7.3 二元一次不等式组与简单线性规划问题(教师用书)发稿.doc

73二元一次不等式组与简单线性规划问题教学注意事项1二元一次不等式的几何意义是本节的基础，应重点复习.可以提醒学生与一元一次不等式（组）的几何表示比较，“一元”在直线上表示，“二元”必须在平面上表示.在此基础上，学习一些可等价转化为二元一次不等式(组)的二元不等式问题，参看课堂检测第1题,课后测评第2、6题.2在简单线性规划问题中，应明确线性目标函数的最优解都是在约束条件所对应的平面区域的边界尤其是顶点处取得.具体求最优解时，主要利用图形直观.直线的斜率和纵截距是研究最优解的两个参数.3在一定的约束条件下，除了关注线性目标的变化范围问题，还应适当关注目标为斜率、两点间距离等这样一些有明确几何意义的问题，解决这些问题都可以借助图形直观.参看课堂检测 第3题.4应提醒学生注意，二元一次不等式组与简单线性规划问题中的变量不只用表示，可参看课堂检测第6、7题.简单线性规划问题往往是高考中体现数学与现实联系的内容.参看课堂检测第2题,课后测评第3、7、8题.课堂检测选择题1在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）.(A) (B) (C) (D) 2教学建议：本题的关键是去掉绝对值符号，转化为若干个二元一次不等式组.教学时要提醒学生注意去掉绝对值符号的要点是确定分界点（使绝对值为0的x值）.答案：B.解：不等式组 图 1表示三角形区域（图 1），三角形的顶点为A(0,1),B(-1,-2),.,点C到直线y=3x+1的距离为，所以面积为.2（2009年四川卷）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（ ）. . （A）12万元 （B）20万元 （C）25万元 （D）27万元 教学建议：将文字语言转化为数学语言，建立数学模型对于解决简单线性规划问题非常重要.这类问题一般信息量较大，为了有利于分析数量关系，可以先用表格列出数据：A/吨B/吨利润/元甲产品/吨325乙产品/吨133总计1318答案：D.解析：设甲、乙种两种产品各需生产，吨，可使利润最大，已知约束条件为求目标函数的最大值，可求出最优解为 图 2故（万元）.3(北京市崇文区2009年3月高三统一考试)在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 zxay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是 ( ) .（A） （B） （第3题）（C） （D） 教学建议：要让学生分析线性目标函数的最优解有无数个的条件是什么（其斜率与约束条件的某一边界的斜率相等），这是解答本题的出发点.斜率的正负及纵截距的正负会影响目标函数的最值情况，这是本题需要分类讨论的真正原因.这里，代数式的几何意义是实现问题转化的依据.类似的，在线性约束条件下，可以利用形如,的几何意义求取值范围.答案：B.解：若a = 0 ,则目标函数 zx只在A点处取得最小值，不符合题意，目标函数式可变形为，若，则，取得最小值的最优解只有一个，与已知不符；若，则，取得最小值的最优解有无数个只在直线AC的斜率情况下发生，只有，即a=1时，取得最小值的最优解有无数个.于是，表示动点(x,y)与点P（-1，0）的斜率.容易看出最大值为. 填空题4（2007年湖南卷）设集合，.（1）的取值范围是 ；（2）若，且的最大值为9，则的值是 教学建议：本题的关键是理解集合A，B的元素的构成.教学时可先让学生说出题意，并用图形表示出两个集合，然后化归为明确的简单线性规划问题而得出解答. 图 3答案： （1）（2）解: (1) ,在直角坐标系中，画出它们相应的平面区域（图3），集合B表示直线下方（包括边界）半平面，如图所示，当且仅当，两个平面区域有公共点，也即.(2)令，即，表示斜率为的一条动直线，当其纵截距达到最大时，也达到最大.如图4，容易看到当且仅当直线过点时，纵截距达到最大，所以，由题意有 图 45. （2007 年浙江卷）设为实数，若，则的取值范围是_. 教学建议：本题与上一题类似，用集合语言表示平面区域，解题时需要将集合语言转化为图形语言.所以，教学时还是要让学生先说清题意，明确表达为“二元一次不等式组对应的平面区域在原点为圆心5为半径的圆内”. 答案：.解析： 如图5，直线mx+y=0绕原点旋转从l1逆时针旋转到x轴满足要求，故.解答题图 56(江西省五校2008届高三开学联考)已知，若恒成立，求的最大值.教学建议：本题是一次函数与线性规划地综合题，关键是要把问题转化成线性规划的语言表示，这也是难点.教学时先要让学生明确把“在区间0，2上恒成立”转化为的理由.而得到了这一步，本题的题意也就明确了.因此，教学中可进一步引导学生体会，将问题用明确的数学符号语言表达往往是理解题意的关键.答案:.