t2 t1 Z x2 x1 l2 4 c u t dxdt 根据热量守恒 二者应相等 又由x1 x2 t1 t2的任意性可得 u t 1 c x k x u x 4k1 c l u u1 17 2 2 习题选讲 即为所求方程 2 试直接推导扩散过程所满足的微分方程 解 参见热传导方程的推导 略 3 砼 混凝土 内部储藏着热量 称为水化热 它在浇筑后逐渐放出 放热速度和它所储藏的水化 热成正比 以Q t 表示它在单位体积中所储的热量 Q0为初始时刻所储的热量 则dQ dt Q 其 中 为正常数 又假设砼的比热为c 密度为 热传导系数为k 求它在浇筑后温度u满足的方程 解 设砼内点 x y z 在时刻t的温度分布为u x y z t 显然可以求得单位体积存储的热量 为Q t Q0e t 又根据热量守恒 可知从时刻时刻t1至t2从砼内任一区域 外部流入 的 热量及砼中水化热之和为 Z t2 t1 ZZZ x k u x y k u y z k u z dxdydzdt ZZZ Q t1 Q t2 dxdydz Z t2 t1 ZZZ x k u x y k u y z k u z dxdydzdt ZZZ Z t2 t1 Q t dtdxdydz 而砼内任一区域 中热量的增加为ZZZ Z t2 t1 c u t dtdxdydz 二者相等 可得所求方程为 u t 1 c x k u x y k u y z k u z Q0 c e t 4 设一均匀的导线处在周围为常数温度u0的介质中 试证 在常电流作用下导线的温度满足微分 方程 u t k c 2u x2 k1P c u u0 0 24i2r c 其中i及r分别表示导体的电流及电阻 P表示横截面的周长 表示横截面的面积 而k1表示导线 对于介质的热交换系数 解 由于电阻作用 电流的通过会导致内部发热 相当于导线内部存在着热源 其强度为0 24i 2r c 类 似于第1题 只需将这部分热源计入方程即可 5 设物体表面的绝对温度为u 此时它向外界辐射出去的热量依斯特藩 玻耳兹曼 Stefan Boltzmann 定律正比于u4 即 dQ u4dSdt 假设物体和周围介质之间只有热辐射而没有热传导 又假设物体周围介质的绝对温度为已知函 数f x y z t 求此时该物体热传导问题的边界条件 解 考察边界上的一个面积微元dS 在时间dt内物体内部经边界流出的热量为k u ndSdt 其 中 n为外法线 k为热传导系数 从该微元辐射到外部介质的热量为 u4dSdt 外部介质通过该微元辐射到物体表面的热量 为 f4dSdt 根据热量平衡 有 k u ndSdt u 4dSdt f4dSdt 18 第二章 热传导方程 即边界条件为 k u n u4 f4 2 初边值问题的分离变量法 1 用分离变量法求下列定解问题的解 u t a2 2u x2 t 0 0 x 0 u x 0 f x 0 x 0 0 x 1 u x 0 x 0 x 6 1 2 1 x 1 2 x 0 解 方程的通解为 u x t X n 1 Ane n 2 2t sinn x 其中 Ak 2 Z 1 2 0 sink d Z 1 1 2 1 sink d 4 k2 2 sin k 2 0 k 2n 4 1 n 2n 1 2 2 k 2n 1 n 0 1 因此 u x t X n 0 4 1 n 2n 1 2 2 e 2n 1 2 2t sin 2n 1 x 3 如果有一长度为l的均匀细棒 其周围以及两端x 0 x l均为绝热 初始温度分布为 u x 0 f x 问以后时刻的温度分布如何 且证明当f x 等于常数u0时 恒有u x t u0 19 2 2 习题选讲 解 1 u x t 满足方程 ut a2uxx ux x 0 ux x l 0 u t 0 f x 分离变量可得通解为 u x t X k 0 Ake k 2 2t l2 cos k x l 根据初始条件得 A0 1 l Z l 0 f d Ak 2 l Z l 0 f cos k l d k 6 0 2 当f x u0时 易知A0 u0 Ak 0 从而有u x t u0 4 在区域t 0 0 x l中求解如下的定解问题 u t a2 2u x2 u u0 u 0 t u 1 t 0 u x 0 f x 其中 u0均为常数 f x 为已知函数 解 作变换 u u0 v x t e t 则v x t 满足方程 v t a2 2v x2 v 0 t v l t 0 v x 0 f x u0 由此可得 v x t X k 0 Ake k 2 2t l2 sin k x l 其中 Ak 2 l Z l 0 f u0 sin k l d fk 2u0 k 1 k 1 其中fk为f关于正交函数系sin k x l 的展开系数 代入上式 即得所求 5 长度为l的均匀细杆的初始温度为零度 端点x 0保持常温u0 而在x l端和侧面上 热量 可以发散到周围的介质中去 介质的温度为零度 此时杆上的温度分布函数u x t 满足下述定解 问题 u t a2 2u x2 b2u u 0 t u0 u x Hu fl fl fl fl x l 0 u x 0 0 试求出u x t 20 第二章 热传导方程 