7.1 多元函数的基本概念.ppt

05 03 2020 1 高等数学多媒体课件 牛顿 Newton 莱布尼兹 Leibniz 05 03 2020 2 第七章多元函数微分法及其应用 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意 善于类比 区别异同 05 03 2020 3 主要内容 第一节多元函数的基本概念 第二节偏导数 第三节全微分 第四节多元复合函数的求导法则 第五节隐函数的求导公式 第六节多元微分学在几何上的应用 第七节方向导数与梯度 第八节多元函数的极值及其求法 05 03 2020 4 第一节多元函数的基本概念 第七章 Conceptionoffunctionsofseveralvariables 四 多元函数的连续性 一 平面点集n维空间 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 五 小结与思考练习 05 03 2020 5 一 平面点集n维空间 1 邻域 点集 称为点P0的 邻域 例如 在平面上 圆邻域 在空间中 球邻域 说明 若不需要强调邻域半径 也可写成 点P0的去心邻域记为 05 03 2020 6 在讨论实际问题中也常使用方邻域 平面上的方邻域为 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 05 03 2020 7 1 内点 外点 边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U P E 若存在点P的某邻域U P E 若对点P的任一邻域U P 既含E中的内点也含E 则称P为E的内点 则称P为E的外点 则称P为E的边界点 的外点 显然 E的内点必属于E E的外点必不属于E E的 边界点可能属于E 也可能不属于E 2 区域 05 03 2020 8 若对任意给定的 点P的去心 邻域 内总有E中的点 则 称P是E的聚点 聚点可以属于E 也可以不属于E 因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为E的导集 E的边界点 2 聚点 05 03 2020 9 若点集E的点都是内点 则称E为开集 若点集E E 则称E为闭集 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 开区域连同它的边界一起称为闭区域 则称D是连通的 连通的开集称为开区域 简称区域 E的边界点的全体称为E的边界 记作 E 3 开区域及闭区域 05 03 2020 10 开区域 闭区域 例如 在平面上 05 03 2020 11 整个平面 点集 是开集 是最大的开域 也是最大的闭域 但非区域 对区域D 若存在正数K 使一切点P D与某定点 A的距离 AP K 则称D为有界域 界域 否则称为无 05 03 2020 12 n元有序数组 的全体称为n维空间 n维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第k个坐标 记作 即 一个点 当所有坐标 称该元素为 中的零元 记作 O 3 n维空间 05 03 2020 13 的距离记作 中点a的 邻域为 规定为 与零元O的距离为 05 03 2020 14 二 多元函数的概念 引例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 05 03 2020 15 点集D称为函数的定义域 数集 称为函数的值域 特别地 当n 2时 有二元函数 当n 3时 有三元函数 映射 称为定义 在D上的n元函数 记作 定义1设非空点集 05 03 2020 16 定义域为 圆域 说明 二元函数z f x y x y D 图形为中心在原点的上半球面 的图形一般为空间曲面 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面 单位闭球 例如 二元函数 05 03 2020 17 三 多元函数的极限 定义2设n元函数 点 则称A为函数 也称为n重极限 当n 2时 记 二元函数的极限可写作 P0是D的聚 若存在常数A 对一 记作 都有 对任意正数 总存在正数 切 05 03 2020 18 求证 证 故 总有 要证 课本例5 例1设 05 03 2020 19 求证 证 故 总有 要证 自学课本例6 例2 补充题 设 05 03 2020 20 若当点 趋于不同值或有的极限不存在 解 设P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 在点 0 0 的极限 则可以断定函数极限 则有 k值不同极限不同 在 0 0 点极限不存在 以不同方式趋于 不存在 函数 例3讨论函数 05 03 2020 21 仅知其中一个存在 推不出其它二者存在 不同 如果它们都存在 则三者相等 例如 显然 与累次极限 但由例3知它在 0 0 点二重极限不存在 二重极限 05 03 2020 22 四 多元函数的连续性 定义3设n元函数 定义在D上 如果函数在D上各点处都连续 则称此函数在D上 如果存在 否则称为不连续 此时 称为间断点 则称n元函数 连续 连续 05 03 2020 23 在点 0 0 极限不存在 又如 函数 上间断 故 0 0 为其间断点 在圆周 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续 例如 函数 05 03 2020 24 解 原式 例6求函数 的连续域 解 补充题 例5 课本例9 求 05 03 2020 25 4 f P 必在D上一致连续 在D上可取得最大值M及最小值m 3 对任意 有界性定理 最值定理 介值定理 一致连续性定理 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 证明略 定理 若f P 在有界闭域D上连续 则 05 03 2020 26 内容小结 1 区域 邻域 区域 连通的开集 2 多元函数概念 n元函数 常用 二元函数 图形一般为空间曲面 三元函数 05 03 2020 27 有 4 多元函数的连续性 1 函数 2 闭域上的多元连续函数的性质 有界定理 最值定理 介值定理 3 一切多元初等函数在定义区域内连续 3 多元函数的极限 05 03 2020 28 习题7 11 2 3 3 5 偶数题 6 偶数题 7 1 8 9 课外练习 思考与练习 1 习题7 17 2 令x ky 若令 则 可见极限不存在 05 03 2020 29