解析：由已知，即，以a为横坐标，b为纵坐标，建立直角坐标系，由线性规划知识知，当，时，达到最大值.7（2007年全国卷）已知函数f(x)=ax3 bx2+(2 b )x+1 在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0x11x20; （2）若z=a+2b,求z的取值范围.教学建议：本题是导数、三次多项式函数的性质、二次函数零点分布等知识的综合.教学时首先应让学生将“f(x) 在x=x1处，x=x2处分别取得极大值、极小值”翻译为符号表达式；其次，应引导学生利用三次函数的性质，得出“当或xx2时，为增函数；x1xx2时，为减函数”，由此就可以得到其导函数的变化规律；第三，完成上述两步后，导函数在0，1，2三点的符号也就明确了，联系线性规划的知识也就水到渠成了.答案：(2) .解：求函数的导数（1）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根所以当时，为增函数，由，得（2） 在题设下，等价于即 化简得 此不等式组表示的区域为平面上三条直线：所围成的的内部(如图6)，其三个顶点分别为：ba2124O在这三点的值依次为所以的取值范围为图 6课后测评选择题1点和在直线的两侧，则的取值范围是（ ）.（A）或 （B） （C）或（D）教学建议：点落在直线的两侧，当且仅当的值有不同的符号.利用本题可再一次强化二元一次不等式的几何意义，另外还要让学生熟悉“a，b异号”等价于“ab0”.答案:B.解：已知等价于：，即,.2不等式组表示的平面区域是一个（ ）.（A）三角形 （B）梯形 （C）矩形 （D）菱形教学建议：本题的关键是将条件中第一个不等式具体化为两种情况，就是利用“ab0”的充要条件是“a，b同号”.答案:A.解： 画出相应的平面区域，容易看出此区域是等腰直角三角形.3（2006年辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ）.(A) (B) (C) (D) 教学建议：先画出给定的平面区域，分别写出平面区域每一条边界直线方程，再用二元一次不等式(组)表示给定的多边形区域即可.答案：A.解：双曲线的两条渐近线为,与直线围成一个三角形区域是直线下方，直线上方和直线左方，即应满足.4(2009年山东卷)设x，y满足约束条件 若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则的最小值为( ). （A） （B） （C） （D）4教学建议：本题的关键是由目标函数的特点（ax+by=0经过第2，4象限）判断出目标函数的最优解.因此,教学时应让学生先画出可行域，并把重点放在分析目标函数的特点上.答案：A.解：使ax+by= z取最大值的点（x,y）在直线ax+by= 12上，由a0，b0，此直线斜率小于0.题中不等式表示的平面区域是如图7所示阴影部分,所以 当直线ax+by= z（a0，b0）过直线x y+2=0与直线3x y 6=0的交点P（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, =,当且仅当,又2a+3b=6，即时等号成立.图 7 的最小值为. 填空题5（2009年上海卷） 已知实数x, y满足 则目标函数z = x 2y的最小值是_. 教学建议：画出可行域，观察动直线z = x 2y运动情况，注意纵截距与目标函数之间的大小变化关系，容易找到最优解.答案：.解： 画出满足不等式组的可行域如图8所示，目标函数式可变形成z，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3269.6. 设，则对应的平面区域的面积为 .图 8 图 7.3-9教学建议：本题的关键是去掉绝对值符号，要做到“有序”、“不重不漏”，就是要对的符号进行分类组合.答案:1.解析：，画出两个平面区域，容易得到答案为:1.解答题7某运输队在某一段时间内，每天至少要把180件货物运到某地，该运输队使用甲、乙两种型号的货车，甲型车能装运20件货物，乙型车能装运30件货物.现运输队有甲型车5辆、乙型车5辆，但是只有9个司机工作，货车每天只能开一次，每辆都满载，试问：(1)运输队如何调度货车，以适应运输的需要？(2)最少需要多少个司机？最多能运多少件货物？教学建议：本题的关键是引导学生分析关键词“至少”、“只能”等的数学意义，由此建立线性规划模型.另外，由于货车、司机的数量均是整数，因此问题的最优解应该是整数解,可用列举法，找出所有整数解.答案: (1) 有7种运输方式可适应运输需要;(2) 最少需要7个司机，最多能运230件货物.解析：(1)设每天甲型车开辆，乙型车开辆，运输件货物，则，显然且，画出不等式组表示的平面区域可知，可取（2，5）,（3，4）,（3，5）,（4，4）,（4，5）,（5，3）,（5，4），即有7种运输方式可适应运输需要;(2)显然最少需要7个司机（此时），当时，能最多运230件货物.8某工厂生产甲、乙两种产品，生产每1t产品所需要的电力、煤、劳动力及产值如下表所示:品种电力/千度煤/吨劳动力/人产值/千元甲4357乙6639该厂的劳动满员150人，根据限额每天用电不超过180千度，用煤每天不得超过150t