解 令u e b 2t v x 则当 x 满足 00 b2 a2 0 0 u0 0 H fl fl x l 0 时 v x t 满足 v t a2 2v x2 v 0 t 0 v x Hv fl fl fl fl x l 0 v x 0 x 易知 x C1ebx a C2e bx a 根据边界条件 C1 C2 u0 C1 H b a ebl a C2 H b a e bl a 0 可得 C1 0e bl a Ha b ebl aHa ebl ab e bl aHa e bl ab 1 C2 0ebl a Ha b ebl aHa ebl ab e bl aHa e bl ab 1 因此 x 0 Haeb x l a beb x l a Hae b x l a be b x l a Haebl a bebl a Hae bl a be bl a 类似于课本例题 将 x x 0 x 代入 即可求得v x 0 6 半径为a的半圆形平板 其表面绝热 在板的圆周边界上保持常温u0 而在直径边界上保持常 温u1 求圆板稳恒状态 即与时间t无关的状态 的温度分布 解 问题归结为 2u r2 1 r u r 1 r2 2u 2 0 u a u0 0 0 2 e a x a 0 3 x a2 x2 k 1 a2 x2 k 其中 a 0 k为自然数 21 2 2 习题选讲 解 1 F e x2 p e 2 4 2 F e a x 2a a2 2 3 略 2 证明 当f x 在 上绝对可积时 F f 为连续函数 证明 设 g F f Z f e i d 因为f x 绝对收敛 所以存在常数M 成立 Z f d 0 存在R 0使 Z R f d 6 Z R f d 0 当 0 时上式第二项 3 所以 g g 0 0 x x 0 有 u x t 1 2a t Z 0 e x 2 4a2t d Z 0 e x 2 4a2t d 1 a t Z 0 e x 2 2 4a2t sinh x 2a2td 6 证明函数 v x y t 1 4 a2 t e x 2 y 2 4a2 t 对于变量 x y t 满足方程 v t a2 2v x2 2v y2 23 2 2 习题选讲 而对于变量 满足方程 v a2 2v 2 2v 2 0 证明 直接对表达式求解即可验证 7 证明 如果u1 x t u2 x t 分别是下述两个定解问题的解 u1 t a2 2u1 x2 u1 t 0 1 x u2 t a2 2u2 y2 u2 t 0 2 y 则u x y t u1 x t u2 y t 是定解问题 u t a2 2u x2 2u y2 u t 0 1 x 2 y 的解 证明 直接代入即可验证 8 导出下列热传导方程柯西问题解的表达式 u t a2 2u x2 2u y2 u t 0 n X i 1 i x i y 解 由叠加原理及上题结果可得 u x y t 1 4 a2t n X i 1 Z Z i i e x 2 y 2 4a2t d d 9 验证二维热传导方程柯西问题 u t a2 2u x2 2u y2 u t 0 x y 解的表达式为 u x y t 1 4 a2t Z Z e x 2 y 2 4a2t d d 略 4 极值原理 定解问题解的唯一性和稳定性 1 证明方程 u t a2 2u x2 cu c 0 具狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性 证明 令v ue ct 则原方程化为定理4 1所研究形式 根据v的唯一性与稳定性可以得出u的唯一 性与稳定性 24 第二章 热传导方程 2 利用证明热传导方程极值原理的方法 证明满足方程 2u x2 2u y2 0的函数在有界闭区域上的 最大值不会超过它在边界上的最大值 证明 参见课本第116页极值原理的证明 3 证明初边值问题 ut a2uxx f x t u x 0 1 t u x hu flfl fl fl x l 2 t h 0 u t 0 x 的解u x t 在Rt1 0 6 t 6 t1 0 6 x 6 l 中满足 u x t 6 e t1max 0 max 06x6l x max 06t6t1 e t 1 t e t 2 t h 1 max Rt1 e tf 其中 0为任意正常数 证明 类似于定理4 2的证明 略 5 解的渐近性态 1 证明下列热传导方程初边值问题 ut a2uxx 0 u x 0 u x l 0 u t 0 x 的解当t 时指数地衰减于零 其中 为连续函数 且 0 l 0 证明 方程具有分离变量形式的解 u X n 1 Ane a2n2 2 l2 t sin n x l 类似于定理5 1的证明 可得 u Ce a2 2 l2 t 2 证明 当 x y 为R2上的有界连续函数 且 L1 R2 时 二维热传导方程柯西问题的 解 当t 时 以t 1衰减率趋于零 略 3 证明 当 x y z 为R3上的有界连续函数 且 L1 R3 时 三维热传导方程柯西问题的 解 当t 时 以t 3 2衰减率趋于零 略 25 第三章调和方程 3 1学习要求 1 理解Laplace方程和Poisson方程的物理意义 2 熟练掌握Green公式及其应用 3 理解Green函数的性质 掌握静电源像法 4 了解调和函数的性质 5 理解强极值原理 3 2习题选讲 1 建立方程 定解条件 1 设u x1 xn f r 其中r px2 1 x2n 是n维调和函数 即满足方程 2u x2 1 2u x2 n 0 试证明 f r c1 c2 rn 2 n 6 2 f r c1 c2ln 1 r n 2 其中c1 c2为任意常数 解 此时 nu 1 rn 1 r rn 1 u r 因此方程 nu 0的解为 当n 2时 1 r r r u r 0 从而 r u r c2 u r c2 r u c1 c2ln 1 r 当n 6 2时 rn 1 u r c2 u r c2 rn 1 u c1 c2 1 rn 2 2 证明 拉普拉斯算子在球面坐标 r 下可以写成 u 1 r2 r r2 u r 1 r2sin sin u 1 r2sin 2u 2 26 第三章 调和方程 解 根据球面坐标与直角坐标的转换公式 x rsin cos y rsin sin z rcos 利用多元复合函数求导法则 代入 u 2u x2 1 2u x2 n 0即可得结果 3 证明 拉普拉斯算子在柱面坐标 r z 下可以写成 u 1 r r r u r 1 r2 2u 2 2u z2 解 根据柱面坐标与直角坐标的转换公式 x rcos y rsin z z 利用多元复合函数求导法则 代入 u 2u x2 1 2u x2 n 0即可得结果 4 证明下列函数都是调和函数 1 ax by c a b c为常数 2 x2 y2和2xy 3 x3 3xy2和3x2y y2 4 sinhny sinnx sinhny cosnx coshny sinnx和coshny cosnx n为常数 5 sinhx coshx cosy 1和siny coshx cosy 1 解 将上述表达式带入即可验证 略 5 证明用极坐标表示的下列函数都满足调和方程 1 lnr和 2 rncosn 和rnsinn n为常数 3 rlnrcos r sin 和rlnrsin r cos 解 极坐标系下二元调和方程可写为 2u 1 r r r u r 1 r2 2u 2 将上述表达式带入即可验证 略 6 用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 0 6 x 6 a 0 6 y 6 b 上的稳定温度分布 2u x2 2u y2 0 u 0 y u a y 0 u x 0 sin x a u x b 0 解 假设u X x Y y 代入方程可得X00Y XY 00 0 从而X 00 X Y 00 Y 分离变量得到 27 3 2 习题选讲 X00 X 0 Y 00 Y 0 其次边界条件可化为X 0 X a 0 从而有本征值 n n a 2 n 1 2 以及本征函数 Xn x sin n x a 相应的 可得 Yn x Ansinh n y a Bncosh n y a 从而方程的解可写为 u x y X n 1 Ansinh n y a Bncosh n y a sin n x a 根据边界条件u x 0 sin x a 可得B1 1 Bn 0 n 2 根据边界条件u x b 0 可得 A1sinh b a B1cosh b a 0 An 0 n 2 从而A1 cosh b a sinh b a 方程的解为 u x y sinh y a cosh b a sinh b a cosh n y a sin x a sinh b y a sinh b a sin x a 7 在膜型扁壳渠道闸门的设计中 为了考察闸门在水压力作用下的受力情况 要在矩形区 域0 6 x 6 a 0 6 y 6 b上求解如下的非齐次调和方程的边值问题 u py q u x fl fl fl fl x 0 0 u x a 0 u y 0 y b 0 试求解之 提示 今v u x2 a2 fy g 以引入新的未知函数v 并选择适当的f及g之 值 使v满足调和方程 再用分离变量法求解 解 今v u x2 a2 fy g 取f p 2 q q 2 则v满足方程 v 0 v x fl fl fl fl x 0 0 v x a 0 v y 0 q 2 x2 a2 x v y 0 y b 1 2 x2 a2 pb q x 利用分离变量法 可得 v x y X n 0 Ane 2n 1 y 2a Bne 2n 1 y 2a cos 2n 1 x 2a 28 第三章 调和方程 带入边界条件得 An ne 2n 1 b 2a n 2sinh 2n 1 b 2a Bn n ne 2n 1 b 2a 2sinh 2n 1 b 2a 其中 n n分别为 x x 的Fourier系数 即 n 2 a Z a 0 q 2 x2 a2 cos 2n 1 x 2a dx 16 1 n 1qa2 2n 1 3 3 n 2 a Z a 0 1 2 x2 a2 pb q cos 2n 1 x 2a dx 16 1 n 1 pb q a2 2n 1 3 3 代入整理可得u x y 8 举例说明在二维调和方程的狄利克雷外问题中 如对解u x y 不加在无穷远处